2022-2023学年人教版数学九年级上册 圆章节 堂堂练 单元测试(共23份打包) （含答案）

24.1圆的有关性质—2022-2023学年人教版数学九年级上册堂堂练
1.下列说法中错误的是( )
A.圆有无数条直径 B.连接圆上任意两点之间的线段叫弦
C.过圆心的线段是直径 D.能够重合的圆叫做等圆
2.下面四个选项中的角为圆心角的是( )
A. B. C. D.
3.如图，AB为的直径，弦于点E，已知，，则的直径为( )
A.8 B.10 C.15 D.20
4.如图，四边形ABCD内接于，若，则的大小为( )
A.54° B.62° C.72° D.82°
5.如图，在中，AB是直径，CD是弦，，下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
6.如图，BC为的弦，交于点A，，则___________.
7.如图，AB是的直径，C，D为半圆的三等分点，于点E，则的度数为________.
8.如图，在中，，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使，连接FB，FC.
（1）求证四边形ABFC是菱形.
（2）若，，求半圆和菱形ABFC的面积.
答案以及解析
1.答案：C
解析：A.圆有无数条直径，故本选项说法正确；B.连接圆上任意两点的线段叫弦，故本选项说法正确；C.过圆心的弦是直径，故本选项说法错误；D.能够重合的圆是等圆，故本选项说法正确.
2.答案：D
解析：顶点在圆心的角叫做圆心角.故选D.
3.答案：D
解析：如图，连接OC.AB为的直径，弦于点E, .设的半径为r，则.，即，解得，的直径为.故选D.
4.答案：C
解析：四边形ABCD内接于，，，故选C.
5.答案：A
解析：由已知条件无法推出弦AC与半径OD相等，故选项A错误.是的直径，CD是弦，且，是CD的垂直平分线，，，.又，，，，故选项B，C，D正确.故选A.
6.答案：35°
解析：，（垂径定理），（等弧所对的圆周角是圆心角的一半），又，.
7.答案：30°
解析：连接OC.AB是直径，，，，是等边三角形，，，，.
8.答案：（1）AB是直径，，，
，，
又，四边形ABFC是平行四边形，
又，四边形ABFC是菱形.
（2）连接BD，设.
AB是直径，，
，
，
解得或（舍去），
，，
，.2022-2023学年度人教版九年级数学章节培优训练试卷
24.1.1　圆
一、选择题
1. 小明在半径为5的圆中测量弦AB的长度,下列测量结果中一定错误的是(　　)
A.4　 　B.5　 　C.10　 　D.11
2. 下列说法中,正确的是(　　)
A.两个半圆是等弧　　　　 B.同圆中优弧与半圆的差必是劣弧
C.长度相等的弧是等弧　　　　 D.同圆中优弧与劣弧的差必是优弧
3.如图所示,点M是☉O上的任意一点,下列结论:
①以M为端点的弦只有一条;②以M为端点的半径只有一条;③以M为端点的直径只有一条;④以M为端点的弧只有一条.
其中,正确的有(　　)
A.1个　　 B.2个　 　C.3个 　　D.4个
4. 如图,OA是☉O的半径,B为OA上一点(且不与点O、A重合),过点B作OA的垂线交☉O于点C.以OB、BC为边作矩形OBCD,连接BD.若CD=6,BC=8,则AB的长为(　　)
A.6　 　B.5 　C.4　 　D.2
5.如图,BC是☉O的直径,AB是☉O的弦,若∠AOC=60°,则∠OAB的度数是(　　)
A.20°　　　　B.25°　　 C.30°　　　　D.35°
6.下列说法:①直径是最长的弦;②弦是直径;③半径相等的两个半圆是等弧;④长度相等的两条弧是等弧;⑤半径相等的两个圆是等圆,其中说法正确的有(　　)
A.1个　　　　B.2个　　 C.3个　　　　D.4个
7.如图,AB,CD是☉O的两条相互垂直的直径,点E是☉O上的动点,过点E作EF⊥AB于F,EG⊥CD于G,连接FG,FG的中点为P.若点E在圆周上运动一周,下列结论错误的是(　　)
A.FG的长不变 B.点P到点O的距离不变
C.点P到点E的距离不变 D.点P到AB、CD的距离不变
8.如图,AB是☉O的直径,将一直角三角尺的直角顶点放在点O处,两直角边分别与☉O交于E,F两点,连接AF,BE交于点G,则∠AGE的度数为(　　)
A.30°　　　　B.40°　　 C.45°　　　　D.60°
二、填空题
9.如图,若点O为☉O的圆心,则线段　　　　　　　是☉O的半径;线段　　　　　　　是☉O的弦,其中最长的弦是　　　　;　　　　　　　　　是劣弧;　　　　　　是半圆.
10.如图,在Rt△ABC中,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,连接CD,∠BCD=40°,则∠A=　　　　.
11.如图,AC为☉O的直径,点B在圆上,OD⊥AC交☉O于点D,连接BD,∠BDO=15°,则∠ACB=　　　　.
12.如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB、CD的延长线交于点E,已知AB=2DE,若△COD为直角三角形,则∠E的度数为　　　　°.
