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4.4.1 对数函数的概念
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 对数函数的概念
一般地，把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
注意点：
(1)底数与指数函数的范围相同，即a>0，且a≠1.
(2)自变量x在真数位置上，只能是一个x且x>0.
(3)在解析式y＝logax中，logax的系数必须为1，真数必须是x.
(4)对于函数y＝2log2x等这一类的函数，根据对数的运算法则，它可以化为对数函数，因为它与对数函数有相同的定义域和对应关系，故函数相等．
知识点二 特殊的对数函数
常用对数函数 以10为底的对数函数y＝lg x
自然对数函数 以无理数e为底的对数函数y＝ln x
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.下列函数是对数函数的是( )
A.y＝loga(2x) B.y＝log22x C.y＝log2x＋1 D.y＝lg x
答案：D
解析：选项A、B、C中的函数都不具有“y＝logax(a＞0且a≠1)”的形式，只有D选项符合.
2.函数y＝log(a－2)(6－a)中，实数a的取值范围是( )
A.(－∞，6) B.(2,6) C. (2,3)∪(3,6) D.(2，＋∞)
答案：C
解析：由得2
3.已知函数f(x)＝的定义域为A，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为B，则A∩B等于( )
A. (－1，＋∞) B. (－∞，1) C. (－1,1) D.
答案：C
解析：∵A＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，B＝{x|1＋x>0}＝{x|x>－1}，∴A∩B＝{x|－14.下列函数相等的是( )
A.y＝log3x2与y＝2log3x B.y＝lg 10x与y＝10lg x
C.y＝log3x2与y＝2log3|x| D.y＝lg x与y＝ln x
答案：C
解析：由函数的三要素可知，只有C成立．
5.函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是( )
A.(－，＋∞) B.(－∞，－) C.(－，) D.(－，1)
答案：D
解析：由可得－＜x＜1.
6.已知函数f(x)＝则f[f()]等于( )
A.－ B. C.－9 D.9
答案：B
解析：∵>0，∴f()＝log2＝－2，∴f[f()]＝f(－2)＝3－2＝.
7.已知对数函数的图象过点M(9，－2)，则此对数函数的解析式为( )
A.y＝log2x B.y＝log3x C. D.
答案：C
解析：设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，∵对数函数的图象过点M(9，－2)，∴loga9＝－2，
即a - 2＝9，解得a＝.∴f(x)＝.
8.已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若图象过点(6,3)，则f(2)的值为( )
A.－2 B.2 C. D.－
答案：B
解析：代入(6,3)，得3＝loga(6＋2)＝loga8，即a3＝8，∴a＝2.∴f(x)＝log2(x＋2)，∴f(2)＝log2(2＋2)＝2.
9.“每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之一，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是( )
A．y＝log1.01x B．y＝log1.001x C．y＝log0.99x D．y＝log0.999x
答案：B
解析：由题意得x＝(1＋1‰)y＝1.001y，化为对数函数得y＝log1.001x.
10.(多选题)已知函数f(x)＝log3x，则方程f 2(x)＝2－log9(3x)的解可能为( )
A．x＝1 B．x＝3 C．x＝－ D．x＝
答案：BD
解析：由已知得(log3x)2＝2－log9(3x)，∴(log3x)2＝2－log3(3x)＝2－(log33＋log3x)，即(log3x)2＋log3x－＝0，令t＝log3x，则方程可化为t2＋t－＝0，解得t＝1或t＝－，∴x＝3或x＝，故选BD.
二、填空题
11.已知下列函数：①y＝log(－x)(x＜0)；②y＝2log4(x－1)(x＞1)；③y＝ln x(x＞0)；④y＝log(a2＋a)x(x＞0，a是常数)．其中为对数函数的是________(只填序号)．
答案：③
解析：由对数函数的定义知，①②不是对数函数；对于③，ln x的系数为1，自变量是x，故③是对数函数；对于④，底数a2＋a＝2－，当a＝－时，底数小于0，故④不是对数函数．故填③.
12.已知f(x)为对数函数，f()＝－2，则f()＝________.
答案：
解析：设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则loga＝－2，∴＝，即a＝，∴f(x)＝logx，
∴f()＝log＝log2()2＝log22＝.
13.求函数y＝log(x＋1)(16－4x)的定义域为________.
答案：(－1,0)∪(0,2)
解析：由得∴∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,2).
14.若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.
答案：1
解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.又底数a＋1>0，且a＋1≠1，所以a＝1.
