活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线与方程3.1.2椭圆的几何性质(3)（有答案）

3．1.2　椭圆的几何性质(3)
1. 巩固椭圆的方程及简单的几何性质．
2. 能运用椭圆的方程和几何性质解决一些综合问题．
活动一 理解椭圆的定义及标准方程
例1　(1)已知椭圆的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，离心率e＝，则椭圆的标准方程为______________；
(2) 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C的标准方程为____________.
例2　已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，M是椭圆上的一点，N是MF1的中点，若ON＝1，则MF1的长等于__________．
活动二 理解椭圆的几何性质
例3　(1) 椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为________；
(2) 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，且F1F2＝2c，点A在椭圆上，·＝0，·＝c2，则椭圆的离心率e等于________.
例4　如图，F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A，B为顶点．已知椭圆C上的点到两个焦点F1，F2的距离之和为4.
(1) 求椭圆C的方程和焦点坐标；　　　　
(2) 过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F1PQ的面积．
活动三 利用椭圆方程及几何性质求解最值问题
例5　设P是椭圆＋y2＝1(a>1)短轴的一个端点，Q是椭圆上的一个动点，则PQ的最大值为__________.
例6　已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，A，B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 已知点E(3，0)，设P，Q是椭圆C上的两个动点，满足EP⊥EQ，求·的最小值．
1. 已知椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过点F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则PF2的长为(　　)
A. 　 B. 　 C. 　 D. 4
2. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，若点F关于直线x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. －1 D. －1
3. (多选)若椭圆＋＝1上的一点P到椭圆焦点的距离之积为a，当a取得最大值时，点P的坐标可能为　(　　)
A. (－4，0) B. (4，0) C. (0，3) D. (0，－3)
4. 已知椭圆C与椭圆4x2＋9y2＝36具有相同的焦点，且离心率为，则椭圆C的标准方程为__________．
5. 已知A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点P在椭圆上，直线AP的斜率为.设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
参考答案与解析
【活动方案】
例1　(1) ＋y2＝1　解析：由题意，得c＝，＝，所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝1.因为焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2) ＋＝1　解析：由题意，得解得所以b2＝a2－c2＝3.因为焦点在x轴上，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
例2　6　解析：由题意，得a＝4，根据椭圆的定义可知MF1＋MF2＝8.因为在△MF1F2中，N是MF1的中点，O是F1F2的中点，所以MF2＝2ON，所以MF1＝8－MF2＝8－2ON＝8－2＝6.
例3　(1) 　解析：由题意知c＝b，即b＝3c，所以a＝＝c，所以e＝＝.
(2) 　解析：设点A在x轴的上方，由·＝0，知AF1⊥F1F2，所以点A(－c，)，所以＝(0，－)，＝(2c，－)，所以·＝0＋＝c2，所以b4＝a2c2，即(a2－c2)2＝a2c2，整理得c4－3a2c2＋a4＝0，即()4－3()2＋1＝0，解得＝，所以e＝＝.
例4　(1) 由题意，得解得
所以c＝＝1，
所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)．
(2) 由(1)知点A(－2，0)，B(0，)，
所以kPQ＝kAB＝，
所以PQ所在直线的方程为y＝(x－1)．
由消去x并整理，得8y2＋4y－9＝0.
设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
所以|y1－y2|＝＝＝，
所以S△F1PQ＝F1F2·|y1－y2|＝×2×＝.
例5　　解析：根据椭圆的对称性，不妨设P(0，1)，Q(x，y)，则PQ＝.因为点Q在椭圆上，所以x2＝a2(1－y2)(a>1)，所以PQ2＝a2(1－y2)＋y2－2y＋1＝(1－a2)y2－2y＋1＋a2＝(1－a2)·－＋1＋a2.因为|y|≤1，a>1，若a≥，则－1≤<0，当y＝时，PQ取最大值；若1例6　(1) 设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
则解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2) 因为EP⊥EQ，
所以·＝·(－)＝||2.
设点P(x0，y0)，则x＋4y＝36，
所以·＝(x0－3)2＋y＝(x0－4)2＋6.
又因为－6≤x0≤6，
所以当x0＝4时，·的最小值为6.
【检测反馈】
1. C　解析：因为PF1＋PF2＝4，PF1＝＝，所以PF2＝4－＝.
2. A　解析：因为点F(－c，0)关于直线x＋y＝0的对称点为A(0，c)，且点A在椭圆上，所以c＝b，所以椭圆C的离心率e＝＝＝.
3. CD　解析：设椭圆＋＝1的两个焦点分别为F1，F2，则PF1＋PF2＝8，所以PF1·PF2≤＝16，当且仅当PF1＝PF2＝4时，取等号，所以当点P位于椭圆的短轴的顶点处时，a取得最大值，此时点P的坐标为(0，3)或(0，－3)．故选CD.
4. ＋＝1　解析：由4x2＋9y2＝36，得＋＝1，则c＝＝，所以设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且c＝.因为＝，所以a＝5，所以b2＝a2－c2＝20，所以椭圆C的方程为＋＝1.
5. 由题意，得直线AP的方程是x－y＋6＝0.
设点M的坐标是(m，0)，
则点M到直线AP的距离是，
所以＝|m－6|.
又－6≤m≤6，解得m＝2，所以点M(2，0)．
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，
则d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝＋15.
因为－6≤x≤6，
所以当x＝时，d取最小值，
所以椭圆上的点到点M的距离的最小值为.