苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3.3.1 抛物线的标准方程课时小练（有解析 ）
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3.3.1 抛物线的标准方程课时小练（有解析 ） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 109.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-11 10:29:28 | ||
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文档简介
3.3.1 抛物线的标准方程
一、 单项选择题
1. 已知抛物线y＝2px2过点(1，4)，则抛物线的焦点坐标为( )
A. (1，0) B. C. D. (0，1)
2. 已知点M到点F(－4，0)的距离比它到直线l：x－6＝0的距离小2，则点M的轨迹方程为( )
A. y2＝16x B. y2＝－16x C. y2＝24x D. y2＝－24x
3. 抛物线y2＝8x的焦点到双曲线x2－＝1的一条渐近线的距离为( )
A. 1 B. 2 C. D. 2
4. 已知点M(4，t)在抛物线x2＝4y上，则点M到抛物线焦点的距离为( )
A. 5 B. 6 C. 4 D. 8
5. (2021·浙江山河联盟月考)我们知道：用平行于圆锥母线的平面(不过顶点)截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分．如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，AB，CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离为( )
A. B. C. D. 1
6. 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ的中心的横坐标为3，PQ＝10，则抛物线的方程是( )
A. y2＝4x B. y2＝2x C. y2＝8x D. y2＝6x
二、 多项选择题
7. 经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为( )
A. y2＝x B. x2＝8y C. x2＝－8y D. y2＝－8x
8. (2021·保定部分学校期中)已知P(x0，y0)是抛物线C：y2＝4x上一动点，则下列说法中正确的是( )
A. C的焦点坐标为(2，0)
B. C的准线方程为x＋1＝0
C. x0＋1＝
D. x0＋的最小值为
三、 填空题
9. 焦点为F(3，0)的抛物线标准方程为____________．
10. 已知双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn＝________．
11. 与圆(x－2)2＋y2＝1外切，且与直线x＋1＝0相切的动圆的圆心的轨迹方程是________．
12. 中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m．若水面下降1 m，则水面宽度为________m.
四、 解答题
13. 已知抛物线的焦点在x轴上，且抛物线上一点A(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程．
14. (2021·福清西山学校月考)已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线D：y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，且三角形OAB的面积为(O为坐标原点)．
(1) 求双曲线C的渐近线方程；
(2) 求实数p的值．
参考答案与解析
1. C 解析：由抛物线y＝2px2过点(1，4)，可得p＝2，所以抛物线的标准方程为x2＝y，则焦点坐标为.
2. B 解析：因为点M到点F(－4，0)的距离比它到直线l：x－6＝0的距离小2，所以点M到直线x＝4的距离和它到点(－4，0)的距离相等．根据抛物线的定义，得点M的轨迹是以(－4，0)为焦点，以直线x＝4为准线的抛物线．设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)，由－＝－4，得p＝8，所以其方程为y2＝－16x.
3. C 解析：由题意，得抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，双曲线x2－＝1的一条渐近线为y＝x，则焦点到渐近线的距离为d＝＝.
4. A 解析：将点M(4，t)代入x2＝4y，得t＝4，所以点M(4，4)．由题意，得抛物线x2＝4y的准线方程y＝－1，则点M(4，4)到焦点的距离等于点M到准线的距离为5.
5. C 解析：设AB，CD的交点为O，连接PO，由题意可得PO垂直于圆锥底面，所以PO⊥OB.由题意OB＝OP＝OC ＝2，因为E是母线PB的中点，所以OE＝.以BP为y轴以OE为x轴，E为坐标原点，建立如图所示的平面坐标系，可得C(－，2)，设抛物线的方程为y2＝ mx，将点C(－，2)代入可得4＝－m，所以m＝－2，所以抛物线的方程为y2＝－2x，所以焦点坐标为，准线方程为x＝，所以焦点到其准线的距离为.
6. C 解析：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由线段PQ中点的横坐标为3，得x1＋x2＝6，则焦点弦长PQ＝x1＋x2＋p＝6＋p＝10，解得p＝4，故抛物线方程是y2＝8x.
