数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置教案（表格式）

课程基本信息
课题 2.5.1直线与圆的位置关系
教科书 书名：普通高中教科书 数学 选择性必修第一册 出版社： 人民教育出版社 出版日期：2020年 7 月
教学目标
教学目标：1.理解直线与圆的位置关系，掌握对直线与圆的位置关系进行判断的两种方法.2.类比直线与直线研究位置关系的方法，探究用方程判断直线与圆位置关系的方法.3.运用直线与圆的方程的不同形式、位置关系的不同表达方式，实现位置关系与数量关系的转化.教学重点：利用方程表达、判断直线与圆的位置关系.用坐标法解决几何问题.教学难点：1. 利用直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系.2. 理解代数法几何法的关系，灵活运用多种方式表达、判断直线与圆位置关系.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
3分钟 （一）梳理提炼 引言：前面我们学习了直线的方程、圆的方程，用直线的方程研究了两条直线的位置关系，本节课我们类比用直线的方程研究两直线位置关系的方法，运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系.问题1直线与圆有哪些位置关系？师生活动：学生回忆思考，教师在黑板呈现、整理三种位置关系的图形表示、定义、几何表示.在平面几何中，直线与圆的位置关系有三种 ：直线与圆相交、相切、相离.设计意图：复习直线与圆的位置关系及其定义.追问1：如何判断直线与圆的位置关系？师生活动：观察图形，我们可以通过直线与圆公共点的个数，判定直线与圆的位置关系--直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；只有一个公共点，直线与圆相切，没有公共点，直线与圆相离.追问2：还有其他判断直线与圆的位置关系的方法吗？师生活动：将图中的直线看作是可以平行移动的，直线与圆心距离的改变，出现了不同的位置关系.首先看相切这种特殊的位置关系，此时，圆心到直线的距离等于半径. 记圆心到直线的距离为d，圆的半径为r.如果, 直线与圆相交；,直线与圆相切；,直线与圆相离.这是第二种判断直线与圆位置关系的方法---通过圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断. 平移直线的过程中，圆心到直线的距离的变化导致位置关系的变化；反之，位置关系的变化导致圆心到直线的距离与半径间大小关系的变化.以相交为例，直线与圆相交、直线与圆有两个公共点、,它们之间的关系都是充分必要的.设计意图: 复习平面几何的判断方法，引导学生将几何直观进行定量表达， 通过引言和问题1，回顾初中学面几何知识以及本章前面所学内容，提出本节研究的问题—利用直线与圆的方程，通过定量计算，判断直线与圆的位置关系，使学生体会这种研究思路的逻辑必然，能够在问题的引导下自主提出并研究问题.位置关系相交相切相离直线与圆公共点个数210d与r
2分钟 （二）探究方案 问题2 本章我们研究直线、圆的角度是什么 师生活动：在解析几何中，我们用方程研究几何图形.点，我们用有序数对表示；线，用二元一次方程表示；圆，用二元二次方程表示.研究方法是把几何问题转化为代数问题，运用代数方法研究几何图形的性质.设计意图:学生结合问题，回顾高中研究位置关系问题的方法，通过思考，容易发现，本章我们在坐标系中建立了直线方程、圆的方程,并通过它们的方程研究与直线、圆有关的几何问题. 通过坐标系，将几何元素，用坐标、方程表示，将几何问题转化为代数问题，再通过代数方法研究几何图形的性质.比较高中初中研究几何图形方法的不同，引导学生考虑将直线与圆位置关系中的几何要素用代数方法表达.追问：类比两直线位置关系的研究方法，怎样通过代数方法，研究直线与圆的位置关系呢 师生活动：如果两直线相交，交点在“形”上的意义是，既在第一条直线上，又在第二条直线上；从“数”上理解，交点坐标既满足第一条直线方程，又满足第二条直线方程，它是两直线方程联立组成的方程组的解.如果两直线平行，则方程组无解.相交与否这一几何位置关系问题，就可以通过方程组有无实数根的代数方法来判断.直线与圆是否有交点的问题，也可以转化为方程组的实根个数问题来解决.设计意图:类比直线与直线的位置关系问题的解决方法，讨论解析几何研究问题的基本思路，学生可以自主寻求到将直线与圆的位置关系中的几何元素进行代数表达的思考方向.具体方案也已经形成—将交点问题的判断转化为方程组实根的情况的判断.逐步体现本节课问题研究的必要性.由形上的不够严谨，过渡到利用d与r的比较，再过渡到类比直线与直线位置关系的研究方法，用方程进行判断.
15分钟 (三)方案应用 例1 已知直线l：和圆心为C的圆，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.思路1：将判断直线与圆的位置关系，转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解的问题;两点距离公式求弦长（代数法）.,消去y,得：，因为 ，方程有两个实数解，所以直线l与圆C有两个交点，直线l与圆C相交.解方程，得，把分别代入方程（1），得到.所以，直线l与圆C有两个交点是.直线l被圆C所截得弦AB的长度.设计意图：学生可以类比直线与直线相交的问题，猜想出直线与圆相交问题的代数解法，从几何到代数，再从代数回归到几何，总结根的判别式的代数、几何意义. 直线与圆有两个公共点，相交 直线与圆只有一个公共点，相切 直线与圆没有公共点，相离 思路2：将判断直线与圆的位置关系，转化为圆心到直线距离与半径的大小关系的问题；若相交，利用圆的几何性质--垂径定理，解决弦长问题(几何法).师生活动：将圆C的一般方程，化为标准方程，可得圆心坐标,半径，则圆心到直线l的距离为由于d3分钟 (四)归纳小结 问题3 总结研究思路，用方程判断直线与圆位置关系的方法.本节课，我们经历了：回顾、梳理、类比、迁移，通过两个问题，对直线与圆的位置关系问题展开了充分的讨论.你都学会了哪些判断直线与圆位置关系的方法呢 从画图观察，定性描述，到用圆心到直线距离或方程解的个数进行定量描述. 解决方法上,基本思路有两种，一是完全从代数角度出发，联立直线与圆的方程，消元，计算判别式，通过判别式确定方程组实数解的个数.二是利用圆心与半径，通过点与直线的距离公式，求出圆心到直线对距离，比较它与半径的大小.这两个思路，都可以作为直线与圆位置关系的判断方法.无论从代数出发还是几何出发，都经历了几何图形坐标化、方程化、进行代数运算、再利用代数运算的结果得到位置关系结论，这样的过程.这是解决解析几何问题的最根本的方法.