苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3．1.1　椭圆的标准方程(2)课时小练（有解析 ）

3．1.1　椭圆的标准方程(2)
一、 单项选择题
1. 已知椭圆＋＝1的左、右焦点是F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么PF1∶PF2等于(　　)
A. 3∶5 B. 3∶4 C. 5∶3 D. 4∶3
2. 过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆方程为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1
3. (2021·芜湖第一中学期中)若方程＋＝1表示椭圆C，则下列结论中正确的是(　　)
A. k∈(1，9)
B. 椭圆C的焦距为2
C. 若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈(1，5)
D. 若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈(5，9)
4. (2021·西安中学期中)已知F1(－3，0)，F2(3，0)是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝α，且当α＝时，△F1PF2的面积最大，则椭圆的标准方程为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1
5. (2021·河南县级示范性高中月考)已知P为椭圆C：x2＋＝1上的一点，A，B是椭圆C上关于原点对称的两点．设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－2，则椭圆C的一个焦点坐标为(　　)
A. (1，0) B. (0，1) C. (0，) D. (0，2)
6. 已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，点P在椭圆上．若PF1－PF2＝2，则△PF1F2的面积是(　　)
A. B. ＋1 C. D. ＋1
二、 多项选择题
7. 已知椭圆C1：＋＝1(a1＞b1＞0)和椭圆C2：＋＝1(a2＞b2＞0)的焦点相同，且a1＞a2.给出如下四个结论，其中正确的结论有(　　)
A. 椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点
B. a－a＝b－b
C. >
D. a1－a28. 椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是(　　)
A. (－3，0) B. (2，0) C. (3，0) D. (－2，0)
三、 填空题
9. 已知F1，F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上的一点，且PF1∶PF2＝1∶2，则 cos∠F1PF2 的值为________．
10. 在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4，0)，C(4，0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________．
11. 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
12. 已知P是椭圆＋＝1上的一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为______________．
四、 解答题
13. 设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF1≠PF2，求的值．
14. 已知在椭圆＋＝1中，P是椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°.
(1) 求△PF1F2的面积；
(2) 若将条件“∠PF1F2＝120°”改为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积．
参考答案与解析
1. C　解析：因为线段PF1的中点在y轴上，原点为F1F2的中点，所以y轴∥PF2，所以PF2⊥x轴，则PF－PF＝4c2＝4×(16－12)＝16.又PF1＋PF2＝8，所以PF1－PF2＝2，所以PF1＝5，PF2＝3，所以PF1∶PF2＝5∶3.
2. A　解析：设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则a2－b2＝c2＝5，且＋＝1，解得a2＝15，b2＝10，所以椭圆方程为＋＝1.
3. C　解析：因为方程表示椭圆，所以9－k>0，k－1>0，且9－k≠k－1，解得k∈(1，5)∪(5，9)，故A错误；当焦点在x轴上时，9－k>k－1>0，解得k∈(1，5)，故D错误，C正确；当焦点在x轴上时，则c2＝9－k－(k－1)＝10－2k，当焦点在y轴上时，c2＝k－1－(9－k)＝2k－10，故B错误.
4. A　解析：由题意知c＝3，当△F1PF2的面积最大时，点P与椭圆在y轴上的交点重合．因为α＝时，△F1PF2的面积最大，所以a＝＝2，b＝，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
5. B　解析：设A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，P(x，y)，且x≠±x0.由x2＋＝1，得y2＝n(1－x2)，所以y＝n(1－x)，k1k2＝·＝＝－n＝－2，所以n＝2，所以椭圆方程为x2＋＝1，焦点坐标为(0，1)，(0，－1)．故选B.
6. C　解析：由题意，得PF1＋PF2＝2a＝4.因为PF1－PF2＝2，所以PF1＝3，PF2＝1.又F1F2＝2c＝2，则PF＋F1F＝PF，所以△PF1F2是以∠F2为直角的直角三角形，所以S△PF1F2＝×2×1＝.
7. ABD　解析：由已知条件可得a－b＝a－b，即a－a＝b－b.因为a1>a2，所以b1>b2，所以两椭圆无公共点，故A正确；由a－a＝b－b，知B正确；若a1＝2，b1＝，a2＝，b2＝1，满足a－b＝a－b，但＝，＝，<，故C不正确；因为a1>b1>0，a2>b2>0，所以a1＋a2>b1＋b2>0.又由(a1＋a2)(a1－a2)＝(b1＋b2)(b1－b2)，可得a1－a28. AC　解析：记椭圆的两焦点为F1，F2，则PF1＋PF2＝2a＝10.m＝PF1·PF2≤＝25，当且仅当PF1＝PF2＝5，即点P位于椭圆与x轴的交点处时，m取得最大值25，所以点P的坐标为(－3，0)或(3，0)．故选AC.
9. 　解析：由题意，得a＝3，b＝，则c＝2.因为P是椭圆上的一点，所以PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝1∶2，所以PF1＝2，PF2＝4.因为F1F2＝2c＝4，所以由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝.
10. 　解析：由题意，得AB＋BC＝10，AC＝8.由正弦定理，得＝＝＝.
11. 3　解析：设PF1＝r1，PF2＝r2，则PF1＋PF2＝r1＋r2＝2a.由PF1⊥PF2，得r＋r＝4c2，所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，即r1r2＝2b2，所以△PF1F2的面积为S△PF1F2＝r1r2＝×2b2＝b2.又因为△PF1F2的面积为9，所以b2＝9，解得b＝3(负值舍去)．
12. x2＋＝1　解析：设Q(x，y)，P(x0，y0)，由Q是线段OP的中点，得x0＝2x，y0＝2y.又＋＝1，所以＋＝1，故点Q的轨迹方程为x2＋＝1.
13．由已知，得PF1＋PF2＝6，F1F2＝2.
①若∠PF1F2为直角，则PF＋F1F＝PF，
即PF＋20＝(6－PF1)2，
解得PF1＝，PF2＝，
所以＝；
②若∠F1PF2为直角，则F1F＝PF＋PF，
即PF＋(6－PF1)2＝20，
解得或
所以＝或＝2；
③若∠PF2F1为直角，则PF＋F1F＝PF，
即(6－PF1)2＋20＝PF，
解得PF1＝，PF2＝，
所以＝.
综上所述，的值为或或或2.
14. (1) 由＋＝1，得a＝2，b＝，则c＝＝1，所以F1F2＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理，得PF＝PF＋F1F－2PF1·F1F2·cos∠PF1F2，
即PF＝PF＋4＋2PF1.①
又PF1＋PF2＝2a＝4，②
由①②联立，解得PF1＝，
所以S△PF1F2＝PF1·F1F2·sin∠PF1F2＝××2×＝.
(2) 因为∠PF1F2＝90°，
所以PF＝PF＋F1F，
即(4－PF1)2＝PF＋4，解得PF1＝，
所以S△PF1F2＝·F1F2·PF1＝.