苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3．3.2 抛物线的几何性质(2)课时小练（有解析 ）
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3．3.2 抛物线的几何性质(2)课时小练（有解析 ） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 73.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-11 10:29:57 | ||
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文档简介
3．3.2 抛物线的几何性质(2)
一、 单项选择题
1. P为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是AA1，BB1，PP1，则下列结论中正确的是( )
A. PP1＝AA1＋BB1 B. PP1＝AB
C. PP1>AB D. PP12. 已知抛物线y＝mx2(m>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，若AB＝6，则焦点F的坐标为( )
A. B. C. D.
3. 已知P是抛物线y2＝4x上的一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是( )
A. B. C. 2 D. －1
4. (2022·宜春奉新县第一中学月考)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F且倾斜角为30°的直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在点B的右侧)，则等于( )
A. 9 B. C. D. 3
5. 已知F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A(2，y1)，B分别是抛物线上位于第一象限和第四象限的点，若AF＝10，则△ABF的面积为( )
A. 42 B. 30 C. 18 D. 14
6. 如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l，交抛物线于点A，B，交其准线于点C.若BC＝BF，且AF＝＋1，则此抛物线的方程为( )
A. y2＝x B. y2＝2x C. y2＝x D. y2＝3x
二、 多项选择题
7. 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M(x0，y0)在抛物线C上，若MF＝4，则下列结论中正确的是( )
A. x0＝3 B. y0＝2 C. OM＝ D. 点F(0，1)
8. (2021·莱州第一中学月考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于点A，B，且A，AF＝，则下列结论中正确的是( )
A. a＝± B. p＝4 C. BF＝3 D. S△AOB＝
三、 填空题
9. 已知动点P到定点(1，0)的距离等于它到定直线x＝－1的距离，则点P的轨迹方程为______________．
10. 若点P(2 021，t)在抛物线y2＝8x上，F为该抛物线的焦点，则PF的值为________．
11. (2021·浙江北斗星盟月考)已知抛物线C：x2＝2y上有两动点P，Q，且PQ＝5，则线段PQ的中点到x轴距离的最小值是________．
12. 已知抛物线具有如下性质：若抛物线y2＝2px(p>0)的一条过焦点F的弦AB被焦点F分成长为m，n的两部分，则＋＝，试运用该性质解决以下问题：已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，则p＝________，－的最小值为________．
四、 解答题
13. (2021·重庆朝阳中学月考)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，线段AB中点M的横坐标为2，且AF＋BF＝6.
(1) 求抛物线C的标准方程；
(2) 若直线l(斜率存在)经过焦点F，求直线l的方程．
14. 如图，已知点A(2，8)，B(x1，y1)，C(x2，y2)在抛物线y2＝2px(p>0)上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合．
(1) 写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
(2) 求线段BC中点M的坐标；
(3) 求BC所在直线的方程．
参考答案与解析
1. B 解析：根据题意，PP1是梯形AA1B1B的中位线，故PP1＝(AA1＋BB1)＝(AF＋BF)＝AB.
2. B 解析：抛物线y＝mx2(m>0)的方程的标准形式为x2＝y，则F，所以直线AB的方程为y＝x＋，与y＝mx2(m>0)联立，消去x，得3y2－y＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝.由y1＋y2＋＝6，解得＝，所以焦点F的坐标为.
3. D 解析：由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为PF－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋PF－1.易知d＋PF的最小值为点F到直线l的距离，即＝，所以d＋PF－1的最小值为－1.
4. D 解析：因为抛物线C：x2＝4y的焦点为F(0，1)，所以直线l方程为y－1＝x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题知x2<0，x1>0，y1>y2，联立得3y2－10y＋3＝0，解得y1＝3，y2＝.利用抛物线定义知＝＝＝3.
