苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3.6.1　圆锥曲线的综合应用(1)课时小练（有解析 ）

3.6.1　圆锥曲线的综合应用(1)
一、 单项选择题
1. 设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线C的方程为(　　)
A. －＝1 B. －＝1 C. －＝1 D. －＝1
2. 若动圆M与定圆C：x2＋y2＋4x＝0相外切，且与直线l：x－2＝0相切，则动圆M的圆心的轨迹方程为(　　)
A. y2－12x＋12＝0　 B. y2＋12x－12＝0
C. y2＋8x＝0 D. y2－8x＝0
3. 已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C相交于A，B两点，那么F1A＋F1B的值为(　　)
A. B. C. D.
4. 过原点作直线l与椭圆C：＋＝1交于不同的两点A，B，F为椭圆的左焦点，则AF＋BF的值为(　　)
A. B. 2 C. 3 D. 4
5. 过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点作x轴的垂线与双曲线C的一条渐近线相交于点A，若双曲线C的右焦点F到点A，O的距离相等且长度为2，则双曲线C的方程为(　　)
A. x2－＝1 B. x2－＝1 C. －＝1 D. －＝1
6. 如图，F1，F2是平面上的两点，且F1F2＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点．若点A在以F1，F2为焦点的椭圆M上，则下列结论中正确的是(　　)
A. 点B和C都在椭圆M上
B. 点C和D都在椭圆M上
C. 点D和E都在椭圆M上
D. 点E和B都在椭圆M上
二、 多项选择题
7. 已知抛物线x2＝y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论中正确的是(　　)
A. 点F的坐标为
B. 若直线MN过点F，则x1x2＝－
C. 若＝λ，则MN的最小值为
D. 若MF＋NF＝，则线段MN的中点P到x轴的距离为
8. (2021·东莞光正实验学校期中)已知椭圆C：＋＝1，F1，F2分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，P是椭圆上的一个动点，则下列结论中正确的有　(　　)
A. 离心率e＝
B. △F1PF2的周长为15
C. 若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为9
D. 直线PA与直线PB斜率乘积为定值－
三、 填空题
9. 若F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且 AB＝6，则△ABF2的周长是________．
10. 已知直线l：x－y－m＝0经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，与抛物线C交于A，B两点，若AB＝6，则p的值为________．
11. 过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，若OF1＝OA，则椭圆C的离心率为________．
12. 已知椭圆＋＝1(0四、 解答题
13. 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为4.
(1) 求抛物线C的方程；
(2) 过点F的直线l2与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，若AF＝3，求△AOB的面积．
14. (2021·西安中学期中)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，F1(，0)，F2(－，0)，已知P为平面内的一个动点，△PF1F2周长为定值4＋2.
(1) 求动点P的轨迹方程；
(2) 若点P的轨迹上有一点M(x0，y0)满足MF1⊥MF2，求y0的值．
参考答案与解析
1. B　解析：由题意，得抛物线y2＝16x的焦点F(4，0)为双曲线的右焦点，则c＝4，a2＋b2＝16.又由渐近线方程，得＝，解得a2＝4，b2＝12，所以双曲线C的方程为－＝1.
2. B　解析：由题意，得圆C的圆心为C(－2，0)，半径为2.设圆M的半径为r，则MC＝r＋2，点M到直线l的距离为r.由题意可知，点M到点C的距离等于点M到直线x＝4的距离．设动点M的坐标为(x，y)，则＝|4－x|，化简，得y2＋12x－12＝0，所以动点M的轨迹方程为y2＋12x－12＝0.
