苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3．1.2　椭圆的几何性质(2)课时小练（有解析 ）

3．1.2　椭圆的几何性质(2)
一、 单项选择题
1. 若椭圆＋＝1的离心率为，则该椭圆的长轴长为(　　)
A. 8 B. 2或4 C. 1或4 D. 4或8
2. (2021·北京医学院附属中学期末)在椭圆＋＝1(a>b>0)中，F2为椭圆的右焦点，A为椭圆的左顶点，B为椭圆的短轴上的顶点，若⊥，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为(　　)
A. B. C. D.
3. 设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，则点P的横坐标为(　　)
A. 1 B. C. 2 D.
4. 设椭圆＋＝1(a>)的右焦点为F，右顶点为A，已知＋＝，其中O为坐标原点，e为椭圆的离心率，则椭圆的标准方程为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1
5. 阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家、力学家，他发展的“逼近法”为近代的微积分的创立奠定了基础，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为2π，则椭圆C的方程为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1
6. (2021·南阳六校期中)设F1，F2为椭圆C：y2＋＝1(0A. B. C. (0，] D. [，1)
二、 多项选择题
7. (2021·广州月考)如图，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为θ＝45°的平面所截，截面是一个椭圆，则下列说法中正确的是(　　)
A. 椭圆的长轴长为4
B. 椭圆的离心率为
C. 椭圆的方程可以为＋＝1
D. 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－
8. 如图，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列结论中正确的是(　　)
A. a1＋c1＝a2＋c2 B. a1－c1＝a2－c2
C. a2c1>a1c2 D. <
三、 填空题
9. (2021·广州第四中学月考)若直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的方程为______________．
10. 比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则________更扁．(填序号)
11. 设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上的一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为________．
12. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分，过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1射出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2，F1B＝，F1F2＝4，则截口BAC所在椭圆的离心率为________．
四、 解答题
13. 已知F1，F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过点F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程．
14. 如图，某椭圆隧道设计为双向四车道，车道总宽22 m，要求通行车辆限高4.5 m，隧道全长2.5 km，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．若最大拱高h为6 m，则拱宽l应设计为多少米？
参考答案与解析
1. D　解析：当椭圆的焦点在x轴上时，c2＝m－4，所以离心率e＝＝＝，解得m＝16，所以椭圆的长轴长2a＝8；当椭圆的焦点在y轴上时，c2＝4－m，所以离心率e＝＝＝，解得m＝1，此时椭圆的长轴长2a＝4.综上可知，椭圆的长轴长为4或8.
2. C　解析：由已知条件得，点A的坐标为(－a，0)，点B的坐标为(0，b)，点F2的坐标为(c，0)．因为⊥，所以kAB·kF2B＝－1，即·＝－1，所以b2＝ac，则a2－c2＝ac，即e2＋e－1＝0，解得e1＝，e2＝(舍去)．
3. D　解析：由PF1⊥PF2可知P为圆x2＋y2＝3与椭圆＋y2＝1在第一象限的交点，解方程组得点P的横坐标为.
4. C　解析：由＋＝，得＋＝，化简，得a2＝4c2.又b2＝3，所以a2－c2＝3c2＝3，则c＝1，a＝2，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
5. A　解析： 由题意，得椭圆的离心率e＝＝，即a＝2c.由椭圆面积为2π，得＝ab，则ab＝2.因为a2＝b2＋c2，联立解得a2＝4，b2＝3，所以所求椭圆的方程为＋＝1.
6. C　解析：由椭圆的性质知，当P在椭圆左、右顶点时，∠F1PF2最大，所以椭圆C上存在一点P使PF1⊥PF2，只需P在椭圆左右顶点时，∠F1PF2≥90°，此时，cos∠F1PF2＝≤0，即2a2≤4c2.又a2＝1，c2＝1－m2，所以1≤2(1－m2)，解得－≤m≤.又07. ACD　解析：设椭圆的长半轴长为a，椭圆的短半轴长为b，半焦距为c.由图象可得2acos45°＝2，所以a＝2，又b＝，c2＝a2－b2，所以c＝，所以椭圆的长轴长为4，故A正确；椭圆的离心率为，故B错误；圆的方程可以为＋＝1，故C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－，故D正确．故选ACD.
8. BC　解析：由题图可得a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，故A不正确；因为PF＝a1－c1，PF＝a2－c2，所以a1－c1＝a2－c2，故B正确；由a1－c1＝a2－c2，得(a1＋c2)2＝(a2＋c1)2，即a－c＋2a1c2＝a－c＋2a2c1，即b＋2a1c2＝b＋2a2c1.因为b1>b2，所以a2c1>a1c2，所以>，故C正确，D不正确．故选BC.
9. ＋y2＝1　解析：直线x＋2y－2＝0中，令x＝0，解得y＝1；令y＝0，解得x＝2，故椭圆的右焦点坐标为(2，0)，上顶点坐标为(0，1)，则c＝2，b＝1，则a＝＝，故椭圆的方程等于＋y2＝1.
10. ①　解析：将x2＋9y2＝36化为标准形式＋＝1，则离心率e1＝＝.又＋＝1的离心率e2＝＝，e2＜e1，故①更扁．
11. 　解析：由题意，得∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°，所以∠PF2x＝60°，所以PF2＝2×＝3a－2c.因为F1F2＝PF2，所以2c＝3a－2c，所以 e＝＝.
12. 　解析：由BC⊥F1F2及椭圆性质，得BC为椭圆的通径，所以F1B＝＝.又F1F2＝2c＝4，a2＝b2＋c2，解得a＝6，c＝2，b＝4，所以截口BAC所在椭圆的离心率为.
13. 由题意，得△AF1B的周长为AB＋AF1＋BF1＝AF2＋AF1＋BF2＋BF1＝4a＝16，
所以a＝4.
因为椭圆的离心率为，
所以＝，则c＝2，
所以b2＝16－12＝4，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
14. 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0，y>0)，
则由题意知解得a＝，
所以拱宽l＝2a＝ m.