5. A 解析：由题意知AF＝2＋＝10，即p＝16，则抛物线的方程为y2＝32x，所以点B，A(2，8)，则直线AB的方程为8x－y－8＝0.设直线AB与x轴交于点C，则点C(1，0)，则△ABF的面积为×7×(8＋4)＝42.
6. A 解析： 如图，过点A作AD垂直于抛物线的准线，垂足为D，过点B作BE垂直于抛物线的准线，垂足为E.设P为准线与x轴的交点．由抛物线的定义，得BF＝BE，AF＝AD＝＋1.因为BC＝BF，所以BC＝BE，所以∠DCA＝45°，所以AC＝AD＝2＋，CF＝2＋－－1＝1，所以PF＝＝，即p＝PF＝，所以抛物线的方程为y2＝x.
7. AC 解析：由抛物线C：y2＝4x的焦点为F，可得F(1，0)，故D错误；因为点M(x0，y0)在抛物线C上，且MF＝4，所以x0＋1＝4，所以x0＝3，故A正确；将x0＝3代入抛物线方程，得y0＝±2，故B错误；OM＝＝，故C正确．故选AC.
8. AC 解析：因为AF＝，所以＋＝，解得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，A，将点A代入抛物线方程，解得a＝±.不妨设点A，又点F(1，0)，所以直线AB的斜率为k＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，代入抛物线方程得2x2－5x＋2＝0，解得xB＝2，所以BF＝＋2＝3.又yB＝－2，所以S△AOB＝×1×|yA－yB|＝，故A，C正确，B，D错误．故选AC.
9. y2＝4x 解析：因为动点M到定点(1，0)的距离等于它到直线x＝－1的距离，所以由抛物线的定义可知点M的轨迹是以(1，0)为焦点的抛物线．设方程为y2＝2px(p＞0)．因为＝1，所以p＝2，所以点P的轨迹方程为y2＝4x.
10. 2 023 解析：因为抛物线方程为y2＝8x，所以2p＝8，＝2，所以抛物线的焦点为F(2，0)，准线为x＝－2.根据抛物线的定义，得点P(2 021，t)到点F的距离等于点P到准线的距离，即PF＝2 021－(－2)＝2 023.
11. 2 解析：设抛物线C的焦点为F，点P在抛物线的准线y＝－上的投影为P1，点Q在直线y＝－上的投影为Q1，线段PQ的中点为E，点E到x轴的距离为d，则PP1＋QQ1＝PF＋QF≥PQ＝5，d＝(PP1＋QQ1)－，所以 d≥2，当且仅当PF＋QF＝PQ，即P，F，Q三点共线时等号成立，所以线段PQ的中点到x轴距离的最小值是2.
12. 2 －6 解析：因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，所以＝1，解得p＝2.因为AB为抛物线的焦点弦，所以＋＝1，所以＝1－，所以－＝－9＝＋－9≥2－9＝－6，当且仅当AF＝6时取等号，所以－的最小值为－6.
13. (1) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则线段AB中点M的横坐标x＝＝2，所以x1＋x2＝4，
所以AF＋BF＝x1＋x2＋p＝4＋p＝6，
解得p＝2，
所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
(2) 由(1)可知抛物线的焦点坐标为F(1，0)，
故设直线方程为y＝k(x－1)，k≠0，
联立消去y并整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
所以x1＋x2＝＝4，
解得k＝±，
所以直线l的方程y＝±(x－1)．
14. (1) 将点A(2，8)代入y2＝2px，得64＝4p，
解得p＝16，
所以抛物线的方程为y2＝32x，焦点F(8，0)．
(2) 设点M(x，y)．
因为F是△ABC的重心，M是BC的中点，
所以＝2，即(6，－8)＝2(x－8，y)，
所以x＝11，y＝－4，
所以点M(11，－4)．
(3) 由(2)得，BC的中点M不在x轴上，则直线BC与x轴不垂直，设直线BC的方程为y＋4＝k(x－11)．
联立消去x并整理，得ky2－32y－32(4＋11k)＝0，
所以y1＋y2＝.
