苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程第3章圆锥曲线与方程复 习课时小练（有解析 ）

第3章　圆锥曲线与方程复 习
一、 单项选择题
1. 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是(　　)
A. 2 B. C. D.
2. 设双曲线－＝1的离心率为，且一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，则此双曲线的方程是(　　)
A. －＝1 B. －＝1 C. －＝1 D. －＝1
3. 已知中心在坐标原点的椭圆经过直线x－2y－4＝0与坐标轴的两个交点，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
4. (2022·齐齐哈尔期末)如图，已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，点B在x轴上，∠BAF2＝90°，且F1是BF2的中点，O为坐标原点，若点O到直线AB的距离为3，则椭圆C的方程为(　　)
A. ＋y2＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
5. 设F为抛物线y2＝2px的焦点，斜率为k(k>0)的直线过点F，且交抛物线于A，B两点，若FA＝3FB，则直线AB的斜率为(　　)
A. B. 1 C. D.
6. (2021·西安中学期中)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，直线AF2与椭圆C的另一个交点为B，若△BF1A为等腰三角形，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7. 设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，MF＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则抛物线C的方程可以为(　　)
A. y2＝4x B. y2＝8x
C. y2＝16x D. y2＝32x
8. (2021·揭阳榕城区仙桥中学月考)已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则下列结论中正确的是(　　)
A. 椭圆C的短轴长为1
B. 椭圆C的离心率为
C. 圆D在椭圆C的内部
D. PQ的最小值为
三、 填空题
9. 已知过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和为5，则这样的直线有________条．
10. 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上、下顶点分别为B1，B2，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且离心率为，则四边形B1F1B2F2的面积为________．
11. (2022·白银靖远期末)如图，F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C交于点B，弦BF2与双曲线C交于点A，连接AF1，若tan∠BAF1＝，则双曲线C的离心率为________．
12. (2021·广东部分学校联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过左焦点F且斜率为的直线l交双曲线C的一条渐近线于点A，且点A在第一象限，若OA＝OF(O为坐标原点)，则双曲线C的渐近线方程为________．
四、 解答题
13. (2021·广州第四中学月考)已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的短轴长是2，离心率是.
(1) 求椭圆方程；
(2) 经过椭圆的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求AB的长．
14. (2021·南京、盐城模拟考试)设双曲线C：－＝1(a>0，b＞0)的右顶点为A，虚轴长为，两准线间的距离为.
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 设动直线l与双曲线C交于P，Q两点，已知AP⊥AQ，设点A到动直线l的距离为d，求d的最大值．
参考答案与解析
1. C　解析：由题可知y＝x与y＝－x互相垂直，所以－·＝－1，则a＝b，所以e2＝＝＝2，则e＝.
2. D　解析：因为抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，所以c2＝4.又离心率e＝＝，所以a＝，b2＝c2－a2＝2，则双曲线的方程为－＝1.
3. C　解析：因为直线x－2y－4＝0与坐标轴的两个交点分别是(4，0)和(0，－2)，由椭圆性质可知a＝4，b＝2，所以c＝＝2，所以该椭圆的离心率为e＝＝.
4. D　解析：因为∠BAF2＝90°，且BF1＝F1F2，所以△AF1F2是等边三角形．设F1F2＝2c，则a＝2c①，所以直线AB的方程为＋＝1，即bx－3cy＋3bc＝0，所以点O到直线AB的距离为＝3②.又a2＝b2＋c2③，联立①②③，解得a2＝16，b2＝12，故椭圆C的方程为＋＝1.
5. D　解析：记直线AB与抛物线准线的交点为P，过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别是A1，B1，准线与x轴的交点为E.设BF＝m，则AF＝3m，＝＝，则PB＝2m，所以＝＝，即m＝p，则AA1＝3m＝2p，则不妨设点A，所以直线AB的斜率为＝.
