活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线与方程3.2.1双曲线的标准方程(2)（有答案）

3．2.1　双曲线的标准方程(2)
1. 能根据已知条件求双曲线的标准方程．
2. 能用双曲线的标准方程处理简单的实际问题．
活动一 利用双曲线的定义求双曲线的方程
例1　(1) 若动圆M恒过定点B(－3，0)，且与定圆C：(x－3)2＋y2＝4外切，求动圆圆心M的轨迹方程；
(2) 在△ABC中，已知AB＝4，且2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
例2　在△ABC中，B(－6，0)，C(6，0)，直线AB，AC的斜率乘积为，求顶点A的轨迹．
例3　已知A，B两地相距800 m，一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处迟2 s，设声速为340 m/s.
(1) 爆炸点在什么曲线上？
(2) 求这条曲线的方程．
思考
利用两个不同的观测点，可以确定爆炸点所在的曲线，但不能完全确定爆炸点的位置，要有几个观测点才能确定爆炸点的位置？
活动二 掌握双曲线定义的应用
例4　过双曲线－＝1的左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，则MF2＋NF2－MN＝________；若MN＝5，则△MNF2的周长为________.
活动三 掌握双曲线中与焦点三角形有关的基本运算
例5　已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P为双曲线上的任意一点，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
1. 若动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是(　　)
A. 双曲线的一支 B. 圆
C. 椭圆 D. 双曲线
2. 已知P是双曲线－＝1上的一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若PF1＝3，则PF2的长为(　　)
A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9
3. (多选)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下列命题中错误的是(　　)
A. 若曲线C为椭圆，则13或t<1
C. 曲线C可能是圆 D. 若曲线C为椭圆，且长轴在y轴上，则14. 已知P是双曲线－＝1上的一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且PF1＝17，则PF2＝________．
5. 如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有三个监测点A，B，C，且OA＝OB＝OC＝30 km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，点A接收到信号的时间比点B接收到信号的时间早 s(注：信号传播速度为V0km/s)．
(1) 以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；
(2) 若监测点C信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？
参考答案与解析
【活动方案】
例1　(1) 因为圆M与圆C外切，
所以MC＝MB＋2，即MC－MB＝2.
因为0所以由双曲线定义，知点M的轨迹为以B，C为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，
其中a＝1，c＝3，
所以b2＝c2－a2＝8，
故所求轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
(2) 以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则A(－2，0)，B(2，0)．
因为2sin A＋sin C＝2sin B，
所以由正弦定理，得2BC＋AB＝2AC，
所以AC－BC＝AB＝2所以由双曲线的定义，知点C的轨迹是以A，B为焦点，2为实轴长的双曲线的右支(除去与x轴的交点)，
所以a＝，c＝2，则b＝，
所以顶点C的轨迹方程为－＝1(x>)．
例2　设点A的坐标为(x，y)(y≠0)．
由题意，得kAB·kAC＝，即·＝，
化简，得－＝1(y≠0)，
所以顶点A的轨迹是双曲线(除去与x轴的交点)，轨迹方程为－＝1(y≠0)．
例3　(1) 由声速及A，B两处听到爆炸声的时间差，可知爆炸点离A处比离B处距离更远，所以爆炸点应位于以A，B为焦点的双曲线上，且靠近B处的双曲线的一支上．
(2) 以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，
设A(－400，0)，B(400，0)，M(x，y)为曲线上的任意一点，
则MA－MB＝2×340＝680<800，
所以2a＝680，即a＝340.
又c＝400，
所以b2＝c2－a2＝44 400，
所以点M的轨迹方程为 －＝1.
又因为该曲线是靠近点B的双曲线的一支，
所以这条曲线的方程为－＝1(x≥340)．
思考：需要三个观测点才能确定爆炸点的位置．
例4　8　18　解析：由双曲线的定义，得MF2－MF1＝2a，NF2－NF1＝2a，两式相加，得MF2＋NF2－MN＝4a＝8.△MNF2的周长为MF2＋NF2＋MN＝MF2＋NF2－MN＋2MN＝8＋10＝18.
例5　由余弦定理，得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos ，即PF＋PF－PF1·PF2＝100.
又|PF2－PF1|＝8，
所以PF＋PF＝64＋2PF1·PF2，
所以64＋PF1·PF2＝100，即PF1·PF2＝36，
所以S△F1PF2＝·PF1·PF2·sin ＝×36×＝9.
【检测反馈】
1. A　解析：设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2.由两圆外切的充要条件，得MO1＝r＋1，MO2＝r＋2，所以MO2－MO1＝1.又O1O2＝4>1，所以动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近点O1)．
2. C　解析：由题意，得a＝2，所以|PF1－PF2|＝4.又PF1＝3，所以PF2＝7.
3. AD　解析：若t>3，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线；若t<1，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；若24. 33　解析：由双曲线方程－＝1，得a＝8，b＝6，c＝10，由双曲线的图象，得点P到右焦点F2的距离d≥c－a＝2.因为|PF1－PF2|＝16，PF1＝17，所以PF2＝1(舍去)或PF2＝33.
5. (1) 设观察员可能出现的位置的所在点为P(x，y)．
因为点A接收到信号的时间比点B接收到信号的时间早 s，
所以PB－PA＝·V0＝40故点P的坐标满足双曲线的定义，
设双曲线方程为－＝1(x<0)．
由题可知2a＝40，2c＝60，解得b2＝c2－a2＝500，
故点P的轨迹方程为－＝1(x<0)．
(2) 设轨迹上一点为P(x，y)，
则PC＝＝.
又由－＝1，得x2＝y2＋400，
代入可得PC＝＝≥＝20，
当且仅当y＝时，取得最小值20.
故为保证有救援希望，扫描半径r至少是20 km.