6.2.2 反比例函数的性质 课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
北师大版 九年级上册
6.2 反比例函数的图象与性质
第2课时 反比例函数的性质
旧知回顾
1．回顾 y＝ 与 y＝－ 图象的画法，回答画反比例函数图象的步骤．
2．函数 y＝ 的图象所在象限由什么确定？
实践探究
探究1：反比例函数图象的增减性
观察反比例函数 的图象，你能发现它们共同的特征吗？
试一试
观察反比例函数 的图象，你能发现它们共同的特征吗？
（1）函数图象分别位于哪几个象限内？
函数的图象都位于一、三象限.
（2）在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？
随着x值的增大，y的值减小.能说明y的值随x值的增大而减小.
当k=－2，－4，－6时，反比例函数 的图象(如图)，它们有哪些共同特征？
议一议
（1）函数图象分别位于哪几个象限内？
函数的图象都位于二、四象限.
（2）在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？
随着x值的增大，y的值的增大.能说明y的值随x值的增大而增大.
归纳总结
(1)当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
(2)当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大．
一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质：
k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性
Q
在一个反比例函数图象上任取两点P、Q，过点P分别做x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别做x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2.
P
S1
S2
探究2：k的绝对值的几何意义
Q
P
S1
S2
S1=|x1| |y1|
S2=|x2| |y2|
(1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，请分别用点P，Q的坐标表示S1与S2；
Q
P
S1
S2
∴S1=S2=| k |
(2)S1与S2有什么关系？为什么？
∵y =
∴| x | | y |=| k |
∴S1=| x1 | | y1 |=| k |
S2=| x2 | | y2 |=| k |
归纳总结
在反比例函数 y＝ 的图象上任取一点P，过点P作PA⊥y轴，PB⊥x轴，垂足分别为A，B，则四边形AOBP的面积为|x|·|y|＝|xy|＝|k|.
应用举例
已知点(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)在反比例函数
y＝ 的图象上，下列结论正确的是 (　 　)
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2
C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1
方法指导：判断－k2－1的正负，确定其图象所在象限，进而判断三点所处的象限，最后利用反比例函数的性质解决问题．
例1
B
如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点，△AOC 的面积 S1、△BOD 的面积 S2、△POE 的面积 S3 的大小关系为 .
S1 = S2 < S3
例2
F
S1
S2
S3
方法指导：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知，S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1 = S2 < S3
如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数的图象交于A(－4，2)，B(2，n)两点，且与x轴交于点C.
(1)试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)根据图象写出一次函数的值小于反比例
函数的值时x的取值范围．
例3
方法指导：利用好A(－4，2)，B(2，n)两点既在一次函数的图象上，也在反比例函数的图象上这一条件．
解：(1)设反比例函数的表达式为y＝ (k≠0).
∵反比例函数的图象经过A(－4，2)，
∴k＝－8，∴反比例函数的表达式为y＝ ＝－ .
∵B(2，n)在y＝－ 上，
∴n＝－ ＝－4，
∴点B的坐标是(2，－4).
把A(－4，2)，B(2，－4)代入y＝ax＋b中，得
∴一次函数的表达为y＝－x－2；
－4a＋b＝2，
2a＋b＝－4，
解得
a＝－1，
b＝－2，
(2)在y＝－x－2中，当y＝0时，x＝－2，∴点C(－2，0)
∴OC＝2，∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝ ×2×2＋ ×2×4＝6；
(3)－4＜x＜0或x＞2.
随堂练习
1. 如图，P（x，y）是反比例函数的图象在第一象限分支上的一个动点，随着自变量x的增大，矩形OAPB的面积（ ）
O
P
B
A
x
y
A．不变 B.增大
C. 减小 D.无法确定
B
2．已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在函数 的图象上，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是 (　 　)
A．0＜y1＜y2　　　B．0＜y2＜y1
C．y1＜y2＜0　　　D．y2＜y1＜0
A
3．如图，点A是反比例函数 的图象上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，线段AB交反比例函数 的图象于点C，则△OAC的面积为____．
2
4. 下列函数中，其图象位于一、三象限的有_________；在其图象所在象限内，y的值随x的增大而增大的有_________.
(1) (2) (3) (4)
k＞0
(1)
(2)
(3)
k＜0
(4)
5.（1）若点A（－6，y1），B（－4，y2）在反比例函数 上，试比较y1与y2的大小. 你是怎么做的？
k<0，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大，
所以y1＜y2.
（2）已知点（4，y3），（6，y4）在反比例函数 的图象上，试比较y3和y4的大小.
（3）已知点（－4，y5），（6，y6）在反比例函数
的图象上，试比较y5和y6的大小.
y3＜y4
y6＜y5
＞0
＜0
课堂小结
反比例函数
的性质
当k＞0时，在每一象限内，
y的值随x的增大而减小.
当k<0时，在每一象限内，
y的值随x的增大而增大.