苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3.5.1　直线与圆锥曲线的位置关系(1)课时小练（有解析 ）

3.5.1　直线与圆锥曲线的位置关系(1)
一、 单项选择题
1. 若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b的值为(　　)
A. 1　 B. ±1 C. －1 D. ±2
2. 若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　)
A. B. － C. ± D. ±
3. (2021·西安长安区一中期中)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝2x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于(　　)
A. B. 3 C. 2 D.
4. (2022·成都蓉城期末联考)椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，若直线y＝x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
5. 若直线l：y＝k(x＋1)＋2与抛物线y2＝4x有且只有一个交点，则k的取值集合为(　　)
A. {0}
B. {－1＋，－1－}
C. {0，－1＋，－1－}
D. {0，1，－1＋，－1－}
6. (2021·商丘部分学校大联考)设A是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左顶点，F1，F2分别是双曲线E的左、右焦点，点P，Q在y轴上，且Q是线段OP(O为坐标原点)的中点，直线F1P与F2Q的交点为R.若RA⊥x轴，则双曲线E的渐近线方程为(　　)
A. y＝±x B. y＝±x C. y＝±x D. y＝±2x
二、 多项选择题
7. (2021·保定顺平中学月考)在平面内，若曲线C上存在点P，使点P到点A(3，0)，B(－3，0)的距离之和为10，则称曲线C为“有用曲线”，以下曲线是“有用曲线”的是(　　)
A. x＋y＝5 B. x2＋y2＝9 C. ＋＝1 D. x2＝16y
8. (2021·郴州嘉禾一中学月考)已知抛物线C：x2＝2py的焦点坐标为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，点在抛物线上，则下列结论中正确的是(　　)
A. p＝1
B. 当AB⊥y轴时，AB＝4
C. ＋为定值1
D. 若＝2，则直线AB的斜率为±
三、 填空题
9. 已知直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数m的取值范围是______________．
10. 已知斜率为2的直线l被双曲线－＝1截得的弦长为2，则直线l的方程是__________．
11. 设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C是该抛物线上不重合的三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________．
12. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为______________．
四、 解答题
13. 设抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点为O，焦点为F.过点F且斜率为k的直线l与抛物线C有两个不同的交点A(4，4)，B(x2，y2)，过点A作平行于抛物线C的对称轴的直线交抛物线C的准线于点A1.
(1) 求抛物线C的方程及其准线方程；
(2) 求证：B，O，A1三点共线．
14. (2021·邯郸汇文中学月考)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)和直线l：x－y＋3＝0.
(1) 若M是直线l上一个动点，求MF1＋MF2的最小值；
(2) 若椭圆E以F1，F2为焦点且与直线l有公共点，求椭圆E的离心率的最大值．
参考答案与解析
1. B　解析：由题意，得椭圆C的方程为x2＋＝1，则其焦点F1(0，－3)，F2(0，3)，所以b＝1或b＝－1.
2. C　解析：联立得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0.因为直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，所以Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝0，解得k＝±.
3. B　解析：设双曲线渐近线为y＝kx，联立得2x2－kx＋1＝0，则Δ＝0，解得k＝±2，故＝2，e＝＝＝＝＝3.
4. B　解析：由题意可知交点的坐标为，代入椭圆方程可得＋＝1.因为b2＝a2－c2，所以＋＝1，所以e2＋＝1，解得e2＝(e2＝2舍去)，所以离心率e＝.
5. C　解析：当k＝0时，直线l：y＝2与抛物线y2＝4x有且只有一个交点，符合题意；当k≠0时，联立消去x并整理，得ky2－4y＋4k＋8＝0，则Δ＝16－4k(4k＋8)＝0，解得k＝－1±.综上，k的取值集合为{0，－1＋，－1－}．
6. D　解析：设双曲线E的焦距为2c(c>0)，则F1(－c，0)，F2(c，0)，A(－a，0)．设直线F1P的斜率为k，显然k≠0.因为Q是线段OP的中点，由对称性知直线F2Q的斜率为－，因此直线F1P和F2Q的方程分别为y＝k(x＋c)，y＝－(x－c)．联立两方程解得x＝－，即点R的横坐标为－.又因为RA⊥x轴，所以－＝－a，即c＝3a，b＝2a，所以＝2，所以双曲线E的渐近线方程为y＝±2x.