由(2)，得y1＋y2＝－8，所以k＝－4，
所以直线BC的方程是4x＋y－40＝0.
一、 单项选择题
1. P为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是AA1，BB1，PP1，则下列结论中正确的是( )
A. PP1＝AA1＋BB1 B. PP1＝AB
C. PP1>AB D. PP1
A. B. C. D.
3. 已知P是抛物线y2＝4x上的一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是( )
A. B. C. 2 D. －1
4. (2022·宜春奉新县第一中学月考)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F且倾斜角为30°的直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在点B的右侧)，则等于( )
A. 9 B. C. D. 3
5. 已知F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A(2，y1)，B分别是抛物线上位于第一象限和第四象限的点，若AF＝10，则△ABF的面积为( )
A. 42 B. 30 C. 18 D. 14
6. 如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l，交抛物线于点A，B，交其准线于点C.若BC＝BF，且AF＝＋1，则此抛物线的方程为( )
A. y2＝x B. y2＝2x C. y2＝x D. y2＝3x
二、 多项选择题
7. 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M(x0，y0)在抛物线C上，若MF＝4，则下列结论中正确的是( )
A. x0＝3 B. y0＝2 C. OM＝ D. 点F(0，1)
8. (2021·莱州第一中学月考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于点A，B，且A，AF＝，则下列结论中正确的是( )
A. a＝± B. p＝4 C. BF＝3 D. S△AOB＝
三、 填空题
9. 已知动点P到定点(1，0)的距离等于它到定直线x＝－1的距离，则点P的轨迹方程为______________．
10. 若点P(2 021，t)在抛物线y2＝8x上，F为该抛物线的焦点，则PF的值为________．
11. (2021·浙江北斗星盟月考)已知抛物线C：x2＝2y上有两动点P，Q，且PQ＝5，则线段PQ的中点到x轴距离的最小值是________．
12. 已知抛物线具有如下性质：若抛物线y2＝2px(p>0)的一条过焦点F的弦AB被焦点F分成长为m，n的两部分，则＋＝，试运用该性质解决以下问题：已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，则p＝________，－的最小值为________．
四、 解答题
13. (2021·重庆朝阳中学月考)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，线段AB中点M的横坐标为2，且AF＋BF＝6.
(1) 求抛物线C的标准方程；
(2) 若直线l(斜率存在)经过焦点F，求直线l的方程．
14. 如图，已知点A(2，8)，B(x1，y1)，C(x2，y2)在抛物线y2＝2px(p>0)上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合．
(1) 写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
(2) 求线段BC中点M的坐标；
(3) 求BC所在直线的方程．
参考答案与解析
1. B 解析：根据题意，PP1是梯形AA1B1B的中位线，故PP1＝(AA1＋BB1)＝(AF＋BF)＝AB.
2. B 解析：抛物线y＝mx2(m>0)的方程的标准形式为x2＝y，则F，所以直线AB的方程为y＝x＋，与y＝mx2(m>0)联立，消去x，得3y2－y＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝.由y1＋y2＋＝6，解得＝，所以焦点F的坐标为.
3. D 解析：由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为PF－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋PF－1.易知d＋PF的最小值为点F到直线l的距离，即＝，所以d＋PF－1的最小值为－1.
4. D 解析：因为抛物线C：x2＝4y的焦点为F(0，1)，所以直线l方程为y－1＝x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题知x2<0，x1>0，y1>y2，联立得3y2－10y＋3＝0，解得y1＝3，y2＝.利用抛物线定义知＝＝＝3.