7. AC 解析：若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．又因为抛物线经过点P(4，－2)，所以(－2)2＝2p×4，解得p＝，所以抛物线的方程为y2＝x；若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2＝2py(p<0)．又因为抛物线经过点P(4，－2)，所以42＝2p×(－2)，解得p＝－4，所以抛物线的方程为x2＝－8y.故选AC.
8. BCD 解析：抛物线C：y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，准线方程为x＋1＝0，故A错误，B正确；根据抛物线的定义可得点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，即x0＋1＝，故C正确；因为y＝4x0，所以x0＋＝＋＝＋－≥2－＝，当且仅当＝，即y＝1时，等号成立，故x0＋的最小值为，故D正确．故选BCD.
9. y2＝12x 解析：由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)．因为抛物线的焦点坐标为(3，0)，所以＝3，所以2p＝12，所以抛物线的标准方程是y2＝12x.
10. 解析：由题意，得抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，则m＋n＝1.又因为双曲线的离心率是2，所以＝＝4，所以m＝，n＝，所以mn＝.
11. y2＝8x 解析：由圆(x－2)2＋y2＝1，可得圆心F(2，0)，半径r＝1.设所求动圆圆心为P(x，y)，过点P作PM⊥l，M为垂足，则PF－1＝PM，即 PF＝PM＋1，由此可得点P的轨迹是到定点 F(2，0) 的距离和到直线l：x＝－2的距离相等的点的集合．由抛物线的定义可知，点P的轨迹是抛物线，定点F(2，0)为焦点，定直线l：x＝－2是准线，所以抛物线的方程为y2＝8x.
12. 4 解析：由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程x2＝－2py(p>0)，由题意知，抛物线经过点A(－4，－2)和点B(4，－2)，代入抛物线方程，解得p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.水面下降1 m，即y＝－3，解得x1＝2，x2＝－2，所以此时水面宽度d为4m.
13. 由题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则准线方程为x＝－.
又点A(3，m)到焦点的距离为5，
则3＋＝5，解得p＝4，
所以抛物线的标准方程是y2＝8x.
14. (1) 因为e＝，
所以＝＝，即＝，
故双曲线的渐近线方程为y＝±x.
(2) 不妨设点A在x轴下方，点B在x轴上方，因为抛物线的准线方程为x＝－，
由得A，
同理可得B，所以AB＝p，
因为S△OAB＝×AB×＝，
解得p＝2.
一、 单项选择题
1. 已知抛物线y＝2px2过点(1，4)，则抛物线的焦点坐标为( )
A. (1，0) B. C. D. (0，1)
2. 已知点M到点F(－4，0)的距离比它到直线l：x－6＝0的距离小2，则点M的轨迹方程为( )
A. y2＝16x B. y2＝－16x C. y2＝24x D. y2＝－24x
3. 抛物线y2＝8x的焦点到双曲线x2－＝1的一条渐近线的距离为( )
A. 1 B. 2 C. D. 2
4. 已知点M(4，t)在抛物线x2＝4y上，则点M到抛物线焦点的距离为( )
A. 5 B. 6 C. 4 D. 8
5. (2021·浙江山河联盟月考)我们知道：用平行于圆锥母线的平面(不过顶点)截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分．如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，AB，CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离为( )
A. B. C. D. 1
6. 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ的中心的横坐标为3，PQ＝10，则抛物线的方程是( )
A. y2＝4x B. y2＝2x C. y2＝8x D. y2＝6x
二、 多项选择题
7. 经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为( )
A. y2＝x B. x2＝8y C. x2＝－8y D. y2＝－8x
8. (2021·保定部分学校期中)已知P(x0，y0)是抛物线C：y2＝4x上一动点，则下列说法中正确的是( )
A. C的焦点坐标为(2，0)
B. C的准线方程为x＋1＝0
C. x0＋1＝
D. x0＋的最小值为
三、 填空题
9. 焦点为F(3，0)的抛物线标准方程为____________．
10. 已知双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn＝________．
11. 与圆(x－2)2＋y2＝1外切，且与直线x＋1＝0相切的动圆的圆心的轨迹方程是________．
12. 中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m．若水面下降1 m，则水面宽度为________m.
