苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3．3.2 抛物线的几何性质(1)课时小练（有解析 ）
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3．3.2 抛物线的几何性质(1)课时小练（有解析 ） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 58.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-11 10:29:43 | ||
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文档简介
3．3.2 抛物线的几何性质(1)
一、 单项选择题
1. 以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A. y2＝8x
B. y2＝－8x
C. y2＝8x或y2＝－8x
D. x2＝8y或x2＝－8y
2. 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么AB的长为( )
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
3. (2021·山西稷山中学月考)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若BC＝BF，且AF＝4＋2，则p的值为 ( )
A. 1 B. 2 C. D. 3
4. (2021·鹤岗第一中学期中)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且MF＝3OF，△MFO的面积为16，则抛物线的方程为( )
A. y2＝6x B. y2＝8x C. y2＝16x D. y2＝20x
5. 已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，若PF＝4，则直线AF的倾斜角为( )
A. B. C. D.
6. 已知P是抛物线C：y2＝4x上一点，F为抛物线C的焦点，点M(2，1)，则△PMF的周长的最小值为( )
A. 3 B. 1 C. ＋1 D. ＋3
二、 多项选择题
7. (2021·嘉兴第五高级中学期中)关于抛物线y2＝－2x，则下列说法中正确的是( )
A. 开口向左
B. 焦点坐标为(－1，0)
C. 准线方程为x＝1
D. 对称轴为x轴
8. 平面内到定点F(0，1)和到定直线l：y＝－1的距离相等的动点的轨迹为曲线C，则下列说法中正确的是( )
A. 曲线C的方程为x2＝4y
B. 曲线C关于y轴对称
C. 当点P(x，y)在曲线C上时，y≥2
D. 当点P在曲线C上时，点P到直线l的距离d≥2
三、 填空题
9. (2021·化州第三中学月考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，过点P作l的垂线交l于点E，且∠PFE＝60°，PF＝6，则抛物线C的方程为________．
10. 设F为抛物线y2＝ax(a>0)的焦点，点P在抛物线上，且到y轴的距离与到点F的距离之比为1∶2，则PF＝________．
11. 若抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若AB＝2，则点A到抛物线的准线的距离为________．
12. 抛物线具有光学性质，即从焦点出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线沿平行于抛物线对称轴的方向射出．一条光线从抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F射出，经抛物线上一点B反射后，反射光线经过点A(5，4)，若AB＋FB＝6，则抛物线的标准方程为________．
四、 解答题
13. (2021·如东期中)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，抛物线C上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①FM＋FN＝MN；②OM＝ON＝MN＝8；③直线MN的方程为y＝6p.请分析说明M，N两点满足的是哪两个条件？并求抛物线C的标准方程．
14. (2021·上海闵行区月考)如图，某飞行器研究基地E在指挥中心F的正北方向 4km处，小镇A在E的正西方向8km处，小镇B在指挥中心F的正南方向8km处．已知一新型飞行器在试飞过程中到点F和到直线AE的距离始终相等，该飞行器产生一定的噪音污染，距离该飞行器1km以内(含边界)为10级噪音，每远离飞行器1km，噪音污染就会减弱1级，直至0级为无噪音污染(飞行器的大小及高度均忽略不计)．
(1) 判断该飞行器是否经过线段EF的中点O，并判断小镇A是否会受到该飞行器的噪音污染？
(2) 小镇B受该飞行器噪音污染的最强等级为多少级？
参考答案与解析
1. C 解析：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，由题意，得2p＝8，即p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
2. B 解析：由题意，得抛物线y2＝4x的准线方程是x＝－1，过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
3. B 解析：过点B作准线的垂线BB′，垂足为B′，则BB′＝BF，由BC＝BF，得＝，所以直线l的倾斜角为45°.设A(x0，y0)．由AF＝4＋2，得x0－＝AF＝2＋2，所以x0＝2＋2＋.又AF＝x0＋，所以2＋2＋p＝4＋2，解得p＝2.
4. C 解析：设M(x0，y0)，由MF＝3OF，得＋y＝.又因为y＝2px0，所以＋2px0＝，即x＋px0－2p2＝0，解得x0＝p或x0＝－2p(舍去)，所以M(p，±p)，所以S△MFO＝××p＝16，解得p＝±8.因为p>0，所以p＝8，所以抛物线的方程为y2＝16x.
5. B 解析：由题意，得抛物线的准线方程为x＝－1，由PF＝4，得xP＝3.又点P在第一象限，故点P(3，2)，A(－1，2)．又F(1，0)，所以直线AF的斜率为－，倾斜角为.
6. D 解析：如图，由题意可判断点M(2，1)在抛物线内部，且易得点F(1，0)，准线方程x＝－1.根据两点间距离公式得MF＝.根据抛物线性质得PM＋PF＋MF＝PM＋PN＋≥MN＋＝3＋，当且仅当N，P，M三点共线时等号成立，故△PMF的周长的最小值为＋3.