三、解答题
13.如图,线段AB过圆心O,点A,B,C,D均在☉O上,请指出哪些是直径、半径、弦,并把它们表示出来.
14.已知四边形ABCD为菱形,点E、F、G、H分别为各边的中点,判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上,如果在同一个圆上,找到圆心,并证明四点共圆;如果不在,说明理由.
答案全解全析
一、选择题
1.答案　D　∵半径为5的圆的直径为10,∴在半径为5的圆中测量弦AB的长度,AB的取值范围是02.答案　B　选项A,两个半圆的半径不一定相等,故A中说法错误;选项B,同圆中优弧与半圆的差必是劣弧,故B中说法正确;选项C,长度相等的弧半径不一定相等,所以不一定是等弧,故C中说法错误;选项D,同圆中优弧与劣弧的差可能是劣弧,故D中说法错误.故选B.
3.答案　B　以M为端点的弦有无数条,所以①中结论错误;②正确;③正确;以M为端点的弧有无数条,所以④中结论错误.故选B.
4.答案　C　如图,连接OC.
∵四边形OBCD是矩形,
∴∠OBC=90°,OB=CD=6,BC=8,
∴OA=OC==10,∴AB=OA-OB=4.故选C.
5. 答案　C　∵∠AOC=60°,∴∠BOA=180°-60°=120°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠B==30°.
6. 答案　C　①直径是最长的弦,正确;②过圆心的弦才是直径,故原说法错误;③半径相等的两个半圆是等弧,正确;④长度相等的两条弧不一定是等弧,故原说法错误;⑤半径相等的两个圆是等圆,正确.
7. 答案　D　由题意知,四边形OFEG是矩形,连接OE,则OE=FG,点P为OE与FG的交点,OP=EP=FP=GP.在点E运动的过程中,OE的长不变,则FG的长不变,OP、EP的长不变;在点E运动的过程中,点P到AB、CD的距离是变化的.
8. 答案　C　由题意知,OA=OF=OB=OE,
∴∠OAF=∠AFO=∠BOF,∠OBE=∠BEO=∠AOE.
∴∠AGE=∠OAF+∠OBE=(∠BOF+∠AOE)
=(180°-∠EOF)=×(180°-90°)=45°
.故选C.
二、填空题
9.答案　OA、OB、OC;AC、AB、BC;AC;、、、、;、
解析　点O为☉O的圆心,则线段OA、OB、OC是圆O的半径;线段AC、AB、BC是圆O的弦,其中最长的弦是AC;、、、、是劣弧;、是半圆.
10.答案　20°
解析　∵CB=CD,∴∠B=∠CDB.
∵∠B+∠CDB+∠BCD=180°,∠BCD=40°,
∴∠B=×(180°-∠BCD)=×(180°-40°)=70°.
∵∠ACB=90°,
∴∠A=90°-∠B=20°.
11. 答案　60°
解析　如图,连接OB,
∵∠BDO=15°,OB=OD,
∴∠OBD=∠BDO=15°,
∴∠BOD=150°.
∵OD⊥AC,
∴∠DOC=90°,
∴∠BOC=150°-90°=60°,
又OB=OC,
∴△BOC是等边三角形,∴∠ACB=60°.
12. 答案　22.5
解析　∵AB是☉O的直径,
∴AB=2DO,
∵AB=2DE,∴DO=DE,
∴∠DOE=∠E.
∵△COD为直角三角形,OC=OD,
∴△COD为等腰直角三角形,
∴∠CDO=45°,
∵∠CDO=∠DOE+∠E,
∴∠E=∠CDO=22.5°.
三、解答题
13.解析　直径:AB.
半径:OA、OB、OC.
弦:CD、AB.
14.解析　如图,连接AC,BD相交于点O,连接OE,OF,OG,OH,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD=CD=BC,AC⊥BD,
∵点E是AB的中点,∴OE=AB.
