苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3．2.2 双曲线的几何性质(1)课时小练（有解析 ）
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3．2.2 双曲线的几何性质(1)课时小练（有解析 ） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 34.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-11 10:29:00 | ||
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文档简介
3．2.2 双曲线的几何性质(1)
一、 单项选择题
1. 已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则下列结论中正确的是( )
A. 实轴长为4，虚轴长为2
B. 实轴长为8，虚轴长为4
C. 实轴长为2，虚轴长为4
D. 实轴长为4，虚轴长为8
2. (2021·大庆铁人中学期末)已知中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为( )
A. y＝±x B. y＝±x C. y＝±x D. y＝±x
3. (2021·金华第一中学期中)顶点在y轴上，两顶点间的距离为8，离心率e＝的双曲线的标准方程为( )
A. －＝1 B. －＝1 C. －＝1 D. －＝1
4. 以双曲线－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )
A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1
5. 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0)，一条渐近线被圆(x－c)2＋y2＝c2截得的弦长为2b，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. 2 D. 2
6. (2021·厦门第一中学期中)已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点F，点A，B分别在双曲线C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)，则a的值为( )
A. 3 B. C. 2 D. 6
二、 多项选择题
7. 已知曲线C的方程为＋＝1(m≠±1且m≠3)，则下列结论中正确的是 ( )
A. 当m＝2时，曲线C是焦距为4的双曲线
B. 当m＝4时，曲线C是离心率为的椭圆
C. 曲线C可能是一个圆
D. 当m＝－3时，曲线C是渐近线方程为x±2y＝0的双曲线
8. 已知双曲线M：－＝1(a>b>0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则下列说法中正确的是( )
A. 双曲线M的离心率为
B. 双曲线M的标准方程为－y2＝1
C. 双曲线M的渐近线方程为y＝±x
D. 直线x＋y－2＝0经过双曲线M的一个焦点
三、 填空题
9. 若双曲线－＝1的离心率为，则实数a的值为________．
10. 若直线x－y＝0为双曲线x2－＝1(b>0)的一条渐近线，则b的值为________．
11. 已知双曲线－＝1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为______________．
12. 已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为______________．
四、 解答题
13. 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，且过点M(，2)．
(1) 求双曲线C的虚轴长；
(2) 求与双曲线C有相同渐近线，且过点P(－2，4)的双曲线的标准方程．
14. (2021·重庆江津中学期中)已知双曲线C1：－＝1.
(1) 求双曲线的离心率e与渐近线方程；
(2) 若椭圆C2与双曲线有相同的焦点且经过点A，求椭圆C2的标准方程．
参考答案与解析
1. B 解析：双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4.
2. C 解析：由已知可得＝＝＝＝.因为双曲线的焦点在y轴上，故该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
3. A 解析：因为两顶点间的距离为8，所以2a＝8，所以a＝4.因为e＝＝，所以c＝5，所以b＝3.因为顶点在y轴上，所以双曲线的标准方程为－＝1.
4. D 解析：由双曲线－＝－1，得双曲线－＝1的顶点为(0，±2)，焦点为(0，±4)，所以椭圆的焦点坐标为(0，±2)，顶点为(0，±4)，则椭圆的方程为＋＝1.
5. A 解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，则点F(c，0)到渐近线的距离为＝b.因为弦长为2b，圆半径为c，所以2b＝2，即c2＝2b2.因为b2＝c2－a2，所以c2＝2a2，则双曲线的离心率为e＝＝.
6. B 解析：由于双曲线的对称性，不妨设点A在渐近线y＝x上，则点B在y＝－x上．因为AF⊥x轴，所以A.设B，因为AB⊥OB，所以·＝－1.又因为BF∥OA，所以＝，可得t＝，则可解得a＝.
7. AD 解析：对于A，当m＝2时，曲线C的方程为－y2＝1，表示双曲线，且c＝＝2，即焦距为4，故A正确；对于B，当m＝4时，曲线C的方程为＋y2＝1，表示椭圆，离心率e＝＝≠，故B错误；对于C，令m2－1＝m－3，得m2－m＋2＝0，Δ＝(－1)2－4×2＝－7<0，该方程无解，则曲线C不可能是一个圆，故C错误；对于D，当m＝－3时，曲线C的方程为－＝1，表示双曲线，渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，故D正确．故选AD.
