苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3．2.2　双曲线的几何性质(2)课时小练（有解析 ）

3．2.2　双曲线的几何性质(2)
一、 单项选择题
1. 中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是(　　)
A. x2－y2＝8 B. x2－y2＝4 C. y2－x2＝8 D. y2－x2＝4
2. (2021·重庆缙云教育联盟月考)已知F为双曲线C：－y2＝1的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为(　　)
A. 1 B. C. D. 2
3. 若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则实数k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D. ∪
4. 若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的上、下顶点分别为A1，A2，点P在双曲线上(异于顶点)，直线PA1，PA2的斜率乘积为，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A. y＝±x　 B. y＝±x C. y＝±x D. y＝±2x
5. 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1，且离心率为，过点F1作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M，若△OMF1的面积等于4(O为坐标原点)，则实数b的值为(　　)
A. 4 B. 1 C. 3 D. 2
6. (2021·南阳第一中学月考)双曲线的光学性质为：如图1 ，从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图2，其方程为－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其左、右焦点．若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足∠BAD＝90°，tan∠ABC＝－，则该双曲线的离心率为(　　)
图1 图2
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7. (2021·武安第三中学月考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为A，B，双曲线的一条渐近线被圆x2＋y2＋8x＋8＝0所截得弦长为4，且点C在双曲线的左支上，在△ABC中内角分别表示为A，B，C，则下列说法中正确的是(　　)
A. a＝2b
B. 双曲线的渐近线方程为y＝±x
C. 双曲线的离心率为
D. ＝
8. 已知双曲线C的标准方程为x2－＝1，则下列结论中正确的是(　　)
A. 双曲线C的离心率为2
B. 直线x＝2与双曲线C相交于A，B两点，则AB＝6
C. 双曲线y2－＝1与双曲线C有相同的渐近线
D. 双曲线C的焦点到渐近线的距离为
三、 填空题
9. (2021·北京第八中学期末)双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的实轴长为________．
10. 双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a的值为__________．
11. 设直线l过双曲线C的一个焦点，且与双曲线C的一条对称轴垂直，直线l与双曲线C交于A，B两点，AB等于双曲线C的实半轴长，则双曲线C的离心率为________．
12. (2021·“山东学情”联考)双曲线－＝1的离心率是，F1，F2是该双曲线的两焦点，点P在双曲线上，且PF1⊥x轴，则△PF1F2的内切圆和外接圆半径之比为________．
四、 解答题
13. 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1) 渐近线方程为y＝±x，焦距为10；
(2) 与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝.
14. 已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
(1) 求与双曲线C有共同渐近线且过点(2，3)的双曲线标准方程；
(2) 若P是双曲线C上的一点，且∠F1PF2＝150°，求△F1PF2的面积．
参考答案与解析
1. A　解析：在直线3x－4y＋12＝0中，令y＝0，得 x＝－4，所以等轴双曲线的一个焦点为(－4，0)，所以c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故双曲线的方程是x2－y2＝8.
2. A　解析：由双曲线C：－y2＝1，得a＝，b＝1，c＝＝2，不妨取F(2，0)，一条渐近线方程为y＝x，即x－y＝0，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为＝1.
3. C　解析：由题意，得直线y＝kx恒过原点，双曲线－＝1的渐近线为y＝±x.因为直线y＝kx与双曲线－＝1相交，所以－＜k＜.
4. B　解析：双曲线：－＝1(a＞0，b＞0)的上、下顶点分别为A1(0，a)，A2(0，－a)．又P(m，n)是双曲线上异于A，B的一点，所以－＝1，即有m2＝(n2－a2)．设直线PA1，PA2的斜率分别为k1＝，k2＝.因为直线PA1，PA2的斜率乘积为，即＝，所以＝，则双曲线的渐近线方程为y＝±x.
