苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3．5.2　直线与圆锥曲线的位置关系(2)课时小练（有解析 ）

3．5.2　直线与圆锥曲线的位置关系(2)
一、 单项选择题
1. 双曲线x2－y2＝1与直线x－y＝1交点的个数为(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
2. 直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若AB＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于(　　)
A. B. 2 C. D. 4
3. 已知斜率存在的直线l过点P(0，－1)且与双曲线C：－x2＝1有且只有一个公共点，则直线l的斜率为(　　)
A. ± B. ±2 C. 2或 D. ±或±2
4. 已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作斜率为的直线l交抛物线C于不同的两点P，Q，M为PQ的中点，则点M到抛物线准线的距离为(　　)
A. 3 B. C. 2 D.
5. 过抛物线C：y2＝6x焦点F的直线l交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，若直线l的倾斜角为60°，则的值为(　　)
A. B. 2 C. D. 3
6. (2022·成都蓉城期末联考)已知过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点F且斜率为的直线与椭圆C相交于A，B两点，若＝3，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7. 设抛物线y＝ax2(a>0)的准线与对称轴相交于点P，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则下列结论中正确的有(　　)
A. 点P的坐标为
B. 直线AB的方程为y＝
C. PA⊥PB
D. AB＝
8. (2021·重庆巴南中学期中)已知椭圆C：＋＝1内一点M，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M是线段AB的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A. 椭圆的焦点坐标为(2，0)，(－2，0)
B. 椭圆C的长轴长为4
C. 直线l的方程为2x＋2y－3＝0
D. AB＝
三、 填空题
9. 设F为抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点，直线y－x＋1＝0与抛物线C有公共点M，且MF与抛物线C的对称轴垂直，则p的值为________．
10. 已知F为抛物线y2＝8x的焦点，过点F的直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2－y1y2＝________．
11. 已知中心在原点，焦点坐标为(0，5)，(0，－5)的椭圆截直线3x－y－2＝0所得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为______________．
12. (2021·长治二中月考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在双曲线C上，当BF⊥AF时，AF＝BF，则双曲线C的离心率为________．
四、 解答题
13. 已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1) 若AF＝4，求点A的坐标；
(2) 若直线l的斜率为1，求线段AB的长．
14. (2021·保定唐县一中月考)如图，椭圆E：＋＝1( a>b>0)经过点A (0，－1)，且离心率为.
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q(均异于点A)，求直线AP与直线AQ的斜率之和．
参考答案与解析
1. B　解析：联立方程，得消去y并整理，得2x－1＝1，故x＝1，故方程组有且只有一组解，则双曲线x2－y2＝1与直线x－y＝1有且只有一个交点．
2. C　解析：由题意，得直线4kx－4y－k＝0恒过定点，抛物线的焦点坐标为，准线方程为x＝－.又直线AB为过焦点的直线，所以AB的中点到准线的距离为＝2，则弦AB的中点到直线x＝－的距离等于2＋＝.
3. D　解析：双曲线C：－x2＝1的渐近线方程为y＝±2x.①直线x＝0与双曲线有两个公共点，此时直线的斜率不存在；②过点P(0，－1)平行于渐近线y＝±2x时，直线l与双曲线只有一个公共点，此时直线l的斜率为2或－2；③设过点P的切线方程为y＋1＝kx与双曲线C：－x2＝1联立，得(k2－4)x2－2kx－3＝0，则Δ＝4(4k2－12)＝0，解得k＝±，此时直线l的斜率为k＝±.综上，直线l的斜率为±或±2.
4. B　解析：由抛物线方程，得焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1，则直线l的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程，得3x2－10x＋3＝0，所以xP＋xQ＝，则xM＝，所以点M到准线的距离为＋1＝.
