圆与方程 题型01
【知识点】
【题型】
【题型一 求圆的方程】 2
【题型二 点与圆位置关系的判断】 3
【题型三 与圆相关的最值问题】 3
【题型四 与圆相关的对称问题】 4
【题型五 二元二次方程与圆】 5
【题型六 与圆有关的轨迹问题】 5
【题型七 直线与圆的位置关系】 6
【题型八 圆与圆的位置关系】 7
【题型九 圆的切线问题】 8
【题型十 圆的弦长问题】 9
【题型一 求圆的方程】
【总结】求圆的方程的两种方法
1 几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程
2 待定系数法：
①若已知条件与圆心 a，b 和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值
例1：【已知不共线的三点，求圆的方程】已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为________
例2：【已知两点及圆心所在直线，求圆的方程】求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程
例3：【已知直线与圆的位置关系，求圆的方程】
(1)已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，且圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为________
(2)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为__________________
【题型二 点与圆位置关系的判断】
例1：已知圆心为C（1,1）的圆经过点A（4,5），求圆C的标准方程，并判断点P（3,4），Q（-3，-4）与此圆的位置关系
P点在圆内
Q点在圆外
【题型三 与圆相关的最值问题】
例1：已知x、y满足
试求（1） 的最值
（2）的取值范围
（3）的最值
（4）求圆上一点P与A（-3,0），B（0，-3）所围成的三角形的面积的最大值与最小值
P点在圆内
Q点在圆外
【题型四 与圆相关的对称问题】
【总结】圆的对称性问题思路
1．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称
2．圆关于点对称：
（1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置
（2）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点
3．圆关于直线对称：
（1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置
（2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线
例1：（1）圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
【答案】A
【解析】设对称圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，圆心(1,2)关于直线y＝x的对称点为(2,1)，故对称圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2 ＝1.故选A.
若圆（x+1）2+（y－3）2=9上相异两点P，Q关于直线kx+2y－4=0对称，则k的值为_________．
【答案】2
【解析】已知圆圆心为（－1，3），由题设知，直线kx+2y－4=0过圆心，则k×（－1）+2×3－4=0，解得k=2
例2：圆关于直线对称的圆的方程为，则实数a的值为（ ）
A．0 B．1 C．±2 D．2
【答案】D
【解析】将圆化为标准方程为.∴圆心坐标为，半径为， ∵圆关于直线对称的圆的方程为，∴，
∴，故选D.
【题型五 二元二次方程与圆】
例1：若方程表示圆，则实数t的取值范围
设对称圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，圆心(1,2)关于直线y＝x的对称点为(2,1)，故对称圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2 ＝1.
【题型六 与圆有关的轨迹问题】
【总结】一般步骤
1、建系，设点：建立适当的坐标系，设曲线上任一点坐标
2、写集合：写出满足复合条件P的点M的集合
3、列式：用坐标表示，列出方程
4、化简：化方程为最简形式
5、证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点
例1： 已知过原点O的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B:
(1)求圆C1的圆心坐标
(2)求线段AB的中点M的轨迹方程
(x－2)2＋(y－1)2 ＝1.
例2：已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程:
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程
(x－2)2＋(y－1)2 ＝1.
【题型七 直线与圆的位置关系】
【总结】判断直线与圆的位置关系的方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断
(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断
①如果Δ＜0，那么直线与圆相离
②如果Δ＝0，那么直线与圆相切
③如果Δ＞0，那么直线与圆相交
例1：
（1）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定，与m的取值有关
(2)（2018合肥模拟）若圆x2＋y2＝r2(r>0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是( )
A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1)
C．(0，－1) D．(0，＋1)
【答案】 A A
【解析】（1） 法一：由消去y，
整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆相交．
法二：由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝<1<，故直线l与圆相交．
法三：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．
（2）
计算得圆心到直线l的距离为＝>1，如图．直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1.故选A.
例2：若直线x＋my＝2＋m与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，则实数m的取值范围为( )
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
例3：已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1，2)的直线l与圆C相交于A，B两点．当∠ACB最小时，直线l的方程为2x－y＝0，则a＝________
【题型八 圆与圆的位置关系】
【总结】圆与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由两圆的圆心距d与半径R，r(R＞r)的关系来判断．
d＞R＋r 外离
d＝R＋r 外切
R－r＜d＜R＋r 相交
d＝R－r 内切
d＜R－r 内含
(2)代数法：设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.
对于方程组
如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；
如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；
如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．
[注意] 判断圆与圆的位置关系时，一般不用代数法，因为利用代数法不能判断内切与外切，内含与外离；利用几何法的关键是判断圆心距|C1C2|与R＋r，R－r的关系．
例1：已知两圆x2＋y2－2x－6y＋1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
【题型九 圆的切线问题】
【总结】圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k；
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
[注意] 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，然后求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条(若通过上述方法只求出一个k，则说明另一条切线的斜率一定不存在，此时另一条切线的方程为x＝x0)．
例1： 已知点P(＋1，2－)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
例2：一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
例3：已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________．
【题型十 圆的弦长问题】
【总结】求直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2；
(2)代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝|x1－x2|.
