活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线与方程3.2.1双曲线的标准方程(1)（有答案）

3.2.1　双曲线的标准方程(1)
1. 在具体的情景和数学实验中，了解双曲线的定义．
2. 经历双曲线标准方程的建立过程，再次体验求曲线方程的一般方法．
3. 了解双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程．
活动一 了解双曲线的定义，建立并理解双曲线的标准方程
发电厂冷却塔轴截面的外轮廓线的形状是双曲线．用点光源照射一个放在地面上的球，适当调整点光源的位置，球在地面上影子的外轮廓线可以是双曲线的一部分．
双曲线型自然通风冷却塔
取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在画板上的F1，F2两点．把笔尖放在点P处，随着拉链拉开或者闭拢，笔尖画出的曲线就是双曲线的一部分．
1. 双曲线的定义
自然语言：平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线．
符号语言：|PF1－PF2|＝2a(常数)，0<2a焦点与焦距：两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距．
2. 理解双曲线的标准方程　　
思考1
双曲线与椭圆从定义上看极为相似，那么类比椭圆标准方程的推导，能否得到双曲线的标准方程？
(1) 如何建立坐标系？
(2) 双曲线上的点满足的几何条件是什么？
(3) 如何用代数式表示这个几何条件？
(4) 如何化简这个代数式？令c2－a2＝b2(b>0)，双曲线的方程可化为什么形式？
思考2
若双曲线的焦点在y轴上，你能从焦点在x轴上的双曲线方程的结构特征猜想此时的标准方程吗？怎样推导？
思考3
双曲线的标准方程有什么结构特征？
思考4
两种形式双曲线的标准方程有哪些相同点？有哪些不同点？如何区分？
思考5
双曲线中a，b，c满足怎样的关系？椭圆中 a，b，c满足怎样的关系？
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图　　形
标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
焦点坐标 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
活动二 掌握双曲线的标准方程的求法
　例1　已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P到F1，F2的距离的差的绝对值为8，求双曲线的标准方程．
　若将条件中的“绝对值”去掉，结果如何？
例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1) a＝3，b＝4，焦点在x轴上；
(2) a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；
(3) a＝2，且与双曲线－＝1有公共的焦点．
思考6
若例2已知条件中焦点所在的位置没有明确，则结果如何？
　求经过(－2，)，(，4)两点的双曲线的标准方程．
求双曲线的标准方程，首先要“定位”，即确定双曲线与坐标轴的位置关系，焦点所在的坐标轴，从而选择对应形式的标准方程；其次要“定量”，即确定a，b的值.
活动三 理解双曲线的标准方程
例3　(1) 若方程－＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是________________；
(2) 若方程－＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是__________．
1. “k>9”是“＋＝1表示双曲线”的(　　)
A. 充分不必要条件　　 B. 必要不充分条件
C. 充要条件　　 D. 既不充分又不必要条件
2. 若椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为(　　)
A. 1　　　 B. 1或－2 C. 1或　　　 D.
3. (多选)已知点P在双曲线C：－＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法中正确的有(　　)
A. 点P到x轴的距离为 B. PF1＋PF2＝
C. △PF1F2为钝角三角形 D. ∠F1PF2＝
4. 已知圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为____________．
5. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1) 焦点为(0，6)，(0，－6)，a＝3；
(2) 经过(3，－4)和两点；
(3) 已知双曲线与椭圆＋＝1有共同焦点，且过点(，4)．
参考答案与解析
【活动方案】
思考1：(1) 以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．
(2) 双曲线上的点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数．
(3) 设P(x，y)为双曲线上的任意一点，F1(－c，0)，F2(c，0)，则|－|＝2a.
(4) 化简，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．
若c2－a2＝b2(b>0)，则－＝1(a>0，b>0)．
思考2：－＝1(a>0，b>0)，推导略．
思考3：略
思考4：略
思考5：双曲线：c2＝a2＋b2，椭圆：a2＝b2＋c2.
例1　由题意，得c＝5，2a＝8，即a＝4，
所以b2＝c2－a2＝9.
因为焦点在x轴上，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
跟踪训练　若PF1－PF2＝8，
则双曲线的方程为－＝1(x≥4)．
若PF2－PF1＝8，
则双曲线的方程为－＝1(x≤－4)．
例2　(1) 由题意，得双曲线的标准方程为－＝1.
(2) 因为双曲线的焦点在y轴上，所以设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
由题意知a＝2，且双曲线过点A(2，－5)，
所以解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(3) 设双曲线的标准方程为－＝1.
因为双曲线－＝1的焦点为(±2，0)，
所以c＝2.
又a＝2，所以b2＝8，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
思考6：应分类讨论，分为焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况．
跟踪训练　设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
因为双曲线经过，两点，
所以解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
例3　(1) (－∞，－2)∪(－1，＋∞)　解析：由题意，得(2＋k)(1＋k)>0，解得k>－1或k<－2，故实数k的取值范围是(－∞，－2)∪(－1，＋∞)．
(2) (－2，2)　解析：由题意，得解得－2【检测反馈】
1. A　解析：若＋＝1表示双曲线，则(9－k)(k－4)<0，解得k>9或k<4，所以“k>9”是“＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件．
2. A　解析：由题意，得解得a＝1.
3. BC　解析：因为双曲线C：－＝1，所以c＝＝5.又因为S△PF1F2＝×2c|yP|＝×10×|yP|＝20，所以|yP|＝4，故A错误；将|yP|＝4代入－＝1，得－＝1，则|xP|＝.根据对称性，不妨取点P的坐标为，可知PF2＝＝.由双曲线定义可知PF1＝PF2＋2a＝＋8＝，所以PF1＋PF2＝＋＝，故B正确；根据对称性，对于点P，在△PF1F2中，PF1＝>2c＝10>PF2＝，且cos∠PF2F1＝＝－<0，则∠PF2F1为钝角，所以△PF1F2为钝角三角形．由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝≠，所以∠F1PF2≠，故C正确，D错误．故选BC.
4. －＝1　解析：由圆的方程x2＋y2－4x－9＝0知，与y轴的交点坐标为(0，3)，(0，－3)．因为圆与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，所以双曲线的焦点在y轴上，且a＝3.又因为A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，所以c＝9，则b2＝72，所以此双曲线的标准方程为－＝1.
5. (1) 由题意，得双曲线的焦点在y轴上，c＝6，a＝3，
所以b2＝c2－a2＝27，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2) 设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
因为双曲线过点(3，－4)和点，
所以解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(3) 因为双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，
所以设双曲线的标准方程为－＝1，c＝＝3.
又因为双曲线过点(，4)，
所以解得
故双曲线的标准方程为－＝1.