7. ACD　解析：设点P的坐标为(x，y)．因为点P到点A(3，0)，B(－3，0)的距离之和为10，由椭圆的定义可得点P的轨迹方程为＋＝1.对于A，由整理得41x2－250x＋225＝0，则Δ＝2502－4×41×225＝25 600>0，因此曲线x＋y＝5上存在点P满足条件，所以x＋y＝5是“有用曲线”，故A正确；对于B，因为曲线x2＋y2＝9在曲线＋＝1的内部，无交点，所以x2＋y2＝9不是“有用曲线”，故B错误；对于C，曲线＋＝1与＋＝1有交点(5，0)与(－5，0)，所以＋＝1是“有用曲线”，故C正确；对于D，曲线x2＝16y与＋＝1也有交点，所以x2＝16y是“有用曲线”，故D正确．故选ACD.
8. BCD　解析：对于A，将点代入抛物线方程，可得p＝2，故A错误；对于B，焦点F(0，1)，当AB⊥y轴时，点A，B的坐标为(±2，1)，故AB＝4，故B正确；对于C，设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1，联立方程消去y并整理，得x2－4kx－4＝0，可得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2，y1y2＝＝1.又AF＝y1＋1，BF＝y2＋1，所以＋＝＋＝＝＝1，故C正确；对于D，由(－x1，1－y1)＝2(x2，y2－1)，可得2x2＝－x1，由解得k＝±，故D正确．故选BCD.
9. (1，3)∪(3，＋∞)　解析：联立消去y并整理，得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.因为Δ>0，所以m>1或m<0.又因为m>0，且m≠3，所以m>1且m≠3.
10. y＝2x±　解析：设直线l的方程为y＝2x＋m，与双曲线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝2x＋m代入双曲线－＝1，消去y并整理，得16x2＋20mx＋5(m2＋4)＝0，则Δ＝400m2－4×16×5(m2＋4)>0，解得m>4或m<－4，所以x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋4)，所以AB2＝(1＋k2)(x1－x2)2＝5(x1－x2)2＝＝20，解得m＝±，符合题意，所以直线l的方程为y＝2x±.
11. 6　解析：由抛物线y2＝4x知，焦点F的坐标为(1，0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，＝(x3－1，y3)．因为＋＋＝0，所以x1－1＋x2－1＋x3－1＝0，则x1＋x2＋x3＝3.又||＝x1＋1，||＝x2＋1，||＝x3＋1，所以||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋3＝6.
12. ＋＝1　解析：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由椭圆的定义知△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝4a，根据题意得解得所以椭圆C的方程为＋＝1.
13. (1) 因为过点F且斜率为k的直线l与抛物线C有两个不同的交点A(4，4)，B(x2，y2)，
所以有42＝8p，解得p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x，
其准线方程为x＝－1.
(2) 因为过点A作平行于抛物线C的对称轴的直线交抛物线C的准线于点A1，
所以A1(－1，4)．
由抛物线的方程为y2＝4x，得焦点F(1，0)，
所以直线l的方程为y＝(x－1)，
所以联立方程
整理得y2－3y－4＝0，
所以y1＝4，y2＝－1，即B，
所以kOB＝－4，kOA1＝－4.
因为OB，OA，有公共点O，
所以B，O，A1三点共线．
14. (1) 设点F1关于直线x－y＋3＝0的对称点为F3(x，y)，
则解得即F3(－3，2)．
由“对称性和两点之间线段最短”，可知MF1＋MF2≥F2F3＝＝2.
故MF1＋MF2的最小值为2.
(2) 设M是椭圆E与直线x－y＋3＝0的一个公共点，则MF1＋MF2＝2a.
由(1)可知2a＝MF1＋MF2≥2，
所以椭圆E离心率e＝≤＝，
故椭圆E的离心率的最大值为.