例1:
(1)已知直线l：x＋y－5＝0与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)相交所得的弦长为2，则圆C的半径r＝( )
A． B．2
C．2 D．4
(2)(2020·豫西南五校3月联考)已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，直线l1：y＝x，l2：y＝kx－1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2，则k的值为( )
A． B．1
C． D．圆与方程 题型01
【知识点】
【题型】
【题型一 求圆的方程】 2
【题型二 点与圆位置关系的判断】 3
【题型三 与圆相关的最值问题】 3
【题型四 与圆相关的对称问题】 4
【题型五 二元二次方程与圆】 5
【题型六 与圆有关的轨迹问题】 5
【题型七 直线与圆的位置关系】 6
【题型八 圆与圆的位置关系】 7
【题型九 圆的切线问题】 8
【题型十 圆的弦长问题】 9
【题型一 求圆的方程】
【总结】求圆的方程的两种方法
1 几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程
2 待定系数法：
①若已知条件与圆心 a，b 和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值
例1：【已知不共线的三点，求圆的方程】已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为________
例2：【已知两点及圆心所在直线，求圆的方程】求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程
例3：【已知直线与圆的位置关系，求圆的方程】
(1)已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，且圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为________
(2)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为__________________
【题型二 点与圆位置关系的判断】
例1：已知圆心为C（1,1）的圆经过点A（4,5），求圆C的标准方程，并判断点P（3,4），Q（-3，-4）与此圆的位置关系
【题型三 与圆相关的最值问题】
例1：已知x、y满足
试求（1） 的最值
（2）的取值范围
（3）的最值
（4）求圆上一点P与A（-3,0），B（0，-3）所围成的三角形的面积的最大值与最小值
【题型四 与圆相关的对称问题】
【总结】圆的对称性问题思路
1．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称
2．圆关于点对称：
（1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置
（2）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点
3．圆关于直线对称：
（1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置
（2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线
例1：（1）圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
若圆（x+1）2+（y－3）2=9上相异两点P，Q关于直线kx+2y－4=0对称，则k的值为_________．
例2：圆关于直线对称的圆的方程为，则实数a的值为（ ）
A．0 B．1 C．±2 D．2
【题型五 二元二次方程与圆】
例1：若方程表示圆，则实数t的取值范围
【题型六 与圆有关的轨迹问题】
【总结】一般步骤
1、建系，设点：建立适当的坐标系，设曲线上任一点坐标
2、写集合：写出满足复合条件P的点M的集合
3、列式：用坐标表示，列出方程
4、化简：化方程为最简形式
5、证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点
例1： 已知过原点O的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B:
(1)求圆C1的圆心坐标
(2)求线段AB的中点M的轨迹方程
例2：已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程:
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程
【题型七 直线与圆的位置关系】
【总结】判断直线与圆的位置关系的方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断
(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断
①如果Δ＜0，那么直线与圆相离
②如果Δ＝0，那么直线与圆相切
③如果Δ＞0，那么直线与圆相交
例1：
（1）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定，与m的取值有关
(2)（2018合肥模拟）若圆x2＋y2＝r2(r>0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是( )
A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1)
C．(0，－1) D．(0，＋1)
例2：若直线x＋my＝2＋m与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，则实数m的取值范围为( )
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
例3：已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1，2)的直线l与圆C相交于A，B两点．当∠ACB最小时，直线l的方程为2x－y＝0，则a＝________
【题型八 圆与圆的位置关系】
【总结】圆与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由两圆的圆心距d与半径R，r(R＞r)的关系来判断．
d＞R＋r 外离
d＝R＋r 外切
R－r＜d＜R＋r 相交
d＝R－r 内切
d＜R－r 内含
(2)代数法：设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.
对于方程组
如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；
如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；
如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．
[注意] 判断圆与圆的位置关系时，一般不用代数法，因为利用代数法不能判断内切与外切，内含与外离；利用几何法的关键是判断圆心距|C1C2|与R＋r，R－r的关系．
例1：已知两圆x2＋y2－2x－6y＋1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
【题型九 圆的切线问题】
【总结】圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k；
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
[注意] 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，然后求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条(若通过上述方法只求出一个k，则说明另一条切线的斜率一定不存在，此时另一条切线的方程为x＝x0)．
例1： 已知点P(＋1，2－)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
例2：一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
例3：已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________．
【题型十 圆的弦长问题】
【总结】求直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2；
(2)代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝|x1－x2|.
例1:
(1)已知直线l：x＋y－5＝0与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)相交所得的弦长为2，则圆C的半径r＝( )
A． B．2
C．2 D．4
(2)(2020·豫西南五校3月联考)已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，直线l1：y＝x，l2：y＝kx－1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2，则k的值为( )
A． B．1
C． D．