5. A 解析：由题意知AF＝2＋＝10，即p＝16，则抛物线的方程为y2＝32x，所以点B，A(2，8)，则直线AB的方程为8x－y－8＝0.设直线AB与x轴交于点C，则点C(1，0)，则△ABF的面积为×7×(8＋4)＝42.
6. A 解析： 如图，过点A作AD垂直于抛物线的准线，垂足为D，过点B作BE垂直于抛物线的准线，垂足为E.设P为准线与x轴的交点．由抛物线的定义，得BF＝BE，AF＝AD＝＋1.因为BC＝BF，所以BC＝BE，所以∠DCA＝45°，所以AC＝AD＝2＋，CF＝2＋－－1＝1，所以PF＝＝，即p＝PF＝，所以抛物线的方程为y2＝x.
7. AC 解析：由抛物线C：y2＝4x的焦点为F，可得F(1，0)，故D错误；因为点M(x0，y0)在抛物线C上，且MF＝4，所以x0＋1＝4，所以x0＝3，故A正确；将x0＝3代入抛物线方程，得y0＝±2，故B错误；OM＝＝，故C正确．故选AC.
8. AC 解析：因为AF＝，所以＋＝，解得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，A，将点A代入抛物线方程，解得a＝±.不妨设点A，又点F(1，0)，所以直线AB的斜率为k＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，代入抛物线方程得2x2－5x＋2＝0，解得xB＝2，所以BF＝＋2＝3.又yB＝－2，所以S△AOB＝×1×|yA－yB|＝，故A，C正确，B，D错误．故选AC.
9. y2＝4x 解析：因为动点M到定点(1，0)的距离等于它到直线x＝－1的距离，所以由抛物线的定义可知点M的轨迹是以(1，0)为焦点的抛物线．设方程为y2＝2px(p＞0)．因为＝1，所以p＝2，所以点P的轨迹方程为y2＝4x.
10. 2 023 解析：因为抛物线方程为y2＝8x，所以2p＝8，＝2，所以抛物线的焦点为F(2，0)，准线为x＝－2.根据抛物线的定义，得点P(2 021，t)到点F的距离等于点P到准线的距离，即PF＝2 021－(－2)＝2 023.
11. 2 解析：设抛物线C的焦点为F，点P在抛物线的准线y＝－上的投影为P1，点Q在直线y＝－上的投影为Q1，线段PQ的中点为E，点E到x轴的距离为d，则PP1＋QQ1＝PF＋QF≥PQ＝5，d＝(PP1＋QQ1)－，所以 d≥2，当且仅当PF＋QF＝PQ，即P，F，Q三点共线时等号成立，所以线段PQ的中点到x轴距离的最小值是2.
12. 2 －6 解析：因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，所以＝1，解得p＝2.因为AB为抛物线的焦点弦，所以＋＝1，所以＝1－，所以－＝－9＝＋－9≥2－9＝－6，当且仅当AF＝6时取等号，所以－的最小值为－6.
13. (1) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则线段AB中点M的横坐标x＝＝2，所以x1＋x2＝4，
所以AF＋BF＝x1＋x2＋p＝4＋p＝6，
解得p＝2，
所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
(2) 由(1)可知抛物线的焦点坐标为F(1，0)，
故设直线方程为y＝k(x－1)，k≠0，
联立消去y并整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
所以x1＋x2＝＝4，
解得k＝±，
所以直线l的方程y＝±(x－1)．
14. (1) 将点A(2，8)代入y2＝2px，得64＝4p，
解得p＝16，
所以抛物线的方程为y2＝32x，焦点F(8，0)．
(2) 设点M(x，y)．
因为F是△ABC的重心，M是BC的中点，
所以＝2，即(6，－8)＝2(x－8，y)，
所以x＝11，y＝－4，
所以点M(11，－4)．
(3) 由(2)得，BC的中点M不在x轴上，则直线BC与x轴不垂直，设直线BC的方程为y＋4＝k(x－11)．
联立消去x并整理，得ky2－32y－32(4＋11k)＝0，
所以y1＋y2＝.
由(2)，得y1＋y2＝－8，所以k＝－4，
所以直线BC的方程是4x＋y－40＝0.