同理:OF=BC,OG=CD,OH=AD,
∴OE=OF=OG=OH,
∴E、F、G、H四点在以AC,BD的交点O为圆心的同一个圆上.24.1.1 圆（精选卷）-人教版九年级上册
一．选择题
1．如图，在半圆所对应圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C1，这4个正三角形的周长和为C2，则C1和C2的大小关系是（　　）
A．C1＞C2 B．C1＜C2 C．C1＝C2 D．不能确定
2．如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．10
3．如图，将大小两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2恰好在大量角器的圆周上．设它们圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为75°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（　　）
A．75° B．60° C．45° D．30°
4．如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连接BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
．在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，如图所示．若AB＝4，AC＝2，S1﹣S2＝，则S3﹣S4的值是（　　）
A． B． C． D．
．如图是一个由四个同心圆构成的靶子示意图，点O为圆心，且OA＝AB＝BC＝CD＝5，那么周长是接近100的圆是（　　）
A．OA为半径的圆 B．OB为半径的圆
C．OC为半径的圆 D．OD为半径的圆
．中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了（　　）
A．一倍 B．二倍 C．三倍 D．四倍
．下列说法中，不正确的是（　　）
A．过圆心的弦是圆的直径
B．等弧的长度一定相等
C．周长相等的两个圆是等圆
D．直径是弦，半圆不是弧
．下列说法：①弦是直线；②圆的直径被该圆的圆心平分；③过圆内一点P的直径仅有一条；④弧是圆的一部分．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
．我们知道沿直线前进的自行车车轮上的点既随着自行车做向前的直线运动，又以车轴为圆心做圆周运动，如果我们仔细观察这个点的运动轨迹，会发现这个点在我们眼前划出了一道道优美的弧线．其实，很早以前人们就对沿直线前进的马车车轮上的点的轨迹产生了浓厚的研究兴趣，有人认为这个轨迹是一段段周而复始的圆弧，也有人认为这个轨迹是一段段的抛物线．你认为呢？摆线（Cycloid）：当一个圆沿一条定直线做无滑动的滚动时，动圆圆周上一个定点的轨迹叫做摆线．定直线称为基线，动圆称为母圆，该定点称为摆点：
现做一个小实验，取两枚相同的硬币并排排列，如果我们让右侧的硬币绕左侧硬币做无滑动的滚动，那么：
（1）当右侧硬币上接触点A的运动轨迹大致是什么形状？
（2）当右侧硬币转到左侧时，硬币面上的图案向还是向下？
（3）当右侧硬币转回原地时，硬币自身转动了几圈？（　　）
A．一条围绕于硬币的封闭曲线；向上；1圈
B．一条摆线；向上；1圈
C．一条围绕于硬币的封闭曲线；向上；2圈
D．一条摆线；向下；2圈
二．填空题
．如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为　 　．（只考虑小于90°的角度）
．已知，圆A的周长是圆B的周长的4倍，那么圆A的面积是圆B的面积的　 　倍．
．如图，C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，且CO⊥AB，在OC两侧分别作矩形OGHI和正方形ODEF，且点I，F在OC上，点H，E在半圆上，可证：IG＝FD．小云发现连接图中已知点得到两条线段，便可证明IG＝FD．
请回答：小云所作的两条线段分别是　 　和　 　；
证明IG＝FD的依据是矩形的对角线相等，　 　和等量代换．
．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝74°，则∠E＝　 　．
．如图，一个周长为20厘米的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一个直径上．则小圆的周长之和为　 　厘米．
三．解答题
．如图，墙AB与墙AC垂直，在地面的P处有一木柱，系着一匹马，已知系马的绳子的长度为4m，试在图中画出马的活动区域．
．若Rt△ABC的三个顶点A、B、C在⊙O上，求证：Rt△ABC斜边AB的中点是⊙O的圆心．
．如图所示，一个半径为3cm，弧长为πcm的扇形，让弧在水平面上滚动，探究圆心O运动的路径特征及运动的距离．
．（1）同一平面内到已知点P的距离为3cm的所有点组成的图形是　 　．
（2）在⊙O中画出一条直径AB和一条不过圆心O的弦CD，试猜测AB与CD的大小，你能说明其中的道理吗？
．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，求的度数．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：设半圆的直径为a，则半圆周长C1为：aπ+a，
4个正三角形的周长和C2为：3a，
∵aπ+a＜3a，
∴C1＜C2
故选：B．
2．【解答】解：因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所以小圆在每一边上滚动正好一周，在五条边上共滚动了5周．由于每次小圆从五边形的一边滚动到另一边时，都会翻转72°，所以小圆在五个角处共滚动一周．因此，总共是滚动了6周．
故选：C．
3．【解答】解：设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB＝90°，∠ABP＝75°，因而∠PAB＝90°﹣75°＝15°，在大量角器中弧PB所对的圆心角是30°，因而P在大量角器上对应的角的度数为30°．
故选：D．
4．【解答】解：如图，连接OC．
∵四边形OBCD是矩形，
∴∠OBC＝90°，BD＝OC＝OA＝10，
∴OB＝＝＝6，
∴AB＝OA﹣OB＝4，
故选：C．
．【解答】解：∵AB＝4，AC＝2，
∴S1+S3＝×π×（AB2）＝×π×4＝2π，S2+S4＝×π×12＝π，
∵S1﹣S2＝，
∴（S1+S3）﹣（S2+S4）＝（S1﹣S2）+（S3﹣S4）＝π+（S3﹣S4）＝2π﹣
∴S3﹣S4＝，
故选：D．
．【解答】解：根据圆的周长公式，得若2πR＝100，则R≈16根据题意中的数据，OC最接近．
故选：C．
．【解答】解：设圆的原来的半径是R，增加1倍，半径即是2R，
则增加的面积是4πR2﹣πR2＝3πR2，即增加了3倍．
故选：C．
．【解答】解：A．直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段，故正确；
B．能重合的弧叫等弧，长度相等，故正确；
C．周长相等的圆其半径也相等，为等圆，故正确．
D．直径是弦，半圆是弧，故错误．
故选：D．
．【解答】解：①弦是直线，错误，弦是线段．
②圆的直径被该圆的圆心平分，正确．
③过圆内一点P的直径仅有一条，错误，点P是圆心时，直径有无数条．
④弧是圆的一部分，正确．
故选：B．
．【解答】解：（1）根据题意中的表述，可知其运动轨迹是一条围绕于硬币的封闭曲线；
（2）当右侧硬币转到左侧时，硬币自身转动了1圈，故硬币面上的图案向上；
（3）分析可得：当右侧硬币转回原地时，硬币自身转动2圈．
故选：C．
二．填空题
．【解答】解：设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB＝90°，∠PAB＝20°，因而∠PBA＝90°﹣20°＝70°，在小量角器所求弧所对的圆心角为70°，因而P在小量角器上对应的度数为70°．
故答案为：70°；
．【解答】解：设圆A的半径为a，圆B的半径为b．
由题意2πa＝4×2πb，
∴a＝4b，
∴⊙A的面积：⊙B的面积＝π （4b）2：πb2＝16：1．
故答案为16
．【解答】解：连接OH、OE，如图所示：
∵在矩形OGHI和正方形ODEF中，IG＝OH，OE＝FD，
∵OH＝OE，
∴IG＝FD；
故答案为：OH、OE，同圆的半径相等．
