苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3．1.2　椭圆的几何性质(1)课时小练（有解析 ）

3．1.2　椭圆的几何性质(1)
一、 单项选择题
1. 已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝1，则此椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
2. 椭圆＋＝1与椭圆＋＝1(k<16)的(　　)
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等
C. 离心率相等 D. 焦距相等
3. 若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为(　　)
A. 　 B. C. D.
4. (2021·高邮月考)若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为6，则椭圆的焦距为(　　)
A. 4 B. 8 C. 6 D. 8
5. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3，则椭圆的标准方程为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋y2＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1
6. (2021·河南省重点高中月考联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为8，且一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，则该椭圆的左顶点为(　　)
A. (－2，0) B. (－3，0) C. (－4，0) D. (－5，0)
二、 多项选择题
7. 关于椭圆＋＝1的说法中，正确的是(　　)
A. 长轴长为2
B. 焦距为2
C. 离心率为
D. 左顶点的坐标为(－，0)
8. (2021·山东实验中学月考)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 椭圆C的方程为＋x2＝1
B. 椭圆C的方程为＋y2＝1
C. PQ＝
D. △PF2Q的周长为2
三、 填空题
9. 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程是___________________________．
10. 已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈，则实数m的取值范围是__________．
11. 已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若AF2＝BF2，BF1＝2BF2，则椭圆C的标准方程为____________．
12. 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆C上的一点，O为坐标原点．若△POF2为正三角形，则椭圆C的离心率为________．
四、 解答题
13. 已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1) 求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2) 写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．
14. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为F1F2，求椭圆C的离心率．
参考答案与解析
1. B　解析：由椭圆的标准方程＋＝1，得a2＝，b2＝，则c2＝，所以椭圆的离心率e＝＝.
2. D　解析：由题意，得椭圆＋＝1的长轴长为10，短轴长为8，离心率为＝，焦距为2×＝6；椭圆＋＝1(k<16)的长轴长为2，短轴长为2，离心率为＝，焦距为2＝6，故两个椭圆的焦距相等．
3. C　解析：由题意，得b＝c，即a2＝2c2，即a＝c，所以椭圆的离心率e＝＝.
4. C　解析：因为短轴长为6，即2b＝6，所以b＝3.又离心率为＝＝，解得a＝6，所以c2＝a2－b2＝27，则c＝3，故焦距2c＝6.
5. A　解析：由题意，得a＝2，a＋c＝3，则c＝1，b＝，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
6. D　解析：圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心是(3，0)，所以椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是(3，0)，即c＝3.又椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为8，即b＝4，所以a＝＝5，所以椭圆的左顶点为(－5，0)．
7. BCD　解析：椭圆＋＝1的焦点在y轴上，a＝2，b＝，c＝，所以长轴长为4，焦距为2，离心率e＝，左顶点坐标为(－，0)，故A错误，B，C，D正确．故选BCD.
8. AC　解析：由题意得2b＝2，所以b＝1.因为＝，a2＝1＋c2，解得c2＝2，a2＝3.因为焦点F1，F2在y轴上，所以椭圆C的方程为＋x2＝1，故A正确，B错误；不妨设F1(0，)，则P，Q两点的纵坐标也为，令＋x2＝1中y＝，解得x＝±，所以不妨令P，Q，所以PQ＝，故C正确；根据椭圆的定义可知，△PF2Q的周长为4a＝4，故D错误．故选AC.
9. ＋＝1　解析：由椭圆的长轴长为18，得a＝9.由两个焦点恰好将长轴三等分，得2c＝×18，即c＝3，所以b2＝81－9＝72.又中心在原点，焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
10. ∪　解析：方程x2＋my2＝1表示椭圆，则m>0，且m≠1，标准方程为x2＋＝1.当01时，a2＝1，b2＝，则e2＝＝＝1－∈(，1)，解得m>.综上所述，实数m的取值范围是(0，)∪(，＋∞)．
11. ＋＝1　解析：设BF2＝2m，则AF2＝3m，BF1＝4m.由椭圆定义知BF1＋BF2＝AF1＋AF2＝6m，所以AF1＝6m－3m＝3m，所以AF1＝AF2，故A为椭圆的短轴端点．设A(0，b)，由＝，得B.又点B在椭圆上，故＋＝1，解得a2＝5.又由c＝1，得b＝2，故椭圆的标准方程为＋＝1.
12. －1　解析：如图，因为△POF2为正三角形，所以OF1＝OP＝OF2，所以△F1PF2是直角三角形．因为∠PF2F1＝60°，F2F1＝2c，所以PF2＝c，所以PF1＝c.因为PF2＋PF1＝2a，所以c＋c＝2a，即＝＝－1，所以e＝－1.
13. (1) 由椭圆C1：＋＝1，得长半轴长为10，短半轴长为8，
焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝.
(2) 椭圆C2：＋＝1.
几何性质如下：
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：对称轴是x轴、y轴，对称中心是原点；
③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；
④焦点：(0，6)，(0，－6)；
⑤离心率：e＝.
14. 由题意知A(a，0)，B(0，b)，
所以直线AB的方程为＋＝1，
即bx＋ay－ab＝0.
又F1F2＝2c，所以＝c.
因为b2＝a2－c2，所以3a4－7a2c2＋2c4＝0，
解得e2＝或e2＝3(舍去)，所以e＝.
故椭圆的离心率为.