四、 解答题
13. 已知抛物线的焦点在x轴上，且抛物线上一点A(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程．
14. (2021·福清西山学校月考)已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线D：y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，且三角形OAB的面积为(O为坐标原点)．
(1) 求双曲线C的渐近线方程；
(2) 求实数p的值．
参考答案与解析
1. C 解析：由抛物线y＝2px2过点(1，4)，可得p＝2，所以抛物线的标准方程为x2＝y，则焦点坐标为.
2. B 解析：因为点M到点F(－4，0)的距离比它到直线l：x－6＝0的距离小2，所以点M到直线x＝4的距离和它到点(－4，0)的距离相等．根据抛物线的定义，得点M的轨迹是以(－4，0)为焦点，以直线x＝4为准线的抛物线．设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)，由－＝－4，得p＝8，所以其方程为y2＝－16x.
3. C 解析：由题意，得抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，双曲线x2－＝1的一条渐近线为y＝x，则焦点到渐近线的距离为d＝＝.
4. A 解析：将点M(4，t)代入x2＝4y，得t＝4，所以点M(4，4)．由题意，得抛物线x2＝4y的准线方程y＝－1，则点M(4，4)到焦点的距离等于点M到准线的距离为5.
5. C 解析：设AB，CD的交点为O，连接PO，由题意可得PO垂直于圆锥底面，所以PO⊥OB.由题意OB＝OP＝OC ＝2，因为E是母线PB的中点，所以OE＝.以BP为y轴以OE为x轴，E为坐标原点，建立如图所示的平面坐标系，可得C(－，2)，设抛物线的方程为y2＝ mx，将点C(－，2)代入可得4＝－m，所以m＝－2，所以抛物线的方程为y2＝－2x，所以焦点坐标为，准线方程为x＝，所以焦点到其准线的距离为.
6. C 解析：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由线段PQ中点的横坐标为3，得x1＋x2＝6，则焦点弦长PQ＝x1＋x2＋p＝6＋p＝10，解得p＝4，故抛物线方程是y2＝8x.
7. AC 解析：若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．又因为抛物线经过点P(4，－2)，所以(－2)2＝2p×4，解得p＝，所以抛物线的方程为y2＝x；若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2＝2py(p<0)．又因为抛物线经过点P(4，－2)，所以42＝2p×(－2)，解得p＝－4，所以抛物线的方程为x2＝－8y.故选AC.
8. BCD 解析：抛物线C：y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，准线方程为x＋1＝0，故A错误，B正确；根据抛物线的定义可得点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，即x0＋1＝，故C正确；因为y＝4x0，所以x0＋＝＋＝＋－≥2－＝，当且仅当＝，即y＝1时，等号成立，故x0＋的最小值为，故D正确．故选BCD.
9. y2＝12x 解析：由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)．因为抛物线的焦点坐标为(3，0)，所以＝3，所以2p＝12，所以抛物线的标准方程是y2＝12x.
10. 解析：由题意，得抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，则m＋n＝1.又因为双曲线的离心率是2，所以＝＝4，所以m＝，n＝，所以mn＝.
11. y2＝8x 解析：由圆(x－2)2＋y2＝1，可得圆心F(2，0)，半径r＝1.设所求动圆圆心为P(x，y)，过点P作PM⊥l，M为垂足，则PF－1＝PM，即 PF＝PM＋1，由此可得点P的轨迹是到定点 F(2，0) 的距离和到直线l：x＝－2的距离相等的点的集合．由抛物线的定义可知，点P的轨迹是抛物线，定点F(2，0)为焦点，定直线l：x＝－2是准线，所以抛物线的方程为y2＝8x.
12. 4 解析：由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程x2＝－2py(p>0)，由题意知，抛物线经过点A(－4，－2)和点B(4，－2)，代入抛物线方程，解得p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.水面下降1 m，即y＝－3，解得x1＝2，x2＝－2，所以此时水面宽度d为4m.
13. 由题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则准线方程为x＝－.
又点A(3，m)到焦点的距离为5，
则3＋＝5，解得p＝4，
所以抛物线的标准方程是y2＝8x.
14. (1) 因为e＝，
所以＝＝，即＝，
故双曲线的渐近线方程为y＝±x.
(2) 不妨设点A在x轴下方，点B在x轴上方，因为抛物线的准线方程为x＝－，
由得A，
同理可得B，所以AB＝p，
因为S△OAB＝×AB×＝，
解得p＝2.