．【解答】解：连接OD，如图，
∵OB＝DE，OB＝OD，
∴DO＝DE，
∴∠E＝∠DOE，
∵∠1＝∠DOE+∠E，
∴∠1＝2∠E，
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠1，
∴∠C＝2∠E，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，
∴∠E＝∠AOC＝×74°＝（）°．
故答案是：（）°．
．【解答】解：设大圆半径为R，小圆半径分别为r1，r2，…，rn，
∵小圆的圆心都在大圆的一个直径上，
∴2r1+2r2+…+2rn＝2R，
∴2πr1+2πr2+…+2πrn＝2πR，
而2πR＝20cm，
∴2πr1+2πr2+…+2πrn＝20cm．
故答案为20．
三．解答题
．【解答】解：作法：以p为圆心，以4米长为半径画一条与两墙均相交的弧．
．【解答】证明：∵△ABC是直角三角形，AB是斜边
∴取AB中点M，则MC＝MA＝MB
又∵OA＝OB＝OC
∴O是AB中点
故M与O重合，即AB的中点是⊙O的圆心．
．【解答】解：由题意得，弧AB的长是πcm，圆心O运动路径是一条线段，到平面的距离为3cm，路程为πcm．
．【解答】解：（1）由圆的定义得，同一平面内到已知点P的距离为3cm的所有点组成的图形是以点P为圆心，3cm为半径的圆．
（2）结论：AB＞CD．理由如下：
如图所示，连接OC，OD，则AB＝OA+OB＝OC+OD
∵在△OCD中，OC+OD＞CD
∴AB＞CD．
．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°
∴∠A＝90°﹣∠B＝65度．
∵CA＝CD
∴∠CDA＝∠CAD＝65°
∴∠ACD＝50°
即弧AD的度数是50度．24.1.2 垂直于弦的直径（附解析）
一、单选题(共10个小题)
1．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D ，且AB=6，OD=4，则DC的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．5
2．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　 　）
A．（4﹣）米 B．2米 C．3米 D．（4+）米
3．AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（　 　）
A．1或7 B．7 C．1 D．3或4
4．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm
A．5 B．4 C． D．
5．如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．下列说法正确的是（　　 ）
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
②平分弦的直径平分弦所对的弧
③垂直于弦的直线必过圆心
④垂直于弦的直径平分弦所对的弧
A．②③ B．①③ C．②④ D．①④
7．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（　 　）
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
8．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度CD为1寸，锯长AB为1尺（10寸），问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为（ ）
A．22寸 B．24寸 C．26寸 D．28寸
9．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（　　 ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
10．已知⊙O的半径为13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则四边形ACDB的面积是（　 　）
A．119 B．289 C．77或119 D．119或289
二、填空题(共10个小题)
11．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，AB=6，则⊙O半径为_______．
12．如图，已知⊙O 中，半径 OC 垂直于弦 AB，垂足为 D， 若 ，则 AB 的长是__________．
13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD =__________．
14．如图，是⊙O的弦，长为8，是⊙O上一个动点（不与、重合），过点作于点，于点，则的长为________．
15．如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是______．
16．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_______．
17．如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为60cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为_____cm．
18．已知⊙O的半径为5，为圆内的一点，，则过点P的弦长的最小值是________．
19．在直径为10m的的圆柱型油槽内注入一些油后，截面如图所示，液面宽AB=6m，如果继续向油槽内注油，使液面宽为8m，那么液面上升了__________m．
20．如图，在中，是弧的中点，作点关于弦的对称点，连接并延长交于点，过点作于点，若，则等于_________度．
三、解答题(共3个小题)
21．已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，求⊙O的半径长．
22．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
(1)求证：AC＝BD；
(2)连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．
23．如图，在半径为2的扇形中，，点C是弧上的一个动点（不与点A、B重合），，垂足分别为D、E．
(1)当时，求线段的长；
(2)在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
(3)在中是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数，如果不存在，请说明理由．
24.1.2 垂直于弦的直径解析
1．
【答案】A
【详解】解：如图，连接AO，
∵半径与点D，
∴，
∵，
∴根据勾股定理，，
∴，
∴．
故选A．
2．
【答案】A
【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，
连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD=AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD===，
∴CD=OC﹣OD=4﹣，
即点到弦所在直线的距离是（4﹣）米，
故选：A．
3．
【答案】A
【详解】解：①当AB、CD在圆心两侧时；
过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：
∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，
∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上，
∴EF为AB、CD之间的距离
在Rt△OEC中，由勾股定理可得：
OE2＝OC2﹣CE2
∴OE3，
在Rt△OFA中，由勾股定理可得：
OF2＝OA2﹣AF2
∴OF4，
∴EF＝OE+OF＝3+4＝7，
AB与CD的距离为7；
②当AB、CD在圆心同侧时；
同①可得：OE＝3，OF＝4；
则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1；
综上所述：AB与CD间的距离为1或7．
故选：A.
