苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3.1.1椭圆的标准方程(1)课时小练（有解析 ）
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3.1.1椭圆的标准方程(1)课时小练（有解析 ） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 31.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-11 12:26:50 | ||
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文档简介
3.1.1 椭圆的标准方程(1)
一、 单项选择题
1. (2021·抚州南城第二中学月考)“ab>0”是“方程ax2＋by2＝1表示椭圆”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
2. 椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0，8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则椭圆的标准方程为( )
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
3. 已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9
4. (2021·武安第三中学月考)曲线C的方程是＋＝4，则曲线C的形状是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 直线
5. 设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，AF1＝3BF1，若AB＝4，△ABF2的周长为16，则AF2的长为( )
A. 7 B. 5 C. 3 D. 1
6. (2021·重庆巴南中学期中)已知椭圆＋＝1上一点M到左焦点F1的距离为6，N是MF1的中点，则ON等于( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、 多项选择题
7. 若椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为( )
A. 9 B. 23 C. 16－ D. 16＋
8. (2021·深圳实验学校月考)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P(2，3)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则QF2＋QP可以是( )
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
三、 填空题
9. 焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P(6，0)的椭圆的标准方程是_________________________________．
10. 已知椭圆的两焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上的一点，且2F1F2＝PF1＋PF2，则椭圆的标准方程为____________．
11. (2021·宝鸡长岭中学月考)椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在该椭圆上，若PF1＝4，则∠F1PF2的大小为________．
12. 已知圆F1：(x＋2)2＋y2＝36，定点F2(2，0)，A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于点P，则点P的轨迹C的方程是________________．
四、 解答题
13. 设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，设椭圆C上的一点(，)到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
14. 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点P(，)，Q(0，－)的椭圆的标准方程．
参考答案与解析
1. B 解析：若方程ax2＋by2＝1表示椭圆，即方程＋＝1表示椭圆，所以解得所以由方程ax2＋by2＝1表示椭圆推得出ab>0，由ab>0推不出方程ax2＋by2＝1表示椭圆．若a＝b＝1方程x2＋y2＝1表示圆，故“ab>0”是“方程ax2＋by2＝0表示椭圆”的必要不充分条件．
2. C 解析：由题意，得椭圆的焦点在y轴上，且a＝10，c＝8，所以b2＝a2－c2＝36，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
3. B 解析：因为椭圆＋＝1(m>0)的中心在原点，焦点在x轴上，所以25－m2＝16.又m>0，所以m＝3.
4. B 解析：方程表示动点P(x，y)到两定点A(－1，0)，B(1，0)的距离之和为4.因为AB＝2<4，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．
5. B 解析：由AF1＝3BF1，AB＝4，得AF1＝3.因为△ABF2的周长为16，所以AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝16，所以AF1＋AF2＝2a＝8，所以AF2＝2a－AF1＝8－3＝5.
6. A 解析：由椭圆方程＋＝1，得a2＝16，b2＝12，c2＝a2－b2＝4，即a＝4，b＝2，c＝2.因为由椭圆的定义得MF1＋MF2＝2a＝8，MF1＝6，所以MF2＝2.因为N是MF1的中点，O是F1F2的中点，所以ON＝MF2＝1.
7. AB 解析：由题意，得2c＝2，即c＝.当焦点在x轴上时，m<16，则16－m＝7，解得m＝9；当焦点在y轴上时，m>16，则 m－16＝7，解得 m＝23，所以m的值为9或23.故选AB.
8. ABC 解析：在椭圆C中，a＝5，b＝，c＝2，则F1(－2，0)，F2(2，0)，如下图所示．设直线PF1交椭圆C于点M，N，且PF1＝＝5.由椭圆定义可得QF1＋QF2＝10，则QF2＝10－QF1，故QF2＋QP＝10＋QP－QF1，当点Q与点M重合时，此时QF2＋QP取得最小值，即(QF2＋QP)min＝10－PF1＝5.当点Q与点N重合时，此时QF2＋QP取得最大值，即(QF2＋QP)max＝10＋PF1＝15.因此QF2＋QP的取值范围是[5，15]．故选ABC.
9. ＋＝1 解析：由题意，得2c＝4，a＝6，所以c＝2，则b2＝a2－c2＝36－4＝32，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
10. ＋＝1 解析：根据题意设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，则由已知得F1F2＝2，即c＝1，所以4＝PF1＋PF2＝2a，所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
11. 解析：由椭圆方程＋＝1，可得a＝3，b＝，c＝.根据椭圆定义可得PF1＋PF2＝2a＝6，F1F2＝2c＝2，可得4＋PF2＝6，解得PF2＝2.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝＝－.因为0<∠F1PF2<π，所以∠F1PF2＝.
12. ＋＝1 解析：由题意，得F1(－2，0)．因为A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于点P，所以PF2＝PA，所以PF2＋PF1＝PA＋PF1＝AF1＝6>F1F2＝4.根据椭圆的定义，得点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中2a＝6，2c＝4，所以b＝，所以点P的轨迹方程为＋＝1.
