活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线与方程3.3.1抛物线的标准方程（有答案）

3.3.1　抛物线的标准方程
1. 在具体的情景和数学实验中，了解抛物线的定义．
2. 经历抛物线标准方程的建立过程，体验求曲线方程的一般方法．
3. 了解抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程．
活动一 了解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程
探照灯的内壁是由抛物线的一段旋转而成的．用点光源照射一个放在地面上的球，适当调整点光源的位置，球在地面上影子的外轮廓线可以是抛物线的一部分．
如图，在画板上画一条直线l，把一个直角三角板的一边紧贴直线l，把一条细绳的一端固定在三角板的顶点A处，取细绳长等于点A到直角顶点H的距离，并且把细绳的另一端固定在点F处．用笔尖靠着直角三角板的边AH，并扣紧细绳，然后上下移动三角板，笔尖画出的曲线是抛物线的一部分．
1. 抛物线的定义：
2. 抛物线的标准方程
思考1
设抛物线的焦点F到准线l的距离为p，类比椭圆和双曲线，如何建立直角坐标系，可能使抛物线的方程形式简单？
结论：
抛物线的标准方程为：______________；
焦点坐标为F____________；
准线方程为l：____________．
思考2
抛物线的标准方程还有哪些形式？
　　
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图　　形
焦点坐标
准线方程
开口方向
思考3
抛物线的四种标准方程之间有哪些联系和区别？
思考4
确定抛物线的标准方程的关键是什么？
活动二 掌握抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程
例1　求经过点P(－2，－4)的抛物线的标准方程．
求抛物线的标准方程时需注意的三个问题：
(1) 把握开口方向与方程一次项系数的对应关系；
(2) 当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的次数；
(3) 注意p与的几何意义．
　根据下列条件，求抛物线的标准方程：
(1) 焦点为(6，0);
(2) 焦点为(0，－5)；　
(3) 准线方程为y＝；
(4) 焦点到准线的距离为5;
(5) 经过点(－2，－4)．
活动三 抛物线方程的实际应用
例2　已知探照灯的轴截面是抛物线y2＝x，如图，平行于x轴的光线照射到抛物线上的点P(1，－1)，反射光线经过抛物线的焦点F后又照射到抛物线上的点Q.试确定点Q的坐标．
反 思 与 感 悟
　
求解抛物线实际应用题的步骤：
　　　一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
1. 若动点P到定点F(－4，0)的距离与到直线x＝4的距离相等，则点P的轨迹是(　　)
A. 抛物线　 B. 线段　 C. 直线　 D. 射线
2. 为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果(容器灶圈在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处)，容器灶圈应距离集光板顶点(　　)
A. 0.5m B. 1m C. 1.5m D. 2m
3. (多选)已知顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点A，则点A到此抛物线的焦点的距离可以是(　　)
A. B. C. D.
4. 若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则点M到y轴的距离是________.
5. 根据下列条件分别求抛物线的标准方程．
(1) 抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2) 抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5.
参考答案与解析
【活动方案】
1. 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．
思考1：过点F作直线FN⊥直线l，垂足为N，以直线NF为x轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.
结论：y2＝2px(p>0)　　x＝－
思考2：y2＝－2px(p>0)　x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
小结：略
思考3：共同点：左边都是二次式，且系数为1，右边都是一次式．
区别：开口方向、焦点所在位置不同．
思考4：考虑其开口方向、焦点位置．
例1　如图，因为点P在第三象限，所以满足条件的抛物线的标准方程有两种情形y2＝－2p1x(p1>0)和x2＝－2p2y(p2>0)．
分别将点P的坐标代入方程，
解得p1＝4，p2＝，
故满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为y2＝－8x，x2＝－y.
跟踪训练　(1) y2＝24x
(2) x2＝－20y
(3) x2＝－y
(4) y2＝10x或y2＝－10x或x2＝10y或x2＝－10y
(5) x2＝－y或y2＝－8x
例2　因为抛物线y2＝x的焦点为F，
所以直线PF的方程为y＝－.
由于Q(x，y)是抛物线与直线PF的公共点，
联立方程组
解得或(舍去)，
故点Q的坐标为.
跟踪训练　以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．
因为AB＝4OD，
所以点B的坐标为.
由点B在抛物线上，得＝－2p·，
所以p＝，
所以抛物线方程为x2＝－ay.
设E(0.8，y0)为抛物线上的一点，
代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0，
所以y0＝－，
所以点E到拱底AB的距离h＝－|y0|＝－.
令h＞3，则－＞3，
解得a＞6＋或a＜6－(舍去)，
所以a的最小整数值为13.
【检测反馈】
1. A　解析：动点P的条件满足抛物线的定义．
2. B　解析：如图，画出抛物面的轴截面，并建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，集光板端点A(1，0.25)，代入抛物线方程可得2p＝4，所以抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F(0，1)，所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m.
3. AB　解析：若抛物线的焦点在x轴上，则设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)．由点A在抛物线上，得＝a，即a＝，则y2＝x.由抛物线的定义可知，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线焦点的距离为xA＋＝1＋＝；若抛物线的焦点在y轴上，则设抛物线的方程为x2＝by(b≠0)．由点A在抛物线上，得1＝b，即b＝4，则x2＝4y.由抛物线的定义可知，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线焦点的距离为yA＋1＝＋1＝.故选AB.
4. 9　解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.由点M到焦点的距离为10，可知点M到准线x＝－1的距离也为10，即xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9.
5. (1) 双曲线方程可化为－＝1，左顶点为(－3，0)．
由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
则＝－3，所以p＝6，
所以抛物线的方程为y2＝－12x.
(2) 设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2nx(n≠0)，A(m，－3)．
由抛物线定义，得5＝AF＝|m＋|.
又(－3)2＝2nm，联立解得n＝±1或n＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.