活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线与方程3.6.1 圆锥曲线的综合应用(1)（有答案）
文档属性
| 名称 | 活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线与方程3.6.1 圆锥曲线的综合应用(1)（有答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 190.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-11 10:21:44 | ||
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文档简介
3.6.1 圆锥曲线的综合应用(1)
1. 掌握圆锥曲线的方程和几何性质的应用．
2. 体会方程思想和数形结合思想在圆锥曲线问题中的应用．
活动一 圆锥曲线方程的应用
例1 椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是线段AB的中点，O为坐标原点，若AB＝2，直线OC的斜率为，求椭圆的方程．
例2 已知焦点在x轴上的双曲线Γ经过点M(，)，N(－2，－)．
(1) 求双曲线Γ的离心率e；
(2) 若直线l：y＝x－1与双曲线Γ交于A，B两点，求弦长AB.
活动二 圆锥曲线几何性质的应用
例3 若O，F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，求·的最大值．
例4 (1) 已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为双曲线C右支上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________；
(2) 已知抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是________．
1. 抛物线x＝y2的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线距离是( )
A. B. C. D.
2. 已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为( )
A. 6 B. 15 C. 20 D. 12
3. (多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l，焦点为F，原点为O，过点F的直线交抛物线于点M，N，且M在第一象限，＝3，分别过点M，N作准线的垂线于点P，Q，直线MN的倾斜角为α，则下列说法中一定正确的是( )
A. kMN＝ B. S△MON＝
C. M，O，Q三点共线 D. 以MF为直径的圆与y轴相切
4. 如图，F1，F2是双曲线E：－＝1与椭圆O的公共焦点，A是它们在第二象限的交点，且AF1⊥AF2，则椭圆O的离心率为________．
5. 已知椭圆x2＋8y2＝8，直线l：x－y＋a＝0.
(1) 当a为何值时，直线l与椭圆相切？
(2) 若a＝6，在椭圆x2＋8y2＝8上求一点P，使得它到直线l的距离最短，并求出最短距离．
参考答案与解析
【活动方案】
例1 易知a>0，b>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由题意，得ax＋by＝1, ①
ax＋by＝1, ②
②－①，得a(x1＋x2)(x2－x1)＋b(y2＋y1)·(y2－y1)＝0.
因为＝kAB＝－1，＝kOC＝，
所以b＝a.
又AB＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，
所以|x2－x1|＝2.
由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|x2－x1|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝()2－4·＝4，
将b＝a代入上式，得a＝，b＝，
所以所求椭圆的方程为＋y2＝1.
例2 (1) 设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
将点M(，)，N(－2，－)代入，
得－＝1，－＝1，
解得a＝，b＝，
则双曲线的方程为－＝1.
由c＝＝，得e＝＝.
(2) 联立方程组消去y并整理，得x2＋2x－9＝0，
解得x1＝，x2＝－3，
则AB＝·|x1－x2|＝×4＝8.
例3 由＋＝1，得F(－1，0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
所以当x＝2时，·取得最大值6.
例4 (1) 44 解析：由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，所以A(5，0)是双曲线C的右焦点，且PQ＝QA＋PA＝4b＝16，点P，Q在双曲线的右支上．由双曲线的定义，得PF－PA＝6，QF－QA＝6，所以PF＋QF＝12＋PA＋QA＝28，所以△PQF的周长为PF＋QF＋PQ＝28＋16＝44.
(2) 4 解析：由抛物线的定义可得AF＝AH，因为直线AF的斜率为，所以直线AF的倾斜角为30°.因为AH垂直于准线，所以∠FAH＝60°，故△AHF为等边三角形．设A(m，)，m>0，过点F作FM⊥AH于点M，则在Rt△FAM中，AM＝AF，所以－1＝(＋1)，解得m＝2，故等边三角形AHF的边长AH＝4，所以△AHF的面积是×4×4sin 60°＝4.
【检测反馈】
1. B 解析：抛物线x＝y2，即y2＝4x的焦点(1，0)到双曲线x2－＝1的渐近线y＝±x的距离是.
2. D 解析：S＝OF·|yA－yB|≤OF·2b＝12.
3. ACD 解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由题意，得直线MN的方程为y＝k，且k>0，与y2＝2px(p>0)联立，消去y并整理，得k2x2－(k2p＋2p)x＋k2p2＝0，则x1＋x2＝p＋①，x1x2＝②.因为＝3，所以x1＋＝3，即x1－3x2＝p③，由②③解得x1＝p，x2＝p，代入①得，p＋p＝p＋，解得k2＝3.因为k>0，所以k＝，故A正确；将x1＝p，x2＝p分别代入y2＝2px中，可得M，N(p，－p)，所以S△MON＝OF·|y1－y2|＝××p＝p2.由A可知，k＝＝tan α，所以sin α＝，所以＝＝≠p2，故B错误；因为NQ⊥l，所以Q，所以kOM＝，kOQ＝，所以M，O，Q三点共线，故C正确；因为M，F，所以MF＝2p，线段MF的中点坐标为.因为线段MF的中点的横坐标恰为MF的一半，所以以MF为直径的圆与y轴相切，故D正确．故选ACD.
4. 解析：设椭圆O的方程为＋＝1(a>b>0)，易得所以a＝2，所以椭圆F的离心率为c＝＝＝.
5. (1) 联立消去x并整理，得9y2－2ay＋a2－8＝0，
令Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，解得a＝－3或a＝3，
所以当a的值为－3或3时，椭圆与直线l相切．
(2) 由(1)知与直线l平行的两切线方程为x－y－3＝0和x－y＋3＝0，
显然直线x－y＋3＝0距离直线l最近，此时直线x－y＋3＝0与椭圆的切点P到直线l的距离最短，
则d＝＝，
联立解得
即点P的坐标为.