5. D　解析：由题意，得F，直线l的斜率为k＝tan60°＝，则直线l的方程为y＝，代入抛物线方程，消去y并整理，得4x2－20x＋9＝0，解得xA＝，xB＝.由抛物线的定义，得AF＝xA＋＝＋＝6，BF＝xB＋＝＋＝2，所以＝＝3.
6. B　解析：根据题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB方程为x＝y－c，代其入椭圆方程得(a2＋3b2)y2－2b2cy－b4＝0，所以y1＋y2＝①，y1y2＝②.因为＝(－c－x1，－y1)，＝(x2＋c，y2)，＝3，所以y1＝－3y2③，所以由①③得y2＝，y1＝④.将④代入②得9c2＝a2＋3b2.因为b2＝a2－c2，所以3c2＝a2.因为07. ABC　解析：由y＝ax2(a>0)，得x2＝y(a>0)，则焦点F，准线方程为y＝－，所以P，故A正确；设切线方程为y＝kx－(k≠0)，由消去y并整理，得ax2－kx＋＝0，令Δ＝k2－4a·＝0，解得k＝±1，所以切点为A，B，所以直线AB的方程为y＝，故B正确；又＝，＝，所以·＝－＋＝0，所以PA⊥PB，故C正确；AB＝|－|＝，故D错误．故选ABC.
8. BCD　解析：由题意得a2＝4，b2＝2，所以c2＝4－2＝2，故c＝，故焦点坐标为(，0)，(－，0)，故A错误；因为a＝2，所以长轴长为2a＝4，故B正确；设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减可得x－x＋2(y－y)＝0，整理得·＝－.因为M是线段AB的中点，M，所以＝，所以＝－1，所以直线l的方程为y－＝－(x－1)，整理得2x＋2y－3＝0，故C正确；直线2x＋2y－3＝0与椭圆联立得6x2－12x＋1＝0，所以x2＋x1＝2，x2x1＝，所以AB＝×＝，故D正确．故选BCD.
9. 2　解析：因为点M在直线y－x＋1＝0上，所以可设M(m，m－1)．由抛物线的定义知，MF＝yM＋，所以m＝m－1＋，解得p＝2.
10. 20　解析：由题意，得点F(2，0)．当过点F的直线的斜率不存在时，x1＝x2＝2，此时y2＝16，即y＝±4，则y1y2＝－16，所以x1x2－y1y2＝20；当过点F的直线的斜率存在时，则设该直线方程为y＝k(x－2)，联立抛物线方程，消去x并整理，得ky2－8y－16k＝0，则y1y2＝－16.又x1x2＝＝4，所以x1x2－y1y2＝20.综上，x1x2－y1y2＝20.
11. ＋＝1　解析：根据题意，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则a2＝b2＋c2＝b2＋50①.设直线3x－y－2＝0与椭圆相交的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减，得b2(y1－y2)(y1＋y2)＋a2(x1－x2)(x1＋x2)＝0.因为弦AB的中点的横坐标为，所以纵坐标为－，则x1＋x2＝2×＝1，y1＋y2＝2×＝－1，且＝3，所以b2×3×(－1)＋a2×1＝0，即a2＝3b2②.联立①②，得a2＝75，b2＝25，故该椭圆的方程为＋＝1.
12. 2　解析：由动点B在双曲线C上，当BF⊥AF时，AF＝BF，可得点B在右支上，令x＝c，可得－＝1，解得y＝±，即有BF＝，则a＋c＝，即a(a＋c)＝b2＝c2－a2＝(c－a)(a＋c)，可得c＝2a，所以e＝＝2.
13. 由抛物线的方程，得F(1，0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1) 因为AF＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，
代入抛物线方程，得y＝±2，
所以点A的坐标为(3，2)或(3，－2)．
(2) 由题意，得直线l的方程为y＝x－1，
代入抛物线方程，得x2－6x＋1＝0，
则x1＋x2＝6，
所以AB＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
14. (1) 由题设知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2) 由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.
因为点(1，1)在椭圆内，则Δ>0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
从而直线AP，AQ的斜率之和kAP＋kAQ＝＋＝＋＝2k＋(2－k)·＝2k＋(2－k)·＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2，
所以直线AP与直线AQ的斜率之和为2.