数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.2两点间的距离公式教案（表格式）

2.3.2 两点间的距离公式
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习两点间的距离公式 。
本课内容是在直角坐标系下，利用代数方法解决平面几何问题初步基础，是沟通“数”与“形”、建立解析几何理论的基础，两点间的距离是解析法巨大作用的初步体现。培养学生数形结
合思想和方程思想。
课程目标 学科素养
A. 掌握平面上两点间的距离公式. B.会运用坐标法证明简单的平面几何问题. C.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的思想与数形结合思想 1.数学抽象：平面上两点间的距离公式. 2.逻辑推理：平面上两点间的距离公式.的推导 3.数学运算：平面上两点间的距离公式的应用 4.直观想象：平面上两点间的距离及其公式
重点：平面上两点间的距离公式的推导与应用
难点：运用坐标法证明简单的平面几何问题
多媒体
教学过程 教学设计意图 核心素养目标
一、情境导学 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区,现在计划在公路上某处建一个公交站点C,以方便居住在两个小区住户的出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小 二、探究新知 问题1.在数轴上已知两点A、B，如何求A、B两点间的距离？ 提示：|AB|＝|xA－xB|. 问题2：在平面直角坐标系中能否利用数轴上两点间的距离求出任意两点间距离？ 探究.当x1≠x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？请简单说明理由． 提示：可以，构造直角三角形利用勾股定理求解． 答案：如图，在Rt △P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2， 所以|P1P2|＝. 即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝. 你还能用其它方法证明这个公式吗？ 2．两点间距离公式的理解 (1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝. (2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|. 当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|. 两点间的距离公式 (1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ . (2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根． 1.已知点P1(4,2),P2(2,-2),则|P1P2|=　　　　　. 解析:|P1P2|==2. 答案:2 三、典例解析 例1.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状. 思路分析:可求出三条边的长,根据所求长度判断三角形的形状. 解:(方法1)∵|AB|=, |AC|=, |BC|=, ∴|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2. ∴△ABC是等腰直角三角形. (方法2)∵kAC=,kAB==-,∴kAC·kAB=-1.∴AC⊥AB. 又|AC|=,|AB|=, ∴|AC|=|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形. 两点间距离公式的应用 两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一,它主要解决线段的长度问题,体现了数形结合思想的应用. 跟踪训练1已知点A(-3,4),B(2,),在x轴上找一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 解:设点P(x,0),则有|PA|=, |PB|=. 由|PA|=|PB|,得x2+6x+25=x2-4x+7, 解得x=-.即所求点P为-,0, 且|PA|=. 例2如图,在△ABC中,|AB|=|AC|,D是BC边上异于B,C的任意一点, 求证:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|. 思路分析:建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明. 证明:如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.设A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b三、达标检测 1.点A(1,-2)关于原点的对称点为A',则|AA'|为(　　) A.2 B.5 C.5 D.2 解析:因为A(1,-2)关于原点的对称点A'(-1,2), 所以|AA'|==2.故选A. 答案:A 2.设点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点P(2,-1),则|AB|=(　　) A.2 B.4 C.5 D.2 解析:依题意设A(a,0),B(0,b), ∵P(2,-1)为线段AB的中点,∴a=4,b=-2.∴A(4,0),B(0,-2). ∴|AB|==2. 答案:A 3．函数y＝＋的最小值是(　　) A．0 B. C．13 D．不存在 解析：原函数可化为y＝＋， 设P(x,0)，A(0,1)，B(2，－2)． 则y＝|PA|＋|PB|. ∵P是x轴上的动点，A，B是两个定点，∴|PA|＋|PB|≥|AB|＝， ∴当P，A，B三点共线时，ymin＝. 答案：B 4．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：|AB|＝|AC|＝，|BC|＝，故△ABC为等腰三角形． 答案：B 5.已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为________． 解析：设点P的坐标为(x,0)，由d(P，A)＝10得＝10，解得x＝11或x＝－5. ∴点P的坐标为(－5,0)或(11,0). 答案：　(－5,0)或(11,0) 6.已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，则BC边上的中线长为_____. 解析： BC的中点坐标为(0,1)，则BC的中线长为＝. 答案： 7.点A在第四象限，A点到x轴的距离为3，到原点的距离为5，求点A的坐标. 解析：由题意得A点的纵坐标为－3，设A(x，－3)， 则＝5，x＝±4. 又点A在第四象限，∴x＝－4(舍)，∴A(4，－3). 8．正方形ABCD的边长为6，若E是BC的中点，F是CD的中点，试建立直角坐标系，证明：BF⊥AE. 证明：以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图． 则A(0,0)，B(6,0)，E(6,3)，F(3,6)． ∴kBF＝＝－2，kAE＝＝. ∵kBF·kAE＝－1，∴BF⊥AE. 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结 1.两点间的距离公式可用来解决一些有关距离的问题(如根据各边长度判断三角形或四边形的形状)，根据条件直接套用公式即可，要注意公式的变形应用，公式中两点的位置没有先后之分． 2．应用坐标法解决平面几何问题的一般步骤是： 第一步：建立坐标系，建系时应使尽可能多的点落在坐标轴上，并且充分利用图形的对称性，用坐标表示有关的量． 第二步：进行有关代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系． 五、课时练 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
在教学过程中，积极关注学生的学习行为，通过“问题”平台，调动学生认真思考；通过自主学习、教师深入学生中，察看学生动手、动脑的行为、心理反应，及时纠正错误的行为方式；通过设疑、启发，帮助学生掌握知识存在的差异，提高理解水平，同时，可挖掘学生思维的闪光点；通过师生互动、教师点评，拉近师生的心理距离，提高反馈的及时性和效果。在认知构建中从最基本的感知入手，再慢慢上升到简单模仿，然后到基础应用。培养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点.