苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3．2.1　双曲线的标准方程(2)课时小练（有解析 ）

3．2.1　双曲线的标准方程(2)
一、 单项选择题
1. 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若PF1－PF2＝b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为(　　)
A. －y2＝1 B. －＝1 C. x2－＝1 D. －＝1
2. 过点(1，1)，且＝的双曲线的标准方程是(　　)
A. －y2＝1 B. －x2＝1 C. x2－＝1 D. －y2＝1或－x2＝1
3. 已知双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点，若PF1＝2PF2，则 cos∠F1PF2 的值是(　　)
A. B. C. D.
4. (2021·长治第二中学月考)在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：(x＋6)2＋y2＝4，点B(6，0)，点P在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，则点Q的轨迹方程为(　　)
A. x2－＝1 B. x2－＝1
C. ＋y2＝1 D. ＋y2＝1
5. 已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间距离为4，则实数n的取值范围是(　　)
A. (－1，3) B. (1，3)
C. (－∞，－1)∪(3，＋∞) D. (－∞，1)∪(3，＋∞)
6. 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长AB＝m，则△ABF2的周长为(　　)
A. 4a B. 4a－m C. 4a＋2m D. 4a－2m
二、 多项选择题
7. 已知曲线C：mx2－ny2＝1，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若mn>0，则曲线C为双曲线
B. 若m>0且m＋n<0，则曲线C为焦点在x轴的椭圆
C. 若m>0，n<0，则曲线C不可能表示圆
D. 若m>0，n＝0，则曲线C为两条直线
8. (2021·长沙雅礼中学月考)已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 当m>0时，点C的轨迹是双曲线
B. 当m>0时，点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去两个顶点)
C. 当m＝－1时，点C在圆x2＋y2＝25上运动(除去x轴的交点)
D. 当m<－1时，点C所在的椭圆的离心率随着m的增大而增大
三、 填空题
9. 设双曲线C的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1，0)，则双曲线C的标准方程为______________．
10. 已知方程－＝1表示的曲线是双曲线，则k的取值范围是__________________．
11. 已知椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为________．
12. 设P为双曲线－＝1的右支上的一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则PM－PN的最大值是________．
四、 解答题
13. 已知F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1) 若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2) 如图，若P是双曲线左支上的一点，且PF1·PF2＝32，求△F1PF2的面积．
14. 已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
(1) 若点M在双曲线上，且·＝0，求点M 到x轴的距离；
(2) 若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．
参考答案与解析
1. C　解析：由题意，得解得则该双曲线的方程为x2－＝1.
2. D　解析：因为＝，所以b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，将点(1，1)代入方程，得a2＝，此时双曲线方程为－y2＝1.同理可得当焦点在y轴上时，双曲线方程为－x2＝1.
3. B　解析：由题意，得a＝b＝，c＝2，则PF1－PF2＝2，所以PF2＝2，PF1＝4.在△PF1F2中，F1F2＝4，所以cos∠F1PF2＝＝.
4. A　解析：圆A的圆心为A(－6，0)，半径为r＝2，由中垂线的性质可得PQ＝BQ，当点P在圆A的右半圆上时，QA－QB＝PA＋PQ－QB＝PA＝25. A　解析：由该双曲线两焦点间距离为4，得c＝2.当双曲线的焦点在x轴上时，c2＝4m2＝4，m2＝1，此时双曲线的方程为－＝1，则由1＋n>0，3－n>0，得－16. C　解析：不妨设AF2>AF1，由双曲线的定义，知AF2－AF1＝2a，BF2－BF1＝2a，所以AF2＋BF2＝(AF1＋BF1)＋4a＝m＋4a，所以△ABF2的周长 l＝AF2＋BF2＋AB＝4a＋2m.
7. ABD　解析：若mn>0，则曲线C为焦点在x轴或y轴上的双曲线，故A正确；由m>0且m＋n<0，可得n<0，|n|>m>0，>，所以曲线C为焦点在x轴上的椭圆，故B正确；若m＝1，n＝－1，则曲线C是单位圆，故C错误；若m>0，n＝0，则曲线C化为±x＝1，表示两条直线，故D正确．故选ABD.
8. BC　解析：设C(x，y)(y≠0)，所以·＝m，整理，得－＝1(y≠0)．若m>0，故B正确，A错误；若m＝－1，轨迹方程为x2＋y2＝25(y≠0)，故C正确；若m<－1，则轨迹方程为＋＝1(y≠0)，表示焦点在y轴上的椭圆(不含左右顶点)，则e＝＝，所以e随着m的增大而减小，故D错误．故选BC.
9. x2－y2＝1　解析：由题意，设双曲线的方程为x2－＝1(b＞0)．因为1＋b2＝()2，所以b2＝1，即双曲线C的方程为x2－y2＝1.
10. (－2，2)∪(5，＋∞)　解析：因为方程对应的图形是双曲线，所以(k－5)(|k|－2)>0，即或解得k>5或－211. 4　解析：由题意，得a2－4＝9＋3，解得a＝4或a＝－4(舍去)．
12. 9　解析：设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，则F1(－5，0)，F2(5，0)，所以PF1－PF2＝6.由题意，得两圆的圆心分别为F1，F2.要求PM－PN的最大值，即求PM的最大值，PN的最小值，所以(PM)max＝PF1＋2，(PN)min＝PF2－1，所以(PM－PN)max＝PF1＋2－PF2＋1＝9.
13. 由题意，得a＝3，b＝4，c＝＝5.
(1) 由双曲线的定义，得|MF1－MF2|＝2a＝6.
又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，
假设点M到另一个焦点的距离等于x，
则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
经检验，符合条件，
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2) 由题意，得PF2－PF1＝6，两边平方，
得PF＋PF－2PF1·PF2＝36，
则PF＋PF＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2＝＝＝0.
因为∠F1PF2∈(0°，180°)，所以∠F1PF2＝90°，
故S△F1PF2＝PF1·PF2＝×32＝16.
14. (1) 不妨设点M在双曲线的右支上，点M到x轴的距离为h.
因为·＝0，所以MF1⊥MF2.
设MF1＝m，MF2＝n，则m－n＝2a＝8.①
又m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②，得mn＝8，
所以mn＝4＝F1F2·h，所以h＝，
故点M到x轴的距离为.
(2) 设所求双曲线C的方程为－＝1(－4<λ<16)．
因为双曲线C过点(3，2)，
所以－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，
所以所求双曲线C的方程为－＝1.