7. AD 解析：抛物线y2＝－2x，开口向左，焦点为，准线方程为x＝，对称轴为x轴，故A，D正确，B，C错误．故选AD.
8. AB 解析：由抛物线定义，知曲线C是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，其方程为x2＝4y，故A正确；若点(x，y)在曲线C上，则点(－x，y)也在曲线C上，故曲线C关于y轴对称，故B正确；由x2＝4y知y≥0，故C错误；点P到直线l的距离d≥1，故D错误．故选AB.
9. x2＝6y 解析：由抛物线方程可得F，因为PE⊥l，∠PFE＝60°，PF＝6，得PF＝PE＝6，故三角形PFE为等边三角形，过点F作FM⊥PE，交PE于点M，则M为PE的中点，所以PM＝ME＝3，所以p＝3，所以x2＝6y.
10. 解析：由题意，得点F，＝，即PF＝.
11. 解析：由抛物线y2＝2x，其准线方程为x＝－.因为AB垂直于x轴，AB＝2，所以点A到x轴的距离为，假设点A在x轴上侧，即y＝，代入抛物线y2＝2x，得x＝1，所以点A到抛物线的准线的距离d＝1＋＝.
12. y2＝4x 解析：设B(m，4)，F，则AB＝5－m，FB＝m＋，所以AB＋FB＝5－m＋m＋＝5＋＝6，即p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
13. 若同时满足条件①②：
由①FM＋FN＝MN，得MN过点F.
当OM＝ON时，MN＝2p，而OM＝ON＝p≠MN，
所以①②不同时成立；
若同时满足条件①③：
由①FM＋FN＝MN，得MN过焦点F.
因为直线y＝6p不可能过点F，
所以①③不同时成立；
若同时满足②③：
因为OM＝ON＝MN＝8，且直线MN的方程为y＝6p，
所以6p＝12，解得p＝2，
所以抛物线的方程为x2＝4y.
14. (1) 由题设，构建以EF的中点O为原点，过点O平行于AE的直线为x轴，BE为y轴的直角坐标系，如图，则A(－8，2)，B(0，－10)，E(0，2)，F(0，－2)，O(0，0)，
要使新型飞行器在试飞过程中到点F和到直线AE的距离始终相等，
所以其轨迹为以AE为准线，F为焦点的抛物线，故轨迹方程为x2＝－8y，
所以点O在轨迹上，即该飞行器经过线段EF的中点O.
连接AF，交抛物线于点P，
因为FA＝＝4，
所以PA＝FA－FP＝4－PF<10，
故小镇A会受到该飞行器的噪音污染．
(2) 设飞行器P的坐标为(x，y)，
所以PB＝＝＝.
又y≤0，所以当y＝－6时，PBmin＝8，
故小镇B受该飞行器噪音污染的最强等级为3级．
一、 单项选择题
1. 以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A. y2＝8x
B. y2＝－8x
C. y2＝8x或y2＝－8x
D. x2＝8y或x2＝－8y
2. 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么AB的长为( )
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
3. (2021·山西稷山中学月考)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若BC＝BF，且AF＝4＋2，则p的值为 ( )
A. 1 B. 2 C. D. 3
4. (2021·鹤岗第一中学期中)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且MF＝3OF，△MFO的面积为16，则抛物线的方程为( )
A. y2＝6x B. y2＝8x C. y2＝16x D. y2＝20x
5. 已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，若PF＝4，则直线AF的倾斜角为( )
A. B. C. D.
6. 已知P是抛物线C：y2＝4x上一点，F为抛物线C的焦点，点M(2，1)，则△PMF的周长的最小值为( )
A. 3 B. 1 C. ＋1 D. ＋3
二、 多项选择题
7. (2021·嘉兴第五高级中学期中)关于抛物线y2＝－2x，则下列说法中正确的是( )
A. 开口向左
B. 焦点坐标为(－1，0)
C. 准线方程为x＝1
D. 对称轴为x轴
8. 平面内到定点F(0，1)和到定直线l：y＝－1的距离相等的动点的轨迹为曲线C，则下列说法中正确的是( )
A. 曲线C的方程为x2＝4y
B. 曲线C关于y轴对称
C. 当点P(x，y)在曲线C上时，y≥2
D. 当点P在曲线C上时，点P到直线l的距离d≥2
三、 填空题
9. (2021·化州第三中学月考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，过点P作l的垂线交l于点E，且∠PFE＝60°，PF＝6，则抛物线C的方程为________．
10. 设F为抛物线y2＝ax(a>0)的焦点，点P在抛物线上，且到y轴的距离与到点F的距离之比为1∶2，则PF＝________．
11. 若抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若AB＝2，则点A到抛物线的准线的距离为________．
12. 抛物线具有光学性质，即从焦点出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线沿平行于抛物线对称轴的方向射出．一条光线从抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F射出，经抛物线上一点B反射后，反射光线经过点A(5，4)，若AB＋FB＝6，则抛物线的标准方程为________．
四、 解答题
13. (2021·如东期中)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，抛物线C上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①FM＋FN＝MN；②OM＝ON＝MN＝8；③直线MN的方程为y＝6p.请分析说明M，N两点满足的是哪两个条件？并求抛物线C的标准方程．
14. (2021·上海闵行区月考)如图，某飞行器研究基地E在指挥中心F的正北方向 4km处，小镇A在E的正西方向8km处，小镇B在指挥中心F的正南方向8km处．已知一新型飞行器在试飞过程中到点F和到直线AE的距离始终相等，该飞行器产生一定的噪音污染，距离该飞行器1km以内(含边界)为10级噪音，每远离飞行器1km，噪音污染就会减弱1级，直至0级为无噪音污染(飞行器的大小及高度均忽略不计)．
(1) 判断该飞行器是否经过线段EF的中点O，并判断小镇A是否会受到该飞行器的噪音污染？
(2) 小镇B受该飞行器噪音污染的最强等级为多少级？
参考答案与解析
1. C 解析：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，由题意，得2p＝8，即p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
2. B 解析：由题意，得抛物线y2＝4x的准线方程是x＝－1，过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
3. B 解析：过点B作准线的垂线BB′，垂足为B′，则BB′＝BF，由BC＝BF，得＝，所以直线l的倾斜角为45°.设A(x0，y0)．由AF＝4＋2，得x0－＝AF＝2＋2，所以x0＝2＋2＋.又AF＝x0＋，所以2＋2＋p＝4＋2，解得p＝2.
