活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线与方程3.3.2　抛物线的几何性质(2)（有答案）

3．3.2　抛物线的几何性质(2)
1. 能熟练地运用抛物线的几何性质解决有关问题．
2. 掌握处理与抛物线有关的综合问题的方法．
活动一 掌握与抛物线的焦点弦有关的性质
例1　已知抛物线y2＝2px(p>0)的一条过焦点F的弦AB被焦点F分成长度为m，n的两部分，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．求证：
(1) y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2) AB＝x1＋x2＋p；
(3) ＋＝；
(4) 以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切．
例2　已知过抛物线y2＝4x的焦点的弦长为36，求弦所在的直线方程．
活动二 理解直线与抛物线的位置关系
例3　过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．求证：直线AC经过原点．
活动三 与抛物线有关的定点、定值问题
例4　设抛物线W：y2＝4x的焦点为F，直线l：y＝x＋m与抛物线W相交于A，B两点，Q为线段AB的中点．
(1) 求m的取值范围；
(2) 求证：点Q的纵坐标为定值．
　
反 思 与 感 悟
　
1. 欲证某个量为定值，一般将该量用某变量表示，通过变形化简，消掉此变量，即证得结论，所得结果即为定值．
2. 寻求一条直线经过某个定点的常用方法：
(1) 通过方程判断；
(2) 对参数取几个特殊值，探求定点，再证明此点在直线上；
(3) 利用曲线的性质(如对称性等)，令其中一个变量为定值，再求出另一个变量为定值；
(4) 转化为三点共线的斜率相等或向量平行等．
　已知抛物线的方程是y2＝4x，直线l交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1) 若弦AB的中点为(3，3)，求直线l的方程；
(2) 若y1y2＝－12，求证：直线l过定点．
1. 若A是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当AF＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是(　　)
A. x＝－1 B. y＝－1 C. x＝－2 D. y＝－2
2. 从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且PM＝9，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若AF＝4，则下列结论中正确的是(　　)
A. p＝2 B. F为AD的中点
C. BD＝2BF D. BF＝2
4. 设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上的一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，若PF＝3，则线段PQ的长为________．
5. 如图，已知F(1，0)为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上．
(1) 求p的值及抛物线的准线方程；
(2) 求证：直线OA与直线BC的倾斜角互补．
参考答案与解析
【活动方案】
例1　(1) 若直线AB的斜率不存在，则y1y2＝－p2，x1x2＝，显然成立；
若直线AB的斜率存在，则设直线方程AB的斜率为k，且直线AB过焦点F，
所以直线AB的方程为y＝k.
联立消去x并整理，得y2－y－p2＝0，则y1y2＝－p2.
消去y并整理，得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，
则x1x2＝.
综上所述，y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2) 由题意，得抛物线的准线l的方程为x＝－.
过点A作AM⊥l，垂足为M，过点B作BN⊥l，垂足为N，则AB＝AF＋BF＝AM＋BN＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p.
(3) 若直线AB的斜率不存在，则＋＝＝＝＝；
若直线AB的斜率存在，则由(1)(2)，得m＋n＝x1＋x2＋p＝＋p＝，
mn＝＝x1x2＋(x1＋x2)＋＝，
所以＋＝＝.
综上所述，＋＝.
(4) 若直线AB的斜率不存在，则抛物线的焦点F为圆心，半径为p，
所以以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切；
若直线AB的斜率存在，则圆心坐标为(，)．
由(1)，得＝，
半径为＝.
又圆心到准线距离为＋＝，
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
综上所述，以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切．
例2　由题意知弦所在直线的斜率显然存在，且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，设斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－1)．
联立消去y并整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则x1＋x2＝.
又抛物线的准线方程为x＝－1，
所以AB＝x1＋x2＋2＝36，
即＋2＝36，解得k＝±，
所以直线AB的方程为y＝±(x－1)．
例3　由题意，得点F，设直线AB的方程为x＝my＋，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 点C.
联立消去x并整理，得y2－2mpy－p2＝0，则y1y2＝－p2，
所以kC O＝＝＝＝＝＝kAO，
所以直线AC经过原点．
例4　(1) 直线l：y＝x＋m与抛物线W：y2＝4x联立，得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，
所以Δ＝(2m－4)2－4m2＞0，解得m＜1，
故m的取值范围为(－∞，1)．
(2) 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4－2m，x1x2＝m2，
则点Q的纵坐标为＝＝2，
所以点Q的纵坐标为定值2.
跟踪训练　(1) 因为抛物线的方程为y2＝4x，则有
y＝4x1，①
y＝4x2，②
因为弦AB的中点为(3，3)，所以x1≠x2.
①－②，得y－y＝4x1－4x2，
所以＝＝，
所以直线l的方程为y－3＝(x－3)，
即y＝x＋1.
(2) 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋b，代入抛物线方程消去x并整理，得ky2－4y＋4b＝0，
所以y1y2＝＝－12，则b＝－3k，
所以直线l的方程为y＝kx－3k＝k(x－3)，过定点(3，0)．
当直线l的斜率不存在时，y1y2＝－12，则x1＝x2＝3，所以直线l过定点(3，0)．
综上，直线l过定点(3，0)．
【检测反馈】
1. A　解析：过点A作准线的垂线AC，过点F作AC的垂线FB，垂足分别为C，B.由题意，得∠BFA＝∠OFA－90°＝30°.又因为AF＝4，所以AB＝2，所以点A到准线的距离d＝AB＋BC＝p＋2＝4，解得p＝2，则抛物线方程为y2＝4x，其准线方程是x＝－1.
2. C　解析：设点P(x0，y0)，由抛物线y2＝4x，可知其焦点F的坐标为(1，0)，故PM＝x0＋1＝9，解得x0＝8，故点P的坐标为(8，4)，所以kPF＝＝.
3. ABC　解析：如图，过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点C，E，作AM⊥x轴于点M.因为直线l的斜率为，所以tan∠AFM＝，则∠AFM＝.因为AF＝4，所以MF＝2，AM＝2，所以点A，代入抛物线方程，得p＝2，故A正确；由上，得NF＝FM＝2，易得△AMF≌△DNF，所以AF＝DF，所以F为AD的中点，故B正确；因为∠BDE＝，所以BD＝2BE＝2BF，故C正确；因为BD＝2BF，BD＋BF＝DF＝AF＝4，所以BF＝，故D错误．故选ABC.
4. 2　解析：抛物线的准线方程为x＝－1，由于PF＝3，根据抛物线的定义可知xP＝2，将xP＝2代入抛物线方程，得y2＝8，yP＝±2，所以PQ＝2.
5. (1) 因为F(1，0)为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，即＝1，则p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
(2) 当直线AB的斜率存在时，设过点F的直线方程为y＝k(x－1)，k≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(m，n)，
则y＝4x1，y＝4x2，n2＝4m.
联立直线y＝k(x－1)和抛物线y2＝4x的方程，
消去x并整理，得ky2－4y－4k＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝－4，
则kOA＋kBC＝＋＝＋＝，
由△ABC的重心G在x轴上，可得＝0，即n＋y1＋y2＝0，
所以kOA＋kBC＝0，
所以直线OA与直线BC的倾斜角互补．
当直线AB的斜率不存在时，求得点A，B，C的坐标，易得kOA＋kBC＝0，
所以直线OA与直线BC的倾斜角互补．
综上，直线OA与直线BC的倾斜角互补．