4．
【答案】D
【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点，
C点是AB的中点，即AC=BC==6；
并且OC⊥AB，在中，
由勾股定理得，
所以；AO=8cm，
所以，
所以OC=
故选：
5．
【答案】A
【详解】解：过O作OD⊥AB于D，连接OA，
∵OA=10，AB=16，
∴AD=AB=×16=8，
∴OD==6，
∴OD≤OM≤OA，即6≤OM≤10．
∴OM不可能为5，
故选：A．
6．
【答案】D
【详解】根据垂径定理及其推论进行判断．
【解答】解：根据垂径定理，
①正确；
②错误．平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧；
③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；
④正确．
故选：D．
7．
【答案】A
【详解】解：第一块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
8．
【答案】C
【详解】解：设圆材的圆心为O，延长CD，交⊙O于点E，连接OA，如图所示：
由题意知：CE过点O，且，
则．
设圆形木材半径为r，
则，．
∵，
∴，
解得 ，
即⊙O的半径为13寸，
∴⊙O的直径为26寸．
故选：C．
9．
【答案】C
【详解】解：∵OD⊥BC，
∴CD＝BD，
∵OA＝OB，AC＝4
∴OD＝AC＝2．
故选C．
10．
【答案】D
【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，
∵AB=24cm，CD=10cm，
∴AE=12cm，CF=5cm，
∴OA=OC=13cm，
∴EO=5cm，OF=12cm，
∴EF=12-5=7cm；
∴四边形ACDB的面积
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，
∵AB=24cm，CD=10cm，
∴.AE=12cm，CF=5cm，
∵OA=OC=13cm，
∴EO=5cm，OF=12cm，
∴EF=OF+OE=17cm.
∴四边形ACDB的面积
∴四边形ACDB的面积为119或289.
故选D.
11．
【答案】
【详解】解：∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，AB=6，
∴BE=3，∠OEB=90°，
设OB=x，则OC=x，
∵CE=2，
∴OE=x-2，
∵在Rt△OBE中，，
∴，解得：，
∴，即⊙O的半径为，
故答案为：．
12．
【答案】8
【详解】解：∵OC为半径，OC⊥AB，
∴AB=2AD，
∵，
∴，
∴AB=2AD=8．
故答案为：8
13．
【答案】
【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，
则EH=FH=EF=2，
∵GB=5，
∴OF=OB=，
在△OHF中，勾股定理，得
OH=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形OADH也是矩形，
∴AD=OH=，
故答案为：．
14．
【答案】4
【详解】解：∵，，
∴，，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：4．
15．
【答案】16
【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD
∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD，
∴OM=AP
根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点，
∴S矩形APND=S矩形ABCD
∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长
∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD
∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大
过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号）
∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4
故S△AOD的最大值为4
∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16
故答案为：16．
16．
【答案】
【详解】解：如图，连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∴∠DFE=90°，
∵OA=OB，AF=CF，
∴OF=BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在△EFD和△ECB中，
， ∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF=BC，
∴OF=DF，
∵OD=3，
∴OF=1，AB=2OD=6，
∴BC=2，
∴．
故答案为：．
17．
【答案】12
【详解】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为60cm，
∴OB＝OC＝30cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝18（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝30﹣18＝12（cm），
即水的最大深度为12cm，
故答案为：12．
18．
【答案】8
【详解】过P点作弦AB，使AB⊥OP，则AB为过P点的最短的弦，
连结OA，
∵OP⊥AB，
∴AP=BP，
在Rt△AOP中，OA=5，OP=3，
∴AP=，
∴AB=2AP=8．
故答案为：8．
19．
【答案】1或7
【详解】解：连接OA，作OG⊥AB于G，
∵AB=6m，
∴AG=AB=3m，
∵油槽直径为10m，
∴OA=5m，
∴OG=4m，即弦AB的弦心距是4m，
同理当油面宽AB为8m时，弦心距是3m，
∴当油面没超过圆心O时，油上升了1m；
当油面超过圆心O时，油上升了7m．
故答案为：1或7．
20．
【答案】18
【详解】设∠EBF=x,则∠BAE=2x,连接OC交AB于点G,连接OB,BC,OD,如下图所示