13. 因为椭圆上的一点到两焦点的距离之和为4，
所以2a＝4，解得a＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
因为点在椭圆上，
所以＋＝1，
解得b2＝3，则c2＝a2－b2＝1，
所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标分别为(－1，0)，(1，0)．
14. 因为椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，
所以可设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
因为椭圆经过点P，Q，
所以解得
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
一、 单项选择题
1. (2021·抚州南城第二中学月考)“ab>0”是“方程ax2＋by2＝1表示椭圆”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
2. 椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0，8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则椭圆的标准方程为( )
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
3. 已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9
4. (2021·武安第三中学月考)曲线C的方程是＋＝4，则曲线C的形状是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 直线
5. 设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，AF1＝3BF1，若AB＝4，△ABF2的周长为16，则AF2的长为( )
A. 7 B. 5 C. 3 D. 1
6. (2021·重庆巴南中学期中)已知椭圆＋＝1上一点M到左焦点F1的距离为6，N是MF1的中点，则ON等于( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、 多项选择题
7. 若椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为( )
A. 9 B. 23 C. 16－ D. 16＋
8. (2021·深圳实验学校月考)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P(2，3)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则QF2＋QP可以是( )
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
三、 填空题
9. 焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P(6，0)的椭圆的标准方程是_________________________________．
10. 已知椭圆的两焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上的一点，且2F1F2＝PF1＋PF2，则椭圆的标准方程为____________．
11. (2021·宝鸡长岭中学月考)椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在该椭圆上，若PF1＝4，则∠F1PF2的大小为________．
12. 已知圆F1：(x＋2)2＋y2＝36，定点F2(2，0)，A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于点P，则点P的轨迹C的方程是________________．
四、 解答题
13. 设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，设椭圆C上的一点(，)到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
14. 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点P(，)，Q(0，－)的椭圆的标准方程．
参考答案与解析
1. B 解析：若方程ax2＋by2＝1表示椭圆，即方程＋＝1表示椭圆，所以解得所以由方程ax2＋by2＝1表示椭圆推得出ab>0，由ab>0推不出方程ax2＋by2＝1表示椭圆．若a＝b＝1方程x2＋y2＝1表示圆，故“ab>0”是“方程ax2＋by2＝0表示椭圆”的必要不充分条件．
2. C 解析：由题意，得椭圆的焦点在y轴上，且a＝10，c＝8，所以b2＝a2－c2＝36，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
3. B 解析：因为椭圆＋＝1(m>0)的中心在原点，焦点在x轴上，所以25－m2＝16.又m>0，所以m＝3.
4. B 解析：方程表示动点P(x，y)到两定点A(－1，0)，B(1，0)的距离之和为4.因为AB＝2<4，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．
5. B 解析：由AF1＝3BF1，AB＝4，得AF1＝3.因为△ABF2的周长为16，所以AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝16，所以AF1＋AF2＝2a＝8，所以AF2＝2a－AF1＝8－3＝5.
6. A 解析：由椭圆方程＋＝1，得a2＝16，b2＝12，c2＝a2－b2＝4，即a＝4，b＝2，c＝2.因为由椭圆的定义得MF1＋MF2＝2a＝8，MF1＝6，所以MF2＝2.因为N是MF1的中点，O是F1F2的中点，所以ON＝MF2＝1.
7. AB 解析：由题意，得2c＝2，即c＝.当焦点在x轴上时，m<16，则16－m＝7，解得m＝9；当焦点在y轴上时，m>16，则 m－16＝7，解得 m＝23，所以m的值为9或23.故选AB.
8. ABC 解析：在椭圆C中，a＝5，b＝，c＝2，则F1(－2，0)，F2(2，0)，如下图所示．设直线PF1交椭圆C于点M，N，且PF1＝＝5.由椭圆定义可得QF1＋QF2＝10，则QF2＝10－QF1，故QF2＋QP＝10＋QP－QF1，当点Q与点M重合时，此时QF2＋QP取得最小值，即(QF2＋QP)min＝10－PF1＝5.当点Q与点N重合时，此时QF2＋QP取得最大值，即(QF2＋QP)max＝10＋PF1＝15.因此QF2＋QP的取值范围是[5，15]．故选ABC.
9. ＋＝1 解析：由题意，得2c＝4，a＝6，所以c＝2，则b2＝a2－c2＝36－4＝32，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
10. ＋＝1 解析：根据题意设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，则由已知得F1F2＝2，即c＝1，所以4＝PF1＋PF2＝2a，所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
11. 解析：由椭圆方程＋＝1，可得a＝3，b＝，c＝.根据椭圆定义可得PF1＋PF2＝2a＝6，F1F2＝2c＝2，可得4＋PF2＝6，解得PF2＝2.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝＝－.因为0<∠F1PF2<π，所以∠F1PF2＝.
12. ＋＝1 解析：由题意，得F1(－2，0)．因为A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于点P，所以PF2＝PA，所以PF2＋PF1＝PA＋PF1＝AF1＝6>F1F2＝4.根据椭圆的定义，得点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中2a＝6，2c＝4，所以b＝，所以点P的轨迹方程为＋＝1.
13. 因为椭圆上的一点到两焦点的距离之和为4，
所以2a＝4，解得a＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
因为点在椭圆上，
所以＋＝1，
解得b2＝3，则c2＝a2－b2＝1，
所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标分别为(－1，0)，(1，0)．
14. 因为椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，
所以可设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
因为椭圆经过点P，Q，
所以解得
所以椭圆的标准方程为＋＝1.