4. C 解析：设M(x0，y0)，由MF＝3OF，得＋y＝.又因为y＝2px0，所以＋2px0＝，即x＋px0－2p2＝0，解得x0＝p或x0＝－2p(舍去)，所以M(p，±p)，所以S△MFO＝××p＝16，解得p＝±8.因为p>0，所以p＝8，所以抛物线的方程为y2＝16x.
5. B 解析：由题意，得抛物线的准线方程为x＝－1，由PF＝4，得xP＝3.又点P在第一象限，故点P(3，2)，A(－1，2)．又F(1，0)，所以直线AF的斜率为－，倾斜角为.
6. D 解析：如图，由题意可判断点M(2，1)在抛物线内部，且易得点F(1，0)，准线方程x＝－1.根据两点间距离公式得MF＝.根据抛物线性质得PM＋PF＋MF＝PM＋PN＋≥MN＋＝3＋，当且仅当N，P，M三点共线时等号成立，故△PMF的周长的最小值为＋3.
7. AD 解析：抛物线y2＝－2x，开口向左，焦点为，准线方程为x＝，对称轴为x轴，故A，D正确，B，C错误．故选AD.
8. AB 解析：由抛物线定义，知曲线C是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，其方程为x2＝4y，故A正确；若点(x，y)在曲线C上，则点(－x，y)也在曲线C上，故曲线C关于y轴对称，故B正确；由x2＝4y知y≥0，故C错误；点P到直线l的距离d≥1，故D错误．故选AB.
9. x2＝6y 解析：由抛物线方程可得F，因为PE⊥l，∠PFE＝60°，PF＝6，得PF＝PE＝6，故三角形PFE为等边三角形，过点F作FM⊥PE，交PE于点M，则M为PE的中点，所以PM＝ME＝3，所以p＝3，所以x2＝6y.
10. 解析：由题意，得点F，＝，即PF＝.
11. 解析：由抛物线y2＝2x，其准线方程为x＝－.因为AB垂直于x轴，AB＝2，所以点A到x轴的距离为，假设点A在x轴上侧，即y＝，代入抛物线y2＝2x，得x＝1，所以点A到抛物线的准线的距离d＝1＋＝.
12. y2＝4x 解析：设B(m，4)，F，则AB＝5－m，FB＝m＋，所以AB＋FB＝5－m＋m＋＝5＋＝6，即p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
13. 若同时满足条件①②：
由①FM＋FN＝MN，得MN过点F.
当OM＝ON时，MN＝2p，而OM＝ON＝p≠MN，
所以①②不同时成立；
若同时满足条件①③：
由①FM＋FN＝MN，得MN过焦点F.
因为直线y＝6p不可能过点F，
所以①③不同时成立；
若同时满足②③：
因为OM＝ON＝MN＝8，且直线MN的方程为y＝6p，
所以6p＝12，解得p＝2，
所以抛物线的方程为x2＝4y.
14. (1) 由题设，构建以EF的中点O为原点，过点O平行于AE的直线为x轴，BE为y轴的直角坐标系，如图，则A(－8，2)，B(0，－10)，E(0，2)，F(0，－2)，O(0，0)，
要使新型飞行器在试飞过程中到点F和到直线AE的距离始终相等，
所以其轨迹为以AE为准线，F为焦点的抛物线，故轨迹方程为x2＝－8y，
所以点O在轨迹上，即该飞行器经过线段EF的中点O.
连接AF，交抛物线于点P，
因为FA＝＝4，
所以PA＝FA－FP＝4－PF<10，
故小镇A会受到该飞行器的噪音污染．
(2) 设飞行器P的坐标为(x，y)，
所以PB＝＝＝.
又y≤0，所以当y＝－6时，PBmin＝8，
故小镇B受该飞行器噪音污染的最强等级为3级．