活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线与方程3.2.2双曲线的几何性质(2)（有答案）
文档属性
| 名称 | 活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线与方程3.2.2双曲线的几何性质(2)（有答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 185.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-11 07:42:32 | ||
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文档简介
3．2.2 双曲线的几何性质(2)
1. 加深对双曲线几何性质的理解．
2. 能用双曲线的方程和几何性质处理一些简单的实际问题．
活动一 理解双曲线的离心率
例1 (1) 已知对称中心为原点的双曲线与椭圆＋y2＝1有公共的焦点且离心率互为倒数，求该双曲线的方程；
(2) 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，求该双曲线的离心率．
例2 已知(1，2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的一点，则其离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
活动二 掌握双曲线的几何性质的简单应用
例3 (1)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，若P为双曲线上的一点，且PF1＝2PF2，则双曲线的离心率的取值范围是__________；
(2) 已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作x轴的垂线，交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，则双曲线的渐近线方程为______________.
例4 已知双曲线C1：x2－＝1.
(1) 求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程；
(2) 直线l：y＝x＋m分别交双曲线C1的两条渐近线于A，B两点，当·＝3时，求实数m的值．
活动三 双曲线方程的简单实际应用
例5 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？
反 思 与 感 悟
根据实际情况建立适当的平面直角坐标系，然后利用待定系数法求出双曲线的标准方程．
1. 双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离为( )
A. B. C. 1 D.
2. 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2，1)在双曲线C的渐近线上，则双曲线C的方程为( )
A. －＝1 B. －＝1 C. －＝1 D. －＝1
3. (多选)已知双曲线C：－＝1过点(3，)，则下列结论中正确的是( )
A. 双曲线C的焦距为4
B. 双曲线C的离心率为
C. 双曲线C的渐近线方程为y＝±x
D. 直线2x－y－1＝0与双曲线C有两个公共点
4. 设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线x＝1与双曲线的其中一条渐近线交于点P，则△PF1F2的面积是________．
5. 过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交双曲线C于点P.若点P 的横坐标为2a，求双曲线C的离心率．
参考答案与解析
【活动方案】
例1 (1) 由题意，得椭圆的焦点坐标为(1，0)，(－1，0)，离心率e＝，则双曲线的焦点坐标为(1，0)，(－1，0)，离心率为.
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则c＝1，a＝，所以b2＝1－＝，
所以双曲线的方程为2x2－2y2＝1.
(2) 不妨设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则顶点坐标为(a，0)，一条渐近线方程为y＝x，焦点坐标为(c，0)．
所以解得所以e＝＝3.
例2 C 解析：由(1，2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的一点，得－＝1，则＝b2＋4，所以e＝＝＝>，所以e>.
例3 (1) (1，3) 解析：由题意，得PF1－PF2＝PF2＝2a，则PF1＝4a.在△PF1F2中，2a<2c<6a，所以1<<3.
(2) x±y＝0 解析：由题意，得PF2＝PF1，则PF1－PF2＝PF1＝2a，即PF1＝4a，PF2＝2a.在Rt△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，所以F1F2＝2c＝2a，即c＝a，所以b＝a，所以双曲线的渐近线方程为x±y＝0.
例4 (1) 由题意，得双曲线C1的焦点坐标为(，0)，(－，0)．
设双曲线C2的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
所以双曲线C2的标准方程为－y2＝1.
(2) 由题意，得双曲线C1的渐近线方程为y＝±2x.
设点A(x1，2x1)，B(x2，－2x2)，
联立
消去y并整理，得3x2－2mx－m2＝0，
由Δ＝(－2m)2－4×3×(－m2)＝16m2>0，
得m≠0.
因为x1x2＝－，
所以·＝x1x2＋2x1(－2x2)＝－3x1x2＝m2，
所以m2＝3，即m＝±.
例5 设点A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图，以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2)．
因为PB＝PC，所以点P在线段BC的垂直平分线上．
又易知kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)，
所以直线PD的方程为y－＝(x＋4)．①
又PB－PA＝4，AB＝6>4，
所以点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
所以双曲线方程为－＝1(x≥2)．②
联立①②，得点P坐标为(8，5)，
所以kPA＝＝，
故甲舰行进的方向角为北偏东30°.
【检测反馈】
1. B 解析：双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，顶点坐标为(1，0)，(－1，0)，故顶点到渐近线的距离为.
2. A 解析：因为双曲线C的焦距为10，点P(2，1)在渐近线上，所以a2＋b2＝c2＝25，＝1，解得b2＝5，a2＝20，故双曲线C的方程为－＝1.
3. AC 解析：由双曲线C：－＝1过点(3，)，可得m＝1，则双曲线C的标准方程为－y2＝1，所以a＝，b＝1，c＝＝2，所以双曲线C的焦距为2c＝4，故A正确；双曲线C的离心率为＝＝，故B错误；双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故C正确；将2x－y－1＝0与－y2＝1联立，消去y可得3x2－4x＋4＝0，Δ＝(－4)2－4×3×4＝－32<0，所以直线2x－y－1＝0与双曲线C没有公共点，故D错误．故选AC.
4. 3 解析：由双曲线方程知其渐近线方程为y＝±3x，焦点F1(－，0)，F2(，0)，则直线x＝1与双曲线的渐近线交于点(1，3)，(1，－3)．不妨设P(1，3)，则S△PF1F2＝×2×3＝3.
5. 不妨设过右焦点且与渐近线平行的直线l的斜率为.
因为直线l过右焦点F(c，0)，
所以直线l的方程为y＝(x－c)．
因为点P的横坐标为2a，
代入双曲线方程，得－＝1，
化简，得y＝－b或y＝b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，－b)，
代入直线方程，得－b＝(2a－c)，
化简，得离心率e＝＝2＋.