∵C是的中点,点O为圆心
∴OCAB（垂径定理）
又∵点C与点D关于弦AB对称
∴CDAB,且C,D,O三点共线，GD=GC
∴∠AGD=∠BGC=90°，GA=GB
故△AGD△BGC（SAS）
∴∠ADG=∠BCG=90°-2x
又∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB=∠ADC=90°-2x
又∵同弧
∠E=∠COB=180°-2∠OBC=180°-2（90°-2x）（在△OCB中）
∵BFAE
在△BEF中，∠E=90°-∠EBF=90°-x
故综上：180°-2（90°-2x）=90°-x
解得x=18°
故本题答案为：18
21．
【答案】⊙O的半径长为
【详解】连接OC
∵直径AB⊥CD
∴CE＝DE，∠OEC＝90°
∵CD＝10
∴CE＝DE＝5
设半径为x，则OC＝x，OE＝x－2
在Rt△OEC中，，
∴，
∴x＝
∴⊙O的半径长为．
22．
【答案】(1)见解析；(2)
【详解】（1）证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示：
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，AH＝BH，
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴AC＝BD；
（2）解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示：
则CH＝DH＝CD，
∵OC＝OD，∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝4，
∴CH＝2，
∴OH＝＝＝2，
∴AH＝＝＝2，
∴AC＝AH﹣CH＝2﹣2．
23．
【答案】(1)；(2)存在，中，的长度保持不变为
(3)存在，中，的度数保持不变为
【详解】（1）∵
∴
在中．
（2）存在，
连接
∵
∴，
∴
∴中，的长度保持不变为．
（3）存在，
连接
∵，
∴
同理：
∵
∴
∴
∴中，的度数保持不变为24.1.3 弧、弦、圆心角（附解析）
一、单选题(共10个小题)
1．下图中是圆心角的是( )
A． B． C． D．
2．如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦，OM⊥AB、ON⊥CD，垂足分别为M、N，BA、DC的延长线交于点P，连接OP．下列四个说法：①=；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO；正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，梯形ABCD中，，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点若，则的度数为何？（ ）
A．116 B．120 C．122 D．128
7．下列命题中，正确的是（ ）
①顶点在圆心的角是圆心角；②相等的圆心角，所对的弧也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和② B．①和③ C．①和④ D．①、②、③、④
8．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）
A．100° B．110° C．115° D．120°
9．如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（ ）
A．25 B．25 C． D．
10．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，下列结论中正确的有（　　 ）①CE＝OE ②∠C＝50° ③ ④AD＝2OE
A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②③④
二、填空题(共10个小题)
11．已知⊙O的半径为6cm，弦AB＝6cm，则弦AB所对的圆心角是________度．
12．将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数的比1：3：5，则最大扇形的圆心角的度数为_____．
13．如图，在扇形OAB中，，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为____________．
14．如图，在扇形BOC中，，OD平分交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若，则长的最小值为______．
15．如图，已知半圆直径，点C、D三等分半圆弧，那么的面积为________．
16．如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，其中AB是直径，点C是弧DB的中点，若∠C＝110°，则∠ABC的度数=______．
17．如图，是半圆O的直径，半圆的半径为4，点C，D在半圆上，，点P是上的一个动点，则的最小值为___________．
18．如图，在⊙O中，，AD⊥OC于点D，比较大小AB___________2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．
19．如图，是⊙O的直径，四边形内接于⊙O，若，则⊙O的周长为_____________（结果保留）．
20．如图，MN是⊙O的直径，OM=2，点A在⊙O上，，B为弧AN的中点， P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为 ______________.
三、解答题(共10个小题)
21．已知：如图，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．求证：AB=CD．
22．如图，已知⊙O的直径BA与弦DC的延长线交于点P，且，，求与的度数．
23．如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA，OB上的点，且，点C为弧AB中点，连接CD、CE．
（1）求证：；
（2）若，，，求半径的长．
24.1.3 弧、弦、圆心角解析
1．
【答案】B
【详解】顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫圆心角.
如图，∠AOB的顶点O是圆O的圆心，OA、OB交圆O于A、B两点，则∠AOB是圆心角.
故选B.