3. C　解析：由得3x2－4x＝0，所以可得点A(0，－1)，B.又F1(－1，0)，所以F1A＋F1B＝＋＝.
4. D　解析：如图，F′为右焦点，连接AF′，BF′.根据题意及椭圆的对称性，得四边形是平行四边形，四边形的周长为4a，所以AF＋BF＝2a＝4.
5. A　解析：由题意，得FO＝2，故c＝2.不妨设渐近线方程为y＝x，则点A(a，b)，故22＝b2＋(2－a)2①.又c2＝a2＋b2＝4②，故由①②，解得a＝1，b＝，所以双曲线C的方程为x2－＝1.
6. C　解析：因为AF1＋AF2＝3＋9＝12，所以椭圆M中2a＝12.因为BF1＋BF2＝5＋9≠12，CF1＋CF2＝5＋6≠12，DF1＋DF2＝5＋7＝12，EF1＋EF2＝11＋1＝12，所以D，E在椭圆M上．
7. BCD　解析：易知点F的坐标为，故A错误；设直线MN的方程为y＝kx＋，与抛物线方程联立，得16x2－8kx－1＝0，则x1x2＝－，故B正确；若＝λ，则MN过点F，则MN的最小值即抛物线通径的长，为2p，即，故C正确；抛物线x2＝y的焦点为，准线方程为y＝－.如图，过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′，所以MM′＝MF，NN′＝NF，所以MM′＋NN′＝MF＋NF＝，所以线段PP′＝＝，所以线段MN的中点P到x轴的距离为PP′－＝－＝，故D正确．故选BCD.
8. ACD　解析：由＋＝1，可知a＝5，b＝3，c＝4，对于A，e＝＝，故A正确；对于B，△F1PF2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝10＋8＝18，故B错误；对于C，PF1＝m，PF2＝n，则化简，得mn＝18，所以S△F1PF2＝mn＝9，故C正确；对于D，设P(x，y)(x≠5)，A(－5，0)，B(5，0)，则＋＝1，kPA＝，kPB＝，所以kPA·kPB＝·＝＝＝－，故D正确．故选ACD.
9. 28　解析：由题意知a＝4，b＝3，故c＝5.由双曲线的定义知AF2－AF1＝8①，BF2－BF1＝8②，①＋②，得AF2＋BF2－AB＝16，所以AF2＋BF2＝22，所以△ABF2的周长是AF2＋BF2＋AB＝28.
10. 　解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意，得抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，代入直线l：x－y－m＝0，得m＝，则直线l的方程是x－y－＝0，由消去y并整理，得x2－3px＋＝0，则x1＋x2＝3p，且Δ＝9p2－4×>0.因为AB＝6，所以x1＋x2＋p＝6，即4p＝6，得p＝.
11. 　解析：如图，设AF1的中点为M，椭圆的右焦点为F2，连接MO，AF2，所以MO∥AF2.因为OA＝OF1，所以OM⊥AF1，所以AF1⊥AF2.又因为kAF1＝，所以＝，且AF2＋AF1＝2a，所以AF1＝，AF2＝.又因为AF＋AF＝F1F，所以＋＝4c2，所以＝，所以e＝.
12. 　解析：由题意知a＝2，所以BF2＋AF2＋AB＝4a＝8.因为BF2＋AF2的最大值为5，所以AB的最小值为3，当且仅当AB垂直于x轴时，取得最小值，此时A，B，代入椭圆方程，得＋＝1.又c2＝a2－b2＝4－b2，所以＋＝1，所以b＝.
13. (1) 易知直线与抛物线的交点坐标为(4，－4)，
将点(4，－4)代入抛物线方程，得(－4)2＝2p×4，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2) 由(1)知，抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线为l：x＝－1，
则xA＋1＝3，所以点A的横坐标为2，将x＝2代入y2＝4x，得y2＝8.
不妨令点A(2，2)，
则直线l2的方程为y＝2(x－1)，
联立消去y并整理，得2x2－5x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝，
所以点B的坐标为，
故S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝×1×|yA－yB|＝.
14. (1) 依题可知，PF1＋PF2＋F1F2＝4＋2，所以PF1＋PF2＝4>F1F2＝2，故动点P的轨迹是以F1(，0)，F2(－，0)为焦点，长轴长为4的椭圆(除去点(2，0)，(－2，0))．
由2a＝4，c＝，所以b2＝a2－c2＝1，
即动点P的轨迹方程为＋y2＝1(y≠0)．
(2) 因为点M(x0，y0)满足MF1⊥MF2，则有·＝0，且y0≠0，＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，则·＝(－－x0)(－x0)＋(－y0)(－y0)＝x＋y－3＝0.①
又点M(x0，y0)在椭圆C上，所以＋y＝1，②
取立①②消去x，得y＝，所以y0＝±.