1. 加深对双曲线几何性质的理解．
2. 能用双曲线的方程和几何性质处理一些简单的实际问题．
活动一 理解双曲线的离心率
例1 (1) 已知对称中心为原点的双曲线与椭圆＋y2＝1有公共的焦点且离心率互为倒数，求该双曲线的方程；
(2) 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，求该双曲线的离心率．
例2 已知(1，2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的一点，则其离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
活动二 掌握双曲线的几何性质的简单应用
例3 (1)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，若P为双曲线上的一点，且PF1＝2PF2，则双曲线的离心率的取值范围是__________；
(2) 已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作x轴的垂线，交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，则双曲线的渐近线方程为______________.
例4 已知双曲线C1：x2－＝1.
(1) 求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程；
(2) 直线l：y＝x＋m分别交双曲线C1的两条渐近线于A，B两点，当·＝3时，求实数m的值．
活动三 双曲线方程的简单实际应用
例5 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？
反 思 与 感 悟
根据实际情况建立适当的平面直角坐标系，然后利用待定系数法求出双曲线的标准方程．
1. 双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离为( )
A. B. C. 1 D.
2. 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2，1)在双曲线C的渐近线上，则双曲线C的方程为( )
A. －＝1 B. －＝1 C. －＝1 D. －＝1
3. (多选)已知双曲线C：－＝1过点(3，)，则下列结论中正确的是( )
A. 双曲线C的焦距为4
B. 双曲线C的离心率为
C. 双曲线C的渐近线方程为y＝±x
D. 直线2x－y－1＝0与双曲线C有两个公共点
4. 设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线x＝1与双曲线的其中一条渐近线交于点P，则△PF1F2的面积是________．
5. 过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交双曲线C于点P.若点P 的横坐标为2a，求双曲线C的离心率．
参考答案与解析
【活动方案】
例1 (1) 由题意，得椭圆的焦点坐标为(1，0)，(－1，0)，离心率e＝，则双曲线的焦点坐标为(1，0)，(－1，0)，离心率为.
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则c＝1，a＝，所以b2＝1－＝，
所以双曲线的方程为2x2－2y2＝1.
(2) 不妨设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则顶点坐标为(a，0)，一条渐近线方程为y＝x，焦点坐标为(c，0)．
所以解得所以e＝＝3.
例2 C 解析：由(1，2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的一点，得－＝1，则＝b2＋4，所以e＝＝＝>，所以e>.
例3 (1) (1，3) 解析：由题意，得PF1－PF2＝PF2＝2a，则PF1＝4a.在△PF1F2中，2a<2c<6a，所以1<<3.
(2) x±y＝0 解析：由题意，得PF2＝PF1，则PF1－PF2＝PF1＝2a，即PF1＝4a，PF2＝2a.在Rt△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，所以F1F2＝2c＝2a，即c＝a，所以b＝a，所以双曲线的渐近线方程为x±y＝0.
例4 (1) 由题意，得双曲线C1的焦点坐标为(，0)，(－，0)．
设双曲线C2的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
所以双曲线C2的标准方程为－y2＝1.
(2) 由题意，得双曲线C1的渐近线方程为y＝±2x.
设点A(x1，2x1)，B(x2，－2x2)，
联立
消去y并整理，得3x2－2mx－m2＝0，
由Δ＝(－2m)2－4×3×(－m2)＝16m2>0，
得m≠0.
因为x1x2＝－，
所以·＝x1x2＋2x1(－2x2)＝－3x1x2＝m2，
所以m2＝3，即m＝±.
例5 设点A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图，以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2)．
因为PB＝PC，所以点P在线段BC的垂直平分线上．
又易知kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)，
所以直线PD的方程为y－＝(x＋4)．①
又PB－PA＝4，AB＝6>4，
所以点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
所以双曲线方程为－＝1(x≥2)．②
联立①②，得点P坐标为(8，5)，
所以kPA＝＝，
故甲舰行进的方向角为北偏东30°.
【检测反馈】
1. B 解析：双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，顶点坐标为(1，0)，(－1，0)，故顶点到渐近线的距离为.
2. A 解析：因为双曲线C的焦距为10，点P(2，1)在渐近线上，所以a2＋b2＝c2＝25，＝1，解得b2＝5，a2＝20，故双曲线C的方程为－＝1.
3. AC 解析：由双曲线C：－＝1过点(3，)，可得m＝1，则双曲线C的标准方程为－y2＝1，所以a＝，b＝1，c＝＝2，所以双曲线C的焦距为2c＝4，故A正确；双曲线C的离心率为＝＝，故B错误；双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故C正确；将2x－y－1＝0与－y2＝1联立，消去y可得3x2－4x＋4＝0，Δ＝(－4)2－4×3×4＝－32<0，所以直线2x－y－1＝0与双曲线C没有公共点，故D错误．故选AC.
4. 3 解析：由双曲线方程知其渐近线方程为y＝±3x，焦点F1(－，0)，F2(，0)，则直线x＝1与双曲线的渐近线交于点(1，3)，(1，－3)．不妨设P(1，3)，则S△PF1F2＝×2×3＝3.
5. 不妨设过右焦点且与渐近线平行的直线l的斜率为.
因为直线l过右焦点F(c，0)，
所以直线l的方程为y＝(x－c)．
因为点P的横坐标为2a，
代入双曲线方程，得－＝1，
化简，得y＝－b或y＝b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，－b)，
代入直线方程，得－b＝(2a－c)，
化简，得离心率e＝＝2＋.