苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3.4 圆锥曲线的统一定义 课时小练（有解析 ）

3．4　圆锥曲线的统一定义
一、 单项选择题
1. 双曲线－＝1的两条准线之间的距离为(　　)
A. B. C. D.
2. 若椭圆2x2＋ny2＝2n的一条准线方程为x＝－2，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
3. 已知动点M到定点F的距离与动点M到定直线l的距离之比等于1，则动点M的轨迹是(　　)
A. 圆
B. 双曲线
C. 抛物线或一条直线
D. 抛物线或一条直线除去点F
4. 若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点到右准线的距离等于3a，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
5. 已知动点P(x，y)满足＝|x－y＋2|，则动点P的轨迹为(　　)
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆
6. 已知动点A，B分别在如图所示的抛物线y2＝4x及椭圆＋＝1的实线上运动，若AB∥x轴，N(1，0)，则△ABN周长的取值范围是(　　)
A.
B. (3，5)
C. (3，4)
D.
二、 多项选择题
7. (2021·莱州第一中学月考)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P到直线x＝2的距离为d，＝，则下列结论中错误的是(　　)
A. 点P的轨迹是以F1F2为直径的圆
B. 点P的轨迹曲线的离心率等于
C. 点P的轨迹方程为＋y2＝1
D. △PF1F2的周长为定值4
8. 若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线上的点M(－1，)关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F，P为双曲线上的动点，已知点A(3，1)，则PA＋PF的值可以为(　　)
A. B. 2 C. D. 4
三、 填空题
9. 中心在原点，一条准线方程为x＝8，离心率为的椭圆方程为____________．
10. 已知双曲线－＝1的右焦点为F，点A(9，2)，M为双曲线上的动点，则MA＋MF的最小值为________．
11. 如图，椭圆的中心为O，F是左焦点，A是左顶点，左准线l交x轴于点B，点P，Q在椭圆上，且PD⊥l于点D，QF⊥OA于点F，则椭圆的离心率为①；②；③；④；⑤.上述表示离心率的值正确的是______________．(填序号)
12. 已知椭圆＋＝1内部的一点为A，F为右焦点，M为椭圆上的动点，则MA＋MF 的最小值为________．
四、 解答题
13. 已知椭圆＋＝1与双曲线x2－＝1有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于一点P(，y)．
(1) 求m，n的值；
(2) 若双曲线上一点Q到左焦点的距离为3，求它到双曲线右准线的距离．
14. 已知A(4，0)，B(2，2)是椭圆＋＝1内的两点，M是椭圆上的动点．
(1) 求MA＋MB的最大值和最小值；
(2) 求MB＋MA的最小值．
参考答案与解析
1. C　解析：由双曲线－＝1，得a＝2，b＝3，c＝＝，则两条准线之间的距离为＝.
2. B　解析：将椭圆方程化为标准方程，得＋＝1(n>2)，左准线方程为x＝－，所以＝2，解得n＝4，则该椭圆的离心率为e＝＝.
3. D　解析：根据圆锥曲线的定义可知，当点F不在直线l上时，轨迹是抛物线；当点F在直线l上时，轨迹为过点F垂直于l的直线，但不可能为点F，因为比值存在且为1，所以MF≠0.
4. A　解析：由题意，得＋c＝3a，即a2＋c2＝3ac，所以e2－3e＋1＝0，解得e＝.
5. A　解析：方程可化为＝，即动点P(x，y)到定点(2，2)的距离与到定直线x－y＋2＝0的距离的比值为.又∈(0，1)，且点(2，2)不在直线x－y＋2＝0上，所以点P的轨迹为椭圆．
6. D　解析：由题意可得抛物线的准线方程为x＝－1，椭圆的右准线方程为x＝4，离心率为，则由圆锥曲线的统一定义可得AN＝xA＋1，BN＝2－xB，则△ABN的周长为AN＋AB＋BN＝xA＋1＋2－xB＋xB－xA＝xB＋3.联立抛物线与椭圆方程解得x＝(负值舍去)，所以xB∈，所以xB＋3∈，即△ABN周长的取值范围是.