2．
【答案】C
【详解】解：如图，延长AO交⊙O于T，连接BT．
∵∠AOB+∠BOT=180°，∠AOB+∠COD=180°，
∴∠COD=∠BOT，
∴，
∴CD=BT=4，
∵AT是直径，AT=6，
∴∠ABT=90°，
∴AB==，
故选：C．
3．
【答案】A
【详解】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，
∴∠OBA＝∠OAB＝25°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，
∵OA＝OC，∠OCA＝40°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，
故选：A．
4．
【答案】D
【详解】解：如图连接OB、OD；
∵AB=CD，
∴=，故①正确；
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确；
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确；
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
综上，四个选项都正确，
故选：D．
5．
【答案】D
【详解】解：在⊙O中，
∵
∴，
故A、C选项正确，不符合题意；
∵，OA=OD，OB=OC
∴
∴
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴
∴OE=OF
故B选项正确，不符合题意．
故选D
6．
【答案】D
【详解】解：连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，
与圆O相切于A点，
，
，
，
，
垂直平分BC，
，
，
，
的度数为，
故选：D．
7．
【答案】C
【详解】解：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角；故①正确．
②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等；故错误．
③在圆中，一条弦对着两条弧，所以两条弦相等，它们所对的弧不一定相等；故错误．
④根据圆心角、弦、弧之间的关系定理，在等圆中，若圆心角相等，则弦相等，所以圆心角不等，弦也不等；故④正确．
故选C．
8．
【答案】C
【详解】解：过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，
∵DE＝FG＝MN，
∴OP＝OK＝OQ，
∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，
，，
∵∠A＝50°，
∴，
∴
，
∴∠BOC＝
故选：C．
9．
【答案】D
【详解】解：连OC，如图，
∵C是的中点，∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
又∵OA=OC=OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴S四边形AOBC=．
故选：D．
10．
【答案】B
【详解】∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，
∴CE＝DE，，，
∴∠BOC＝2∠A＝40°，，
即，故③正确；
∵∠OEC＝90°，∠BOC＝40°，
∴∠C＝50°，故②正确；
∵∠C≠∠BOC，
∴CE≠OE，故①错误；
作OP∥CD，交AD于P，
∵AB⊥CD，
∴AE＜AD，∠AOP＝90°，
∴OA＜PA，OE＜PD，
∴PA+PD＞OA+OE
∵OE＜OA，
∴AD＞2OE，故④错误；
故选：B．
11．
【答案】60
【详解】如图，连接OA、OB，
∵OA=OB=AB=6，
∴△OAB是等边三角形
∴∠AOB=60°
故弦AB所对的圆心角的度数为60°．
故答案为：60．
12．
【答案】200°
【详解】最大扇形的圆心角的度数＝360°×＝200°．
故答案为200°
13．
【答案】##50度
【详解】解：如图，连接，则，
由折叠的性质得：，
，
是等边三角形，
，
，
，
则弧的度数为，
故答案为：．
14．
【答案】
【详解】如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D=CD′，
由题意得，∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°，
∴∠COD′=90°，
∴CD′=，
故答案为．
15．
【答案】
【详解】解：连接OC，OD，过点O作OE⊥CD，垂足为点E，如图，
∵点C、D三等分半圆弧，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∵OC=OD，
∴是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠CDO=∠BOD，
∴CD∥AB，
∴，
∵OE⊥CD，
∴∠COE=∠COD=30°，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：．
16．
【答案】55°
【详解】连接OC，
∵C是弧DB的中点，∠DCB＝110°，
∴∠DCO=∠BCO=110°÷2=55°，
∵AB是圆的直径，O是圆心，
∴OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB=55°，
故答案为55°．
17．
【答案】
【详解】作点关于的对称点为，连接，；过点作；
由题知，，，∴，可得对应的圆心角；
又点关于的对称点为，
∴，，∴长为的最小值
在中，，∴，；
在中，，，∴；
故填：；
18．
【答案】=
【详解】解：如图，过点作于点，交于点，
，
AD⊥OC，
即
故答案为：
19．
【答案】
【详解】如图，连接OD、OC，
∵，是⊙O的直径，
∴∠AOD=∠COD=∠BOC=,
∵OA=OD=OC=OB，
∴△AOD、△COD、△BOC都是等边三角形，
∴OA=OB=BC=4cm，
∴⊙O的周长=（cm），
故答案为：.
20．
【答案】
【详解】如图，作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，连接AP、OB、OA、OA′，则此时AP+BP的值最小=A′B，
∵∠AMN=30°，A′、A关于MN对称，点B是的中点，
∴∠BON=30°，∠A′ON=∠AON=60°，
∴∠A′OB=30°+60°=90°，
又∵OA′=OB=OM=2，
∴A′B=，即AP+BP的值最小=.
故答案为.
