苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3．6.2　圆锥曲线的综合应用(2)课时小练（有解析 ）

3．6.2　圆锥曲线的综合应用(2)
一、 单项选择题
1. 抛物线x2＝y上一点P(4，m)到焦点F的距离为(　　)
A. B. 5 C. D. 33
2. 若双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1(m>n>0)有共同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1·PF2等于(　　)
A. m2－a2 B. － C. (m－a) D. m－a
3. (2022·天津期末)已知过双曲线－＝1(a>0，b>0)右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A. B. (1，) C. (，) D.
4. 已知点C(－，0)，D(，0)，M是椭圆＋y2＝1上的动点，则＋的最小值为(　　)
A. B. 1 C. 2 D. 4
5. 已知直线l：x－y＋3＝0和点A(0，1)，抛物线y＝x2上一动点P到直线l和点A的距离之和的最小值是(　　)
A. 2 B. －1 C. ＋1 D. 2＋2
6. (2021·沈阳二中月考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且＝3，若△PQF1是以Q为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为(　　)
A. 3 B. 2 C. D.
二、 多项选择题
7. (2021·金华一中期中)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，若PF1＝3PF2，则下列结论中正确的是(　　)
A. PF1与双曲线的实轴长相等
B. △PF1F2的面积为a2
C. 双曲线的离心率为
D. 直线x＋y＝0是双曲线的一条渐近线
8. 过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作一条直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列说法中正确的是(　　)
A. AB＝x1＋x2＋2p
B. AB的最小值为2p
C. x1·x2＝
D. 以线段AB为直径的圆与y轴相切
三、 填空题
9. 抛物线y＝x2上的一点M到焦点的距离为3，则点M的纵坐标为________．
10. 设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点．若在直线x＝上存在点P，使得线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是________．
11. (2021·商丘部分学校大联考)已知椭圆C：＋＝1的左焦点为F，右顶点为A，P是椭圆上任意一点，则·的最小值为________．
12. 设抛物线C：y＝x2 的焦点为F，直线l过焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，AF＝3，则＝________．
四、 解答题
13. (2021·泰州中学期中)抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然．如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)，一光源在点M处，由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴射向抛物线上的点P，反射后，又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于抛物线的对称轴的方向射出，途中遇到直线l：2x－4y－17＝0上的点N，再反射后又射回点M，设P，Q两点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)．
(1) 证明：y1y2＝－p2；
(2) 求抛物线方程．
14. (2021·廊坊一中月考)已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，离心率等于.
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 设N(0，1)，若椭圆E上存在两个不同点P，Q满足∠PNQ＝90°，证明：直线PQ过定点，并求该定点的坐标．
参考答案与解析
1. C　解析：依题意可得42＝m，所以m＝32，则PF＝m＋＝32＋＝.
2. D　解析：由题意可得两式平方相减，得PF1·PF2＝m－a.
3. B　解析：因为过双曲线－＝1(a>0，b>0)右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，所以<1，所以1<1＋<2.因为e＝＝＝，所以14. B　解析：易知C，D分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，设MC＝m，MD＝n，则m＋n＝4，所以05. A　解析：如图，过点P作PB⊥l，垂足为B，过点P作PC垂直于抛物线的准线m：x＝－1，垂足为C.易知抛物线y＝x2的焦点为A(0，1)，则PA＝PC，所以PA＋PB＝PC＋PB.将直线l的方程与抛物线的方程联立解得或则直线l交抛物线于点M(－2，1)，N(6，9)．当点P位于点M时，PB＋PC取得最小值，即最小值为点M到直线m的距离为2.
6. C　解析：由题意得QF1－QF2＝PQ－QF2＝PF2＝2a，又＝3，所以QF2＝a，从而QF1＝a，PF1＝4a，PQ＝a.在△PF1F2中，cos∠F1PF2＝＝；在△PF1Q中，cos∠F1PF2＝＝＝，所以＝，则＝2，所以e＝＝.
7. BCD　解析：由题意及双曲线的定义可得PF1－PF2＝2PF2＝2a，所以PF1＝3a，PF2＝a，故A错误；因为以线段F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，所以∠F1PF2＝90°，所以△PF1F2的面积为×3a×a＝a2，故B正确；由勾股定理得a2＋(3a)2＝(2c)2，即5a2＝2c2，所以e＝＝，故C正确；因为＝1＋，所以＝，即＝，所以双曲线的渐近线方程为x±y＝0，故D正确．故选BCD.
8. BC　解析：因为直线l过抛物线的焦点F，所以由抛物线的定义可得AB＝x1＋x2＋p，故A错误；当直线l⊥x轴时，AB有最小值且为2p，故B正确；由抛物线的方程可得F，设直线l的方程为x＝my＋，代入抛物线方程，得y2－2mpy－p2＝0，则y1y2＝－p2，所以x1x2＝＝，故C正确；又y1＋y2＝2mp，所以x1＋x2＝m(y1＋y2)＋p＝(1＋2m2)p，所以AB中点的横坐标为＝，所以＝＝p(1＋m2)．又AB的中点到直线x＝－的距离为＋＝p(1＋m2)，所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，故D错误．故选BC.
9. 2　解析：抛物线的标准方程为x2＝4y，则焦点为(0，1)，准线为y＝－1.根据抛物线的定义，得点M到准线y＝－1的距离也为3，所以点M的纵坐标为2.
10. 　解析：设直线x＝与x轴的交点为Q，则PF2≥QF2.易知F1F2＝PF2，所以F1F2≥QF2，所以－c≤2c，解得e2≥.又011. 0　解析：设点P的坐标为(x0，y0)，由题意得F(－1，0)，A(2，0)，则－2≤x0≤2，＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，由＋＝1可得y＝3－x，所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2，故当x0＝2时，·取得最小值0.
12. 2　解析：抛物线的标准方程为x2＝4y，焦点F(0，1)，准线方程为y＝－1，AF＝yA＋1＝3，yA＝2，代入抛物线方程可得xA＝±2.不妨设点A(－2，2)，则直线l的方程为y＝－x＋1，联立方程组消去y并整理，得x2＋x－4＝0，则－2＋xB＝－，xB＝，则yB＝，所以BF＝yB＋1＝，则＝＝2.
13. (1) 由抛物线的光学性质及题意知光线PQ必过抛物线的焦点F，
设PQ：x＝my＋，代入抛物线方程得y2＝2mpy＋p2，所以y1y2＝－p2.
(2) 由题意知P，F，
设点M关于直线l的对称点为M′(m，n)，
则
解得由M′，N，Q共线且平行于x轴，得Q，
又P，F，Q三点共线，kQF＝kFP，
即＝，解得p＝2，
故抛物线方程为y2＝4x.
14. (1) 由题可设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，
则2a＝4，＝＝，
所以a＝2，b＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2) 当直线PQ的斜率存在时，可设直线PQ的方程为y＝kx＋m(m≠1)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
所以Δ>0，x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为∠PNQ＝90°，N(0，1)，
所以·＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝0，
所以x1x2＋(kx1＋m－1)(kx2＋m－1)＝(1＋k2)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0，
所以(1＋k2)·＋k(m－1)·＋(m－1)2＝0，
所以(5m＋3)(m－1)＝0.
又m≠1，所以m＝－，
所以直线PQ的方程为y＝kx－过定点.
当直线PQ的斜率不存在时，不合题意．
综上，直线PQ过定点.