8. ACD 解析：由题意，得c＝2，则a2＋b2＝4.因为两条渐近线的夹角为60°，a>b>0，所以两条渐近线的倾斜角分别为30°，150°，所以＝，所以a＝，b＝1，所以双曲线方程为－y2＝1，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为(－2，0)，(2，0)，显然直线x＋y－2＝0过点(2，0)．故选ACD.
9. 1 解析：由题意，得4a－2>0，且＝3，解得a＝1.
10. 解析：由题意，得双曲线的焦点在x轴上，且a＝1.又双曲线的一条渐近线为y＝x，所以b＝.
11. －＝1 解析：由题意，得a2＝m，b2＝m＋6，则实轴长为2，虚轴长为2.因为虚轴长是实轴长的2倍，所以2×2＝2，解得m＝2，代入－＝1可得双曲线的标准方程为－＝1.
12. －y2＝1 解析：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设该双曲线的标准方程为－y2＝λ(λ≠0)．因为该双曲线过点(4，)，所以－()2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
13. (1) 由题意，易知MF2＝2，F1F2＝2，MF2⊥F1F2.
在Rt△MF2F1中，MF1＝＝4.
由双曲线的定义可知MF1－MF2＝2a，
所以2a＝2，即a＝1.
因为双曲线C的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，所以半焦距c＝.
又因为a2＋b2＝c2，所以b＝.
故双曲线C的虚轴长为2.
(2) 由(1)知双曲线C的方程为x2－＝1.
设与双曲线C有相同渐近线的双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)．
将点P(－2，4)代上述方程，得λ＝－4.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
14. (1) 因为双曲线C1：－＝1，
所以a＝2，b＝，c＝＝3，
所以离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x＝±x.
(2) 设椭圆C2的方程为＋＝1，
根据题意，得解得
所以椭圆C2的方程为＋＝1.
一、 单项选择题
1. 已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则下列结论中正确的是( )
A. 实轴长为4，虚轴长为2
B. 实轴长为8，虚轴长为4
C. 实轴长为2，虚轴长为4
D. 实轴长为4，虚轴长为8
2. (2021·大庆铁人中学期末)已知中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为( )
A. y＝±x B. y＝±x C. y＝±x D. y＝±x
3. (2021·金华第一中学期中)顶点在y轴上，两顶点间的距离为8，离心率e＝的双曲线的标准方程为( )
A. －＝1 B. －＝1 C. －＝1 D. －＝1
4. 以双曲线－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )
A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1
5. 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0)，一条渐近线被圆(x－c)2＋y2＝c2截得的弦长为2b，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. 2 D. 2
6. (2021·厦门第一中学期中)已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点F，点A，B分别在双曲线C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)，则a的值为( )
A. 3 B. C. 2 D. 6
二、 多项选择题
7. 已知曲线C的方程为＋＝1(m≠±1且m≠3)，则下列结论中正确的是 ( )
A. 当m＝2时，曲线C是焦距为4的双曲线
B. 当m＝4时，曲线C是离心率为的椭圆
C. 曲线C可能是一个圆
D. 当m＝－3时，曲线C是渐近线方程为x±2y＝0的双曲线
8. 已知双曲线M：－＝1(a>b>0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则下列说法中正确的是( )
A. 双曲线M的离心率为
B. 双曲线M的标准方程为－y2＝1
C. 双曲线M的渐近线方程为y＝±x
D. 直线x＋y－2＝0经过双曲线M的一个焦点
三、 填空题
9. 若双曲线－＝1的离心率为，则实数a的值为________．
10. 若直线x－y＝0为双曲线x2－＝1(b>0)的一条渐近线，则b的值为________．
11. 已知双曲线－＝1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为______________．
12. 已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为______________．
四、 解答题
13. 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，且过点M(，2)．
(1) 求双曲线C的虚轴长；
(2) 求与双曲线C有相同渐近线，且过点P(－2，4)的双曲线的标准方程．
14. (2021·重庆江津中学期中)已知双曲线C1：－＝1.
