苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3.2.1　双曲线的标准方程(1)课时小练（有解析 ）

3.2.1　双曲线的标准方程(1)
一、 单项选择题
1. 平面内到两定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离之差的绝对值等于4的点M的轨迹是(　　)
A. 椭圆 B. 线段 C. 两条射线 D. 双曲线
2. 若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是(　　)
A. (0，2) B. (0，＋∞) C. (－∞，2) D. (2，＋∞)
3. 方程－＝6化简的结果是(　　)
A. －＝1 B. －＝1
C. －＝1，x≥3 D. －＝1，x≤－3
4. 双曲线－＝1上的点P到点(5，0)的距离是，则点P到另外一个焦点的距离是(　　)
A. B. C. 或 D. 以上都不对
5. (2021·贵溪第一中学月考)设点P在双曲线－＝1上，若F1，F2为双曲线的两个焦点，且PF1∶PF2＝1∶3，则△F1PF2的周长等于(　　)
A. 22 B. 16 C. 14 D. 12
6. 已知m，n是两个不相等的非零实数，则方程mx－y＋n＝0与nx2＋my2＝mn所表示的曲线可能是(　　)
A B C D
二、 多项选择题
7. (2021·连云港期中)关于x，y的方程＋＝1(其中m2≠6)表示的曲线可能是(　　)
A. 焦点在y轴上的双曲线
B. 圆心为坐标原点的圆
C. 焦点在x轴上的双曲线
D. 长轴长为4的椭圆
8. (2021·保定唐县第一中学月考)已知双曲线－＝1的两个顶点分别是A1，A2，两个焦点分别是F1，F2，P是双曲线上异于A1，A2的任意一点，则下列结论中正确的是(　　)
A. |PA1－PA2|＝4
B. 直线PA1，PA2的斜率之积等于
C. 使得△PF1F2为等腰三角形的点P有8个
D. 若·＝3，则·＝0
三、 填空题
9. (2021·揭阳惠来县第一中学月考)以椭圆＋＝1长轴的端点为焦点，以该椭圆的焦点为顶点的双曲线方程为_____________________．
10. 如果＋＝－1表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是__________．
11. 经过点P(－3，2)和Q(－6，－7)的双曲线的标准方程是____________．
12. 设椭圆＋＝1 与双曲线－＝1 有公共焦点F1，F2，P 是两条曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2 的值为________．
四、 解答题
13. 双曲线与椭圆＋＝1有相同焦点，且经过点(4，)，求双曲线的方程．
14. 求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1) 两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；
(2) 以椭圆＋＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，)；
(3) a＝b，且经过点(3，－1)．
参考答案与解析
1. D　解析：根据双曲线的定义，及MF1－MF2＝±4，且F1F2＝6＞4，所以点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，且焦距为6.
2. A　解析：方程－＝1可化为＋＝1，它表示双曲线，则m(m－2)<0，解得03. C　解析：方程的几何意义是动点P(x，y)到定点(－4，0)，(4，0)的距离之差为6，由6<8，所以动点的轨迹是以(4，0)，(－4，0)为焦点，实轴为6的双曲线的右支，所以方程为－＝1，x≥3.
4. B　解析：因为点P到点(5，0)的距离是<5＋4，所以点P在与焦点(5，0)同侧的双曲线的一支上，即在右支上．设点P到左焦点的距离为d，则d－＝8，解得d＝.
5. A　解析：由题意知F1F2＝2×＝10，由双曲线定义知PF2－PF2＝6，又PF1∶PF2＝1∶3，所以PF1＝3，PF2＝9，所以△F1PF2的周长为3＋9＋10＝22.
6. C　解析：方程y＝mx＋n表示直线，A中m>0，n>0，此时曲线nx2＋my2＝mn表示椭圆或圆，故A错误；B中m<0，n<0，曲线不表示任何图形，故B错误；C中m>0，n<0，曲线＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确；D中m<0，n>0，曲线＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，故D错误．
7. BC　解析：m2＋2－(6－m2)＝2(m2－2)，当m＝±时，m2＋2＝6－m2＝4，此时＋＝1表示圆，故B正确；当－m2＋2>0，故＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若此时长轴长为4，则6－m2＝8，即m2＝－2，矛盾，故D错误；若m<－或m>，则6－m2<0，故＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，故A错误，C正确；若－6－m2>0，故方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，若长轴长为4，则m2＋2＝8即m＝±，矛盾，故D错误．故选BC.
8. BCD　解析：设点P(x0，y0)(x0≠±2)，A1(－2，0)，A2(2，0)，F1(－，0)，F2(，0)．对于A，不妨取点P(4，3)满足双曲线方程，此时|PA1－PA2|＝|－|＝3－≠4，故A错误；对于B，kPA1·kPA2＝·＝.又因为－＝1，代入可得kPA1·kPA2＝＝，故B正确；对于C，分别以F1，F2为圆心，以F1F2为半径作圆，与双曲线交于8个点，如下所示，故使得△PF1F2为等腰三角形的点P有8个，故C正确；对于D，因为·＝3，所以(x0－2)·(x0＋2)＋y＝3，解得x＋y＝7，所以·＝(x0＋)(x0－)＋y＝x＋y－7＝0，故D正确．故选BCD.
9. －＝1　解析：椭圆＋＝1的左、右顶点为(±5，0)，焦点为(±4，0)，则所求双曲线的焦点在x轴，可设双曲线的标准方程为－＝1，则a＝4，半焦距c＝5，则b2＝9，所以双曲线方程为－＝1.
10. (1，＋∞)　解析：原方程化为标准方程为－＝1.由题意知k－1>0，且|k|－2>0，解得k>2.又a2＝k－1，b2＝k－2，所以c2＝a2＋b2＝2k－3>1，所以c>1，即半焦距c的取值范围是(1，＋∞)．
11. －＝1　解析：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，则解得故双曲线的标准方程为－＝1.
12. 　解析：由题意可得焦点F1(2，0)，F2(－2，0)，则3＋b2＝4，解得b2＝1，所以双曲线方程为－y2＝1.不妨设点P在第一象限，根据椭圆、双曲线的定义和性质，可得PF1＋PF2＝2，PF1－PF2＝2，所以PF1＝＋，PF2＝－.又F1F2＝4，所以cos∠F1PF2＝＝＝.
13. 由题意知双曲线焦点为F1(－3，0)，F2(3，0)，
可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则b2＝9－a2.
因为点(4，)在双曲线上，
所以－＝1，
解得a2＝4或a2＝36(舍去)，
所以双曲线的方程为－＝1.
14. (1) 由双曲线的定义知，2a＝8，所以a＝4.又焦点在x轴上，且c＝5，所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2) 由题意，得双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则有b2＝8－a2，－＝1，解得a2＝3，b2＝5，故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3) 当焦点在x轴上时，可设双曲线方程为x2－y2＝a2，将点(3，－1)代入，得32－(－1)2＝a2，所以a2＝b2＝8，所以所求的双曲线的标准方程为－＝1；当焦点在y轴上时，可设双曲线方程为y2－x2＝a2，将点(3，－1)代入，得(－1)2－32＝a2，a2＝－8，不成立，所以焦点不可能在y轴上．综上，所求双曲线的标准方程为－＝1.