活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线与方程3．6.2　圆锥曲线的综合应用(2)（有答案）

3．6.2　圆锥曲线的综合应用(2)
1. 掌握圆锥曲线中的最值、定值、定点类问题．
2. 体会方程思想和数形结合思想在圆锥曲线问题中的应用．
活动一 圆锥曲线中的最值问题
例1　已知椭圆C：4x2＋y2＝1.
(1) P(m，n)是椭圆C上一点，求m2＋n2的取值范围；
(2) 设直线y＝x＋m与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及当△AOB的面积最大时的直线方程．
活动二 圆锥曲线中的定值问题
例2　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过A(2，0)，B(0，1)两点．
(1) 求椭圆C的方程及离心率；
活动三 圆锥曲线中的定点问题
(2) 设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴相交于点M，直线PB与x轴相交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
例3　设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，且过点.
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 设椭圆E的左顶点是A，若直线l：x－my－t＝0与椭圆E相交于不同的两点M，N(点M，N与点A 均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标．
1. 已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过点C(－4，0)作抛物线的两条切线CA，CB，A，B为切点，若直线AB经过抛物线y2＝2px的焦点，△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是(　　)
A. y2＝4x B. y2＝－4x
C. y2＝8x D. y2＝－8x
2. 已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则PF＋PA的最小值为(　　)
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
3. (多选)设M，N是抛物线y2＝x上的两个不同的点，O是坐标原点．若直线OM与ON的斜率之积为－，则下列结论中正确的是(　　)
A. OM＋ON≥4 B. 以MN为直径的圆的面积大于4π
C. 直线MN过定点(2，0) D. 点O到直线MN的距离不大于2
4. 抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(3，2)，P是抛物线上的一点，点P不在直线AF上，则△PAF周长的最小值为________．
5. 已知O为坐标原点，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，双曲线－y2＝1的渐近线与椭圆C的交点到原点的距离均为.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 若D，M，N为椭圆C上的动点，M，O，N三点共线，直线DM，DN的斜率分别为k1，k2.
①求证：k1k2＝－；
②若k1＋k2＝0，设直线DM过点(0，m)，直线DN过点(0，n)，求证：m2＋n2为定值．
参考答案与解析
【活动方案】
例1　(1) 因为P(m，n)是椭圆C上的一点，
所以＋n2＝1，
所以m2＋n2＝m2＋1－＝1－3m2.
又因为－≤m≤，所以0≤m2≤，
所以≤1－3m2≤1，
所以m2＋n2的取值范围为.
(2) 可求得点O到直线AB的距离为d＝.
将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，
消去y并整理，得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
因为Δ＝(2m)2－4×5(m2－1)＝20－16m2>0，
所以－因为x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以AB＝·
＝·
＝，
所以S△AOB＝AB·d＝×·
＝≤·＝，当且仅当－m2＝m2，即m＝±时取等号，
所以△AOB面积的最大值为，此时直线方程为x－y－＝0或x－y＋＝0.
例2　 (1) 由题意，得a＝2，b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
又c＝＝，
所以离心率e＝＝.
(2) 设P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，
则x＋4y＝4.
又A(2，0)，B(0，1)，
所以直线PA的方程为y＝(x－2)．
令x＝0，得yM＝－，
所以BM＝1－yM＝1＋.
直线PB的方程为y＝x＋1.
令y＝0，得xN＝－，
所以AN＝2－xN＝2＋，
所以四边形ABNM的面积S＝AN·BM
＝
＝
＝＝2，
所以四边形ABNM的面积为定值．
例3　(1) 由e2＝＝＝，得a2＝2b2，
所以椭圆方程为＋＝1.
将点代入，得b2＝2，a2＝4，
故椭圆E的方程为＋＝1.
(2) 由x－my－t＝0，得x＝my＋t，
代入椭圆E的方程，得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
所以x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝，
x1x2＝(my1＋t)(my2＋t)＝m2y1y2＋tm(y1＋y2)＋t2＝.
因为以MN为直径的圆过点A，
所以AM⊥AN，
所以·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)
＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2
＝＋2×＋4＋
＝＝＝0.
因为点M，N与点A均不重合，所以t≠－2，
所以t＝－，直线l的方程是x＝my－，直线l过定点T.
易知点T在椭圆内部，故满足判别式大于0，
所以直线l过定点T.
【检测反馈】
1. D　解析：由抛物线的对称性知A，B，则S△CAB＝·2p＝24，解得p＝4(舍负)，则直线AB的方程为x＝2，所以所求抛物线的标准方程为y2＝－8x.
2. C　解析：由题意，得F(－4，0)，右焦点为H(4，0)，由双曲线的定义可得PF＋PA＝2a＋PH＋PA≥2a＋AH＝9，则PF＋PA的最小值为9.
3. CD　解析：不妨设M为第一象限内的点，当直线MN⊥x轴时，kOM＝－kON，由kOM·kON＝－，得kOM＝，kON＝－，所以直线OM，ON的方程分别为y＝x和y＝－x，与抛物线方程联立，得M(2，)，N(2，－)，所以直线MN的方程为x＝2，此时OM＋ON＝2，以MN为直径的圆的面积S＝2π，故A，B不正确；当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN的方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立，消去x并整理，得ky2－y＋m＝0，则Δ＝1－4km>0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2＝.因为kOM·kON＝－，所以·＝－，则2y1y2＝－x1x2＝－yy，则y1y2＝－2，所以＝－2，即m＝－2k，所以直线MN的方程为y＝kx－2k，即y＝k(x－2)．综上可知，直线MN恒过定点Q(2，0)，故C正确；易知当OQ⊥MN时，原点O到直线MN的距离最大，最大距离为2，即原点O到直线MN的距离不大于2，故D正确．故选CD.
4. 4＋2　解析：过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，则PF＝PQ，△PAF的周长为PF＋PA＋AF＝PQ＋PA＋AF≥4＋2，当且仅当A，P，Q三点共线时取等号，所以周长的最小值为4＋2.
5. (1) 设椭圆的半焦距为c，由题意知e＝＝＝＝，所以a＝2b. ①
因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，
所以可设双曲线的渐近线与椭圆C在第一象限的交点为P(2t，t)，
所以＝，解得t2＝.
因为点P(2t，t)在椭圆上，
所以＋＝1，
即＋＝1，②
由①②解得a＝2，b＝1，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2) 由题意知点M，N关于原点对称，则可设D(x1，y1)，M(x2，y2)，N(－x2，－y2)．
①因为点D，M在椭圆C上，
所以＋y＝1，＋y＝1，
所以y＝1－，y＝1－，
所以k1k2＝·＝＝＝－.
②不妨设k1>0，k2<0，
因为k1k2＝－，k1＋k2＝0，
所以k1＝，k2＝－.
因为直线DM过点(0，m)，直线DN过点(0，n)，
所以直线DM：y＝x＋m，DN：y＝－x＋n.
由得x2＋2mx＋2m2－2＝0，
所以x1x2＝2m2－2.
由得x2－2nx＋2n2－2＝0，
所以－x1x2＝2n2－2，
所以x1x2＋(－x1x2)＝2m2＋2n2－4＝0，
即m2＋n2＝2，
所以m2＋n2为定值2.