(1) 求双曲线的离心率e与渐近线方程；
(2) 若椭圆C2与双曲线有相同的焦点且经过点A，求椭圆C2的标准方程．
参考答案与解析
1. B 解析：双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4.
2. C 解析：由已知可得＝＝＝＝.因为双曲线的焦点在y轴上，故该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
3. A 解析：因为两顶点间的距离为8，所以2a＝8，所以a＝4.因为e＝＝，所以c＝5，所以b＝3.因为顶点在y轴上，所以双曲线的标准方程为－＝1.
4. D 解析：由双曲线－＝－1，得双曲线－＝1的顶点为(0，±2)，焦点为(0，±4)，所以椭圆的焦点坐标为(0，±2)，顶点为(0，±4)，则椭圆的方程为＋＝1.
5. A 解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，则点F(c，0)到渐近线的距离为＝b.因为弦长为2b，圆半径为c，所以2b＝2，即c2＝2b2.因为b2＝c2－a2，所以c2＝2a2，则双曲线的离心率为e＝＝.
6. B 解析：由于双曲线的对称性，不妨设点A在渐近线y＝x上，则点B在y＝－x上．因为AF⊥x轴，所以A.设B，因为AB⊥OB，所以·＝－1.又因为BF∥OA，所以＝，可得t＝，则可解得a＝.
7. AD 解析：对于A，当m＝2时，曲线C的方程为－y2＝1，表示双曲线，且c＝＝2，即焦距为4，故A正确；对于B，当m＝4时，曲线C的方程为＋y2＝1，表示椭圆，离心率e＝＝≠，故B错误；对于C，令m2－1＝m－3，得m2－m＋2＝0，Δ＝(－1)2－4×2＝－7<0，该方程无解，则曲线C不可能是一个圆，故C错误；对于D，当m＝－3时，曲线C的方程为－＝1，表示双曲线，渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，故D正确．故选AD.
8. ACD 解析：由题意，得c＝2，则a2＋b2＝4.因为两条渐近线的夹角为60°，a>b>0，所以两条渐近线的倾斜角分别为30°，150°，所以＝，所以a＝，b＝1，所以双曲线方程为－y2＝1，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为(－2，0)，(2，0)，显然直线x＋y－2＝0过点(2，0)．故选ACD.
9. 1 解析：由题意，得4a－2>0，且＝3，解得a＝1.
10. 解析：由题意，得双曲线的焦点在x轴上，且a＝1.又双曲线的一条渐近线为y＝x，所以b＝.
11. －＝1 解析：由题意，得a2＝m，b2＝m＋6，则实轴长为2，虚轴长为2.因为虚轴长是实轴长的2倍，所以2×2＝2，解得m＝2，代入－＝1可得双曲线的标准方程为－＝1.
12. －y2＝1 解析：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设该双曲线的标准方程为－y2＝λ(λ≠0)．因为该双曲线过点(4，)，所以－()2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
13. (1) 由题意，易知MF2＝2，F1F2＝2，MF2⊥F1F2.
在Rt△MF2F1中，MF1＝＝4.
由双曲线的定义可知MF1－MF2＝2a，
所以2a＝2，即a＝1.
因为双曲线C的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，所以半焦距c＝.
又因为a2＋b2＝c2，所以b＝.
故双曲线C的虚轴长为2.
(2) 由(1)知双曲线C的方程为x2－＝1.
设与双曲线C有相同渐近线的双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)．
将点P(－2，4)代上述方程，得λ＝－4.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
14. (1) 因为双曲线C1：－＝1，
所以a＝2，b＝，c＝＝3，
所以离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x＝±x.
(2) 设椭圆C2的方程为＋＝1，
根据题意，得解得
所以椭圆C2的方程为＋＝1.