7. ABD　解析：设P(x，y)，则PF2＝，d＝|x－2|，由＝，得＝，整理，得＋y2＝1，即点P的轨迹为椭圆且方程为＋y2＝1，故A错误，C正确；由方程得a＝，c＝1，则离心率e＝＝，故B错误；由椭圆定义知，△PF1F2周长为2a＋2c＝2＋2，故D错误．故选ABD.
8. CD　解析：由题意可知点M(－1，)在渐近线y＝－x上，所以＝，即b＝a.设F(c，0)，则结合b＝a，解得c＝2.又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，所以离心率e＝＝2，右准线为x＝＝.设点P到右准线x＝的距离为d，则根据双曲线的定义可知＝e＝2，所以PA＋PF＝PA＋×2d＝PA＋d≥3－＝.故选CD.
9. ＋＝1　解析：由题意，得e＝＝，＝8，解得a＝4，c＝2，则b2＝a2－c2＝12，所以椭圆的方程为＋＝1.
10. 　解析：由题意，得双曲线离心率e＝，由圆锥曲线统一定义知＝e(d为点M到右准线l的距离)，右准线l的方程为x＝.显然当MA⊥l，且M在双曲线的右支上时，MA＋d最小．又MA＋MF＝MA＋d，所以MA＋MF的最小值即为MA＋d的最小值为点A到l的距离为9－＝.
11. ①②③④⑤　解析：由题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则点F(－c，0)，左准线l的方程为x＝－.对于①，根据圆锥曲线的统一定义，得e＝，故①正确；对于②，因为QF⊥OA，所以点Q到准线l的距离d＝BF，所以＝＝e，故②正确；对于③，＝＝＝e，故③正确；对于④，＝＝＝＝e，故④正确；对于⑤，＝＝e，故⑤正确．综上，正确的序号为①②③④⑤.
12. 2－1　解析：设点M到右准线的距离为d.由圆锥曲线的统一定义知＝，右准线方程为x＝＝2，所以d＝MF，所以MA＋MF＝MA＋d.过点A作右准线的垂线，则垂线段长即为MA＋d的最小值，所以MA＋d≥2－1.
13. (1) 由双曲线方程可知，焦点在x轴上．
因为椭圆和双曲线有相同的焦点，
所以10－m＝1＋n.
又椭圆与双曲线交于点P，
所以＋＝1，得y2＝m，
－＝1，得y2＝n，
所以n＝8m.
联立解得m＝1，n＝8.
(2) 由(1)知，双曲线的方程为x2－＝1，
所以a＝1，b＝2，c＝3，
所以左焦点F(－3，0)，左准线的方程为x1＝－＝－，右准线的方程为x2＝＝.
因为双曲线右支上的一点到左焦点的最小距离为a＋c＝4>3，
所以点Q在双曲线的左支上．
设点Q到左准线的距离为d1，
则e＝＝3＝，
所以d1＝1，
所以点Q到右准线的距离d2＝d1＋x2－x1＝.
14．(1) 由＋＝1，知a＝5，b＝3，c＝4，
所以A(4，0)为椭圆的右焦点．
设椭圆的左焦点为F，则F(－4，0)，连接MF，BF，MA＋MF＝2a＝10，
所以MA＋MB＝10－MF＋MB.
因为|MB－MF|≤BF＝＝2，
所以－2≤MB－MF≤2，
则10－2≤MA＋MB≤10＋2，
所以MA＋MB的最大值为10＋2，最小值为10－2.
(2) 由题意，得椭圆的右准线方程为x＝.
过点M作右准线的垂线，垂足为M′，
则＝e＝，即MA＝MM′，
所以MB＋MA＝MB＋MM′.
易知，当B，M，M′三点共线，且点M位于线段BM′上时，MB＋MM′有最小值，最小值BM′＝－2＝，所以MB＋MA的最小值为.