6. B　解析：如图，因为△BF1A为等腰三角形，且AF1＝AF2＝a，又AB＋BF1＋AF1＝4a，所以AB＝，所以AF2＝2F2B.过点B作BM⊥x轴，垂足为M，则△AOF2∽△BMF2，由A(0，－b)，F2(c，0)，得B.因为点B在椭圆C上，所以＋＝1，所以＝，即离心率e＝＝.　
7. AC　解析：由题意可知，抛物线C的焦点F，设点A(0，2)，抛物线C上的点M(x0，y0)，则＝，＝（）.因为以MF为直径的圆过点A(0，2)，所以·＝0，即y－8y0＋16＝0，解得y0＝4，所以点M.由MF＝5，得＝5.又p>0，解得p＝2或p＝8，则抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选AC.
8. BCD　解析：由椭圆C：＋y2＝1可得，a2＝6，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝5，所以椭圆的短轴长为2，所以A不正确；离心率e＝＝＝，故B正确；对于C，整理可得＋2x＋＝0，Δ＝22－4××<0，所以两个曲线无交点，所以圆D在椭圆的内部，所以C正确；由题意可得PD－＝－＝－＝－≥－＝，所以PQ的最小值为，所以D正确．故选BCD.
9. 2　解析：由题意，得抛物线焦点为(1，0)．当该直线斜率不存在时，此时直线方程为x＝1，则xA＋xB＝2，不符合题意，所以设直线方程为y＝k(x－1)．代入到y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则xA＋xB＝＝5，解得k＝±，所以这样的直线有2条．
10. 2　解析：由题意，得a＝，e＝＝，所以c＝1，b＝1，所以△OB1F1等腰直角三角形，所以四边形B1F1B2F2的面积为4S△OB1F1＝4××1×1＝2.
11. 　解析：因为以F1F2为直径的圆与双曲线C交于点B，所以∠F1BF2＝90°，tan∠BAF1＝＝.设BF1＝3x，则AB＝4x，AF1＝5x.因为A，B是双曲线C上的点，所以5x－AF2＝AF2＋x＝2a，则AF2＝2x，a＝.在△BF1F2中，BF＋BF＝F1F，即(3x)2＋(6x)2＝(2c)2，则c＝x，所以离心率为e＝＝.
12. y＝±x　解析：设直线l的直线方程为y＝(x＋c)，联立方程组解得即A.因为OA＝OF，所以＋＝c2，化简得＝，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
13. (1) 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
则解得
故椭圆方程为＋y2＝1.
(2) 由(1)，得F1(－1，0)．
因为直线AB过左焦点F1，且倾斜角为60°，
所以直线AB的方程为y＝(x＋1)，将AB方程与椭圆方程联立，消去y并整理，得7x2＋12x＋4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|x1－x2|＝＝，
AB＝·|x1－x2|＝.
14. (1) 由虚轴长为，知b＝.
由两准线间的距离为，知＝，
所以3a4＝2c2＝2(a2＋b2)＝2，
解得a2＝1或a2＝－(舍去)，
故双曲线方程为x2－2y2＝1.
(2) ①若动直线l的斜率不存在，
则设直线l：x＝m，代入双曲线方程可得P，Q，
由AP⊥AQ，可得 (m－1)2－＝0，
解得m＝3或m＝1(舍去)，此时点A到l的距离为d＝2；
②若动直线l的斜率存在，则可设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l：y＝kx＋t，
代入双曲线方程可得 (1－2k2)x2－4ktx－(2t2＋1)＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝－.
由AP⊥AQ，知(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，
即(x1－1)(x2－1)＋(kx1＋t)(kx2＋t)＝0，
化简可得 (1＋k2)x1x2＋(kt－1)(x1＋x2)＋t2＋1＝0，
将x1＋x2＝，x1x2＝－代入，化简可得 (3k＋t)(k＋t)＝0.
若k＋t＝0，则直线经过右顶点A，舍去；
故3k＋t＝0，即直线经过定点M(3，0)，
则d＜AM＝2.
综上所述，d的最大值为2.