苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3．1.2　椭圆的几何性质(3)课时小练（有解析 ）

3．1.2　椭圆的几何性质(3)
一、 单项选择题
1. (2021·濮阳范县第一中学月考)已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)
A. 4 B. C. 4或－ D. 4或
2. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的动点，PF1＋PF2＝10，PF1的最小值为1，则椭圆C的焦距为(　　)
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
3. (2021·衡阳月考)已知椭圆E：＋＝1的右顶点为A，若P是椭圆上的一动点，O为坐标原点，则·的最大值为(　　)
A. 0 B. 3 C. 8 D. 9
4. 椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为(　　)
A. －1 B. －1 C. －2 D. －2
5. 若AB是过椭圆＋＝1中心的弦，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的最大值为　(　　)
A. 4 B. 8 C. 12 D. 24
6. (2021·汉中期中)已知F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆＋y2＝相切于点Q，且＝2，则椭圆C的离心率等于　(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7. 已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则下列结论中正确的是(　　)
A. 椭圆C的焦距为
B. 椭圆C的离心率为
C. 圆D在椭圆C的内部
D. PQ的最小值为
8. (2021·郴州嘉禾县第一中学月考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，P为椭圆C上的动点(异于椭圆的左、右顶点)，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则下列说法中正确的是(　　)
A. S的取值范围为(0，bc]
B. 若存在θ＝90°，必有b≥c
C. 当∠PF1F2＝θ＝45°时，椭圆C的离心率为e＝－1
D. S＝
三、 填空题
9. 已知点P(k，1)，椭圆＋＝1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为_______________．
10. 若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为，则椭圆的标准方程为____________．
11. 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(012. (2021·银川景博中学期中)已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－，则动点P的轨迹方程为________________．
四、 解答题
13. 求分别满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1) 焦点坐标为F1(－2，0)和F2(2，0)，P是椭圆上的一点，且PF1＋PF2＝8；
(2) 焦点在y轴上，离心率是，长轴长与短轴长之差为2.
14. 已知椭圆C：＋＝1.
(1) 求椭圆的离心率；
(2) 已知A是椭圆C的左顶点，过点A作斜率为1的直线m，求直线m与椭圆C的另一个交点B的坐标；
(3) 已知点M(0，2)，P是椭圆C上的动点，求PM的最大值及相应点P的坐标．
参考答案与解析
1. C　解析：当焦点在x轴上时，k＋8>9，即k>1，且e2＝＝＝，解得k＝4；当焦点在y轴上时，02. B　解析：由已知，得解得所以焦距为8.
3. C　解析：由题知，椭圆中a＝2，b＝，c＝1，所以A(2，0)．设点P(2cosθ，sinθ)，所以＝(2－2cosθ，－sinθ)，＝(－2cosθ，－sinθ)，所以·＝2cosθ×(2cosθ－2)＋sinθ×sinθ＝4cos2θ－4cosθ＋3sin2θ＝cos2θ－4cosθ＋3＝(cosθ－2)2－1，所以当cosθ＝－1时，·取得最大值为8.
4. B　解析：设F(－c，0)关于直线x＋y＝0的对称点为A(m，n)，则则m＝，n＝c，代入椭圆方程得＋＝1.又a2＝b2＋c2，化简，得e4－8e2＋4＝0，所以e＝－1.
5. A　解析：由椭圆的方程为＋＝1，得a＝2，b＝2，则c＝2.不妨设F1(2，0)为椭圆的右焦点， AB是过椭圆中心的弦，则A，B关于原点对称，设A(x，y)，则B(－x，－y)，所以S△F1AB＝×2×2|y|＝2|y|.当A是椭圆的短轴顶点，即|y|＝2时，△F1AB的面积取得最大值4.
6. A　解析：圆＋y2＝的圆心为A，半径为r＝.设左焦点为F1，连接PF1.因为AF＝c，AF1＝c，所以＝＝2，所以AQ∥PF1，所以PF1＝b，PF2＝2a－b.因为AQ⊥PF，所以PF1⊥PF，所以b2＋(2a－b)2＝(2c)2＝4(a2－b2)，化简，得3b－2a＝0，则＝，所以e＝＝＝.
7. BC　解析：由＋y2＝1，得a2＝6，b2＝1，则c2＝5，所以焦距2c＝2，离心率e＝＝＝，故A错误，B正确；设P(x，y)，圆心D(－1，0)，半径为r＝，则PD＝＝＝>，故圆D在椭圆C的内部，故C正确；当PD取最小值时，PQ取最小值－＝，故D错误．故选BC.
8. ACD　解析：对于A，设P为(x0，y0)，有0<|y0|≤b，S＝×2c|y0|∈(0，bc]，故A正确；对于B，若存在θ＝90°，只需当P为椭圆C上顶点时，∠F1PF2≥90°，只需c≥b，故B错误；对于C，由∠PF1F2＝θ＝45°，可知PF2⊥F1F2，此时＝2c，即a2－c2＝2ac.设椭圆C的离心率为e，则e2＋2e－1＝0，解得e＝－1，故C正确；对于D，设PF1＝m，PF2＝n，由余弦定理，得4c2＝m2＋n2－2mncosθ，即4c2＝(m＋n)2－2mn(1＋cosθ)，所以mn＝，则S＝mnsinθ＝××sinθ＝，故D正确．故选ACD.
9. ∪　解析：依题意得，＋>1，解得k<－或k>，故实数k的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．
10. ＋＝1或＋＝1　解析：设短轴的一个端点为P，两焦点分别为F1，F2.因为△PF1F2为正三角形，所以a＝2c.又椭圆的焦点到椭圆上的点的最短距离为，所以a－c＝，所以c＝，a＝2，b2＝9，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
11. 6　解析：如图，因为OM为△PF1F2的中位线，且OM＝1，所以PF2＝2.由椭圆定义，得PF1＝2a－PF2＝2×4－2＝6.
12. ＋y2＝1(x≠±)　解析：设动点P(x，y)，则kPA＝，kPB＝.由题意得·＝－，整理，得＋y2＝1.又因为动点P不能与定点A(－，0)，B(，0)重合，所以x≠±，故动点P的轨迹方程为＋y2＝1(x≠±)．
13. (1) 由题意，得c＝2，2a＝8，即a＝4，
所以b＝＝2.
所以椭圆的标准方程＋＝1.
(2) 由题意，得
解得或
所以椭圆的方程为＋＝1.
14. (1) 由题意，得a＝2，b＝，
则c＝＝，
所以椭圆的离心率e＝＝.
(2) 由题意，得A(－2，0)，
则直线m的方程为y＝x＋2，
联立方程组
消去y并整理，得3x2＋8x＋4＝0，
解得x1＝－2，x2＝－，
所以点B的坐标为.
(3) 设P(x0，y0)，因为P是椭圆C上的动点，
所以＋＝1，则x＝4－2y.
因为M(0，2)，
所以PM＝
＝
＝
＝.
因为－≤y0≤，
所以当y0＝－时，PM取最大值3，
此时点P的坐标是(0，－)．