5. D　解析：由题意知，F1(－c，0)，渐近线方程为y＝±x，不妨取过点F1作渐近线y＝x的垂线，则MF1＝＝b，所以OM＝＝＝a，所以△OMF1的面积S＝OM·MF1＝ab＝4，所以ab＝8①.又离心率e＝＝，所以＝②，由①②解得b＝2.
6. C　解析：易知点F1，A，D共线，点F1，B，C共线，如图，设AF1＝m，AF2＝n，则m－n＝2a.由tan∠ABC＝－，得tan∠ABF1＝.又∠F1AB＝∠F2AD＝90°，所以tan∠ABF1＝＝，则AB＝m，所以BF2＝AB－AF2＝m－n，所以BF1＝2a＋BF2＝2a＋m－n＝4a＋m.由AF＋AB2＝BF，得m2＋＝.因为m>0，故解得m＝3a，则n＝3a－2a＝a.在△AF1F2中，m2＋n2＝(2c)2，即9a2＋a2＝4c2，所以e＝＝.
7. BD　解析：令一条渐近线方程为y＝x，被圆(x＋4)2＋y2＝8截得的弦长为4，则圆心到渐近线的距离d＝＝2.又d＝＝，所以c＝2b，a＝b，离心率e＝＝，浙近线方程为y＝±x，故A，C错误，B正确；＝＝＝，故D正确．故选BD.
8. ABD　解析：由双曲线C的标准方程为x2－＝1，得a＝1，b＝，c＝＝2.双曲线C的离心率为e＝＝2，故A正确；在双曲线C的方程中，令x＝2，得y＝±3，则AB＝6，故B正确；双曲线C的渐近线方程为y＝±x，而双曲线y2－＝1的焦点在y轴上，实半轴长为1，虚半轴长为，其渐近线方程为y＝±x＝±x，故C错误；双曲线C的焦点坐标为(±2，0)，渐近线方程为y＝±x，不妨取一个焦点F(2，0)，一条渐近线方程为x－y＝0，则焦点到渐近线的距离为＝，故D正确．故选ABD.
9. 2　解析：设焦点为(c，0)，由题意得解得故实轴长为2a＝2.
10. 2　解析：如图，因为四边形OABC为正方形，且边长为2，所以c＝OB＝2.又∠AOB＝，所以＝tan＝1，即a＝b.又因为a2＋b2＝c2＝8，所以a＝2.
11. 　解析：不妨设双曲线C：－＝1，焦点F(－c，0)，则直线l与x轴垂直．令x＝－c，代入双曲线方程，得y＝±.由＝a，得a2＝2b2，所以c2＝2b2＋b2＝3b2，所以e2＝＝＝，则 e＝.
12. 　解析：由＝，得c＝a，则b＝＝a.设PF1＝m，PF2＝n，F1(－c，0)，F2(c，0)．因为PF1⊥x轴，所以m＝＝a，所以n＝m＋2a＝3a，所以△PF1F2的内切圆半径为r＝(PF1＋F1F2－PF2)＝(a＋2c－3a)＝c－a＝(－1)a，△PF1F2的外接圆半径为R＝PF2＝a，所以△PF1F2的内切圆和外接圆半径之比＝.
13. (1) 由渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，即－＝1.
由a2＋b2＝c2，2c＝10，得|4λ|＋|λ|＝25，
所以|λ|＝5，所以λ＝±5，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2) 因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设所求双曲线的方程为－＝1(24<λ<49)．
又e＝，所以＝－1，解得λ＝33.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
14. (1) 设与双曲线C：－＝1有共同渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
因为双曲线过点(2，3)，所以－＝λ，即λ＝－2，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2) 由双曲线C：－＝1，得a2＝16，b2＝4，则c＝＝2.
不妨设点P在双曲线右支上，由双曲线的定义，得PF1－PF2＝8.
由余弦定理，得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos150°＝(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2＋PF1·PF2＝64＋2PF1·PF2＋PF1·PF2＝80，解得PF1·PF2＝16(2－)，
所以S△F1PF2＝PF1·PF2sin150°＝×16(2－)×＝4(2－)．