故当点P的坐标为时，点P到直线l的距离最短，为.
1. 掌握圆锥曲线的方程和几何性质的应用．
2. 体会方程思想和数形结合思想在圆锥曲线问题中的应用．
活动一 圆锥曲线方程的应用
例1 椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是线段AB的中点，O为坐标原点，若AB＝2，直线OC的斜率为，求椭圆的方程．
例2 已知焦点在x轴上的双曲线Γ经过点M(，)，N(－2，－)．
(1) 求双曲线Γ的离心率e；
(2) 若直线l：y＝x－1与双曲线Γ交于A，B两点，求弦长AB.
活动二 圆锥曲线几何性质的应用
例3 若O，F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，求·的最大值．
例4 (1) 已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为双曲线C右支上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________；
(2) 已知抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是________．
1. 抛物线x＝y2的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线距离是( )
A. B. C. D.
2. 已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为( )
A. 6 B. 15 C. 20 D. 12
3. (多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l，焦点为F，原点为O，过点F的直线交抛物线于点M，N，且M在第一象限，＝3，分别过点M，N作准线的垂线于点P，Q，直线MN的倾斜角为α，则下列说法中一定正确的是( )
A. kMN＝ B. S△MON＝
C. M，O，Q三点共线 D. 以MF为直径的圆与y轴相切
4. 如图，F1，F2是双曲线E：－＝1与椭圆O的公共焦点，A是它们在第二象限的交点，且AF1⊥AF2，则椭圆O的离心率为________．
5. 已知椭圆x2＋8y2＝8，直线l：x－y＋a＝0.
(1) 当a为何值时，直线l与椭圆相切？
(2) 若a＝6，在椭圆x2＋8y2＝8上求一点P，使得它到直线l的距离最短，并求出最短距离．
参考答案与解析
【活动方案】
例1 易知a>0，b>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由题意，得ax＋by＝1, ①
ax＋by＝1, ②
②－①，得a(x1＋x2)(x2－x1)＋b(y2＋y1)·(y2－y1)＝0.
因为＝kAB＝－1，＝kOC＝，
所以b＝a.
又AB＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，
所以|x2－x1|＝2.
由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|x2－x1|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝()2－4·＝4，
将b＝a代入上式，得a＝，b＝，
所以所求椭圆的方程为＋y2＝1.
例2 (1) 设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
将点M(，)，N(－2，－)代入，
得－＝1，－＝1，
解得a＝，b＝，
则双曲线的方程为－＝1.
由c＝＝，得e＝＝.
(2) 联立方程组消去y并整理，得x2＋2x－9＝0，
解得x1＝，x2＝－3，
则AB＝·|x1－x2|＝×4＝8.
例3 由＋＝1，得F(－1，0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
所以当x＝2时，·取得最大值6.
例4 (1) 44 解析：由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，所以A(5，0)是双曲线C的右焦点，且PQ＝QA＋PA＝4b＝16，点P，Q在双曲线的右支上．由双曲线的定义，得PF－PA＝6，QF－QA＝6，所以PF＋QF＝12＋PA＋QA＝28，所以△PQF的周长为PF＋QF＋PQ＝28＋16＝44.
(2) 4 解析：由抛物线的定义可得AF＝AH，因为直线AF的斜率为，所以直线AF的倾斜角为30°.因为AH垂直于准线，所以∠FAH＝60°，故△AHF为等边三角形．设A(m，)，m>0，过点F作FM⊥AH于点M，则在Rt△FAM中，AM＝AF，所以－1＝(＋1)，解得m＝2，故等边三角形AHF的边长AH＝4，所以△AHF的面积是×4×4sin 60°＝4.
【检测反馈】
1. B 解析：抛物线x＝y2，即y2＝4x的焦点(1，0)到双曲线x2－＝1的渐近线y＝±x的距离是.
2. D 解析：S＝OF·|yA－yB|≤OF·2b＝12.
3. ACD 解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由题意，得直线MN的方程为y＝k，且k>0，与y2＝2px(p>0)联立，消去y并整理，得k2x2－(k2p＋2p)x＋k2p2＝0，则x1＋x2＝p＋①，x1x2＝②.因为＝3，所以x1＋＝3，即x1－3x2＝p③，由②③解得x1＝p，x2＝p，代入①得，p＋p＝p＋，解得k2＝3.因为k>0，所以k＝，故A正确；将x1＝p，x2＝p分别代入y2＝2px中，可得M，N(p，－p)，所以S△MON＝OF·|y1－y2|＝××p＝p2.由A可知，k＝＝tan α，所以sin α＝，所以＝＝≠p2，故B错误；因为NQ⊥l，所以Q，所以kOM＝，kOQ＝，所以M，O，Q三点共线，故C正确；因为M，F，所以MF＝2p，线段MF的中点坐标为.因为线段MF的中点的横坐标恰为MF的一半，所以以MF为直径的圆与y轴相切，故D正确．故选ACD.
4. 解析：设椭圆O的方程为＋＝1(a>b>0)，易得所以a＝2，所以椭圆F的离心率为c＝＝＝.
5. (1) 联立消去x并整理，得9y2－2ay＋a2－8＝0，
令Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，解得a＝－3或a＝3，
所以当a的值为－3或3时，椭圆与直线l相切．
(2) 由(1)知与直线l平行的两切线方程为x－y－3＝0和x－y＋3＝0，
显然直线x－y＋3＝0距离直线l最近，此时直线x－y＋3＝0与椭圆的切点P到直线l的距离最短，
则d＝＝，
联立解得
即点P的坐标为.
故当点P的坐标为时，点P到直线l的距离最短，为.