15.函数f(x)＝lg的定义域为R，则实数k的取值范围是________．
答案：[0,3)
解析：依题意，2kx2－kx＋>0的解集为R，即不等式2kx2－kx＋>0恒成立，当k＝0时，>0恒成立，∴k＝0满足条件．当k≠0时，则解得015.已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)．当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围是________．
答案：(0,1)∪
解析：∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a.∵当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．∴3－2a>0，∴a<.又a>0且a≠1，∴0三、解答题
16.求下列函数的定义域：
(1)y＝log5(1－x)；(2)y＝log(3x－1)5；(3)y＝；(4)y＝；(5)y＝＋ln(x＋1)．
解：(1)要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x<1}．
(2)要使函数式有意义，需解得x>，且x≠，所以函数y＝log(3x－1)5的定义域是.
(3)要使函数式有意义，需解得x<4，且x≠3，所以函数y＝的定义域是{x|x<4，且x≠3}．
(4)要使函数有意义，需即即－3(5)要使函数有意义，需即∴－117.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
解：(1)由题意知y＝
(2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，
即log5(x－9)＝2，∴x－9＝52，解得x＝34.
所以老江的销售利润是34万元．
18．已知函数f(x)＝lg(x＋1)－lg(1－x)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性．
解：(1)依题意有解得－1故函数f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)由(1)知函数的定义域为(－1,1)，关于原点对称．
因为f(－x)＝lg(1－x)－lg(1＋x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
19.已知函数f(x)＝log2.(1)若定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若值域为R，求实数a的取值范围．
解：(1)要使f(x)的定义域为R，则对任意实数x都有t＝ax2＋(a－1)x＋>0恒成立．
当a＝0时，不合题意；当a≠0时，由二次函数图象可知
解得故所求a的取值范围为.
(2)要使f(x)的值域为R，则有t＝ax2＋(a－1)x＋的值域必须包含(0，＋∞)．
当a＝0时，显然成立；
当a≠0时，由二次函数图象可知，其二次函数图象必须与x轴相交且开口向上，
∴即0故所求a的取值范围为∪.
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4.4.1 对数函数的概念
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 对数函数的概念
一般地，把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
注意点：
(1)底数与指数函数的范围相同，即a>0，且a≠1.
(2)自变量x在真数位置上，只能是一个x且x>0.
(3)在解析式y＝logax中，logax的系数必须为1，真数必须是x.
(4)对于函数y＝2log2x等这一类的函数，根据对数的运算法则，它可以化为对数函数，因为它与对数函数有相同的定义域和对应关系，故函数相等．
知识点二 特殊的对数函数
常用对数函数 以10为底的对数函数y＝lg x
自然对数函数 以无理数e为底的对数函数y＝ln x
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.下列函数是对数函数的是( )
A.y＝loga(2x) B.y＝log22x C.y＝log2x＋1 D.y＝lg x
2.函数y＝log(a－2)(6－a)中，实数a的取值范围是( )
A.(－∞，6) B.(2,6) C. (2,3)∪(3,6) D.(2，＋∞)
3.已知函数f(x)＝的定义域为A，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为B，则A∩B等于( )
A. (－1，＋∞) B. (－∞，1) C. (－1,1) D.
4.下列函数相等的是( )
A.y＝log3x2与y＝2log3x B.y＝lg 10x与y＝10lg x
C.y＝log3x2与y＝2log3|x| D.y＝lg x与y＝ln x
5.函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是( )
A.(－，＋∞) B.(－∞，－) C.(－，) D.(－，1)
6.已知函数f(x)＝则f[f()]等于( )
A.－ B. C.－9 D.9
7.已知对数函数的图象过点M(9，－2)，则此对数函数的解析式为( )
A.y＝log2x B.y＝log3x C. D.
8.已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若图象过点(6,3)，则f(2)的值为( )
A.－2 B.2 C. D.－
9.“每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之一，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是( )
A．y＝log1.01x B．y＝log1.001x C．y＝log0.99x D．y＝log0.999x
10.(多选题)已知函数f(x)＝log3x，则方程f 2(x)＝2－log9(3x)的解可能为( )
A．x＝1 B．x＝3 C．x＝－ D．x＝
二、填空题
11.已知下列函数：①y＝log(－x)(x＜0)；②y＝2log4(x－1)(x＞1)；③y＝ln x(x＞0)；④y＝log(a2＋a)x(x＞0，a是常数)．其中为对数函数的是________(只填序号)．
12.已知f(x)为对数函数，f()＝－2，则f()＝________.
13.求函数y＝log(x＋1)(16－4x)的定义域为________.
14.若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.
15.函数f(x)＝lg的定义域为R，则实数k的取值范围是________．
15.已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)．当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围是________．
三、解答题
16.求下列函数的定义域：
(1)y＝log5(1－x)；(2)y＝log(3x－1)5；(3)y＝；(4)y＝；(5)y＝＋ln(x＋1)．
17.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
18．已知函数f(x)＝lg(x＋1)－lg(1－x)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性．
19.已知函数f(x)＝log2.(1)若定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若值域为R，求实数a的取值范围．
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