21．
【答案】见解析
【详解】证明：∵∠ABD=∠CDB，
∴，
∴，
∴，
∴AB=CD．
22．
【答案】，
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
23．
【答案】（1）证明见解析；（2）5．
【详解】解：（1）如图，连接，
，
，即，
点为弧中点，
∴，
，
在和△COE中，，，
；
（2）设⊙O半径的长为，则，
，
，
由（1）已证：，
，
，
在中，，即，
解得，
故⊙O半径的长为5．24.1.4 圆周角
第2课时 圆内角四边形的性质及圆周角定理的综合运用
选择题。
1. 如图，圆心角∠AOB＝120°，C、D、E是的四等分点，则弦OE和半径OA的关系是（ ）
A. OA＜DE B. DE＜OA
C. DE＝OA D. 以上均不对
2. 在下列语句中，叙述正确的个数为（ ）
①相等的圆周角所对弧相等
②同圆等圆中，同弦或等弦所对圆周角相等
③一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
④等弧所对圆周角相等
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 在半径等于7cm的圆内有长为的弦，则此弦所对圆周角为（ ）
A. 60°或120° B. 30°或150° C. 60° D. 120°
4. 下列命题中不正确的是（ ）
A. 圆内接平行四边形是矩形 B. 圆内接菱形是正方形
C. 圆内接梯形是等腰梯形 D. 圆内接矩形是正方形
5. 如图，∠E＝30°，AB＝BC＝CD，则∠ACD的度数为（ ）
A. 12.5° B. 15° C. 20° D. 22.5°

6. 四边形ABCD内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可能是（ ）
A. 1∶3∶2∶4 B. 7∶5∶10∶8
C. 13∶1∶5∶17 D. 1∶2∶3∶4
7. 圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于P，对角线AC、BD交于点Q，则图中共有相似三角形（ ）
A. 4对 B. 2对 C. 1对 D. 3对
二. 填空题。
8. 一弦分圆周为5∶7，这弦所对的两圆周角分别为__________。
9. 如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，，∠AOB＝80°，则∠BOC＝__________，∠ABC＝__________，∠ACB＝_____∠CAB。
10. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠A＝__________，＝__________，∠BOC＝___________，＝___________＝___________。

第9题图 第10题图
11. 圆内接四边形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BCD＝80°，则∠BAC＝__________。
12. 四边形ABCD内接于⊙O，若∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶3∶4∶m，则m＝__________，这个四边形最大内角是__________度，最小内角__________度，对角线AC是⊙O的__________。
三. 解答题。
13. 已知：如图，P是的中点，弦PC的延长线交AB的延长线于点D。
求证：

14. 已知：如图，⊙O和⊙O'交于A、B，过A引直线CD、EF，分别交两圆于C、D、E、F，EC、DF的延长线交于P。
求证：∠P＋∠CBD＝180°

试题答案
一. 选择题。
1. C 2. B 3. A 4. D 5. D 6. C 7. A
二. 填空题。
8. 105°和75°
9. 40°，120°，2
10. 60°，120°，120°，140°，100°
11. 50°
12. 3，120，60，直径
三. 解答题。
13. 连结AC
∵P是的中点 ∴ ∴∠PAB＝∠PCA
又∵∠P＝∠P ∴△PAD∽△PCA

14. 连结AB，则∠E＝∠ABC
∵四边形AFDB内接于圆
∴∠PFE＝∠ABD
24.1.4 圆周角（附解析）
一、单选题(共10个小题)
1．下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为（ ）
A．12 B．10 C．4 D．5
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（ 　　）
A． B．2 C．2 D．4
4．如图，四边形是⊙O的内接四边形，且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在半径为R的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D为弧AC的中点，AC与BD交于点E，已知∠A＝36°，则∠AED的度数为（ ）
A．36° B．56° C．63° D．72°
6．如图，点A，B，C，D，E都在⊙O上，∠BAC＝15°，∠BOD＝70°，则∠CED的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．55°
7．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OC．若∠ABC=70°，则∠OCA的度数为（ 　）
A．20° B．25° C．30° D．40°
8．如图，△ABC内接于⊙O，直径AD＝6cm，∠DAC＝2∠B，则AC的长度为（　　 ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
9．如图，点B，C，D均在⊙O上，四边形OBCD是平行四边形，若点A（不与点B，C重合）也在⊙O上，则∠BAC＝（　　 ）
A．30° B．45° C．60°或120° D．30°或150°
10．如图，已知正方形的边长为4，动点P从点A出发在边上运动，同时动点Q从点B出发以同样的速度在边上运动．分别连接与相交于点E，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(共10个小题)
11．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠AOC=∠B，则∠B=_______度．
12．如图，、是以为直径的⊙O的两条弦，延长至点D，使，则当时，与之间的数量关系为：________．
13．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，⊙P过原点，且与轴、轴交于点A，，点A的坐标为，⊙P的直径为10．则点的坐标为______．
14．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为______．
15．如图，是半圆的直径，且，在半圆上取一点，使得，则________．
16．如图，已知、在以为直径的⊙O上，若，则的度数是_________．
17．如图，四边形内接于⊙O，点M在的延长线上，，则______．
18．如图，在3×3的正方形网格中，图中的两条弦AB＝CD，则∠ABD＝______．
19．如图，是⊙O的弦，，点是上的一个动点，且，若点、分别是、的中点，则的最大值是______．
20．如图，AB，CD是⊙O的直径，弦BE与CD交于点F，F为BE中点，．若，则BC的长为______．
三、解答题(共3个小题)
21．在⊙O中，弦AB⊥AC，且AB=AC=6．D是⊙O上一点（不在上），连接AD、BD、CD．
(1)如图①，若AD经过圆心O，求BD、CD的长；
(2)如图②，若∠BAD=2∠DAC，连接BC、OD，且BC是直径，求BD、CD的长．
22．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，点F在DC的延长线上，AF交⊙O于G．
(1)求证：∠FGC＝∠ACD；
(2)若AE=CD=8，试求⊙O的半径．
23．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
(1)求证：∠DAC＝∠DBA；
(2)求证：P是线段AF的中点；
(3)连接CD，若CD＝6，BD＝8，求⊙O的半径和DE的长．
24.1.4 圆周角解析
1．
【答案】A
【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项中的角是圆周角．
故选：．
2．
【答案】B
【详解】解：连接EF，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°
∴EF是直径
∴EF＝＝＝10
故选：B．
3．
【答案】D
【详解】解：连接OD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠A=60°，
∵OD=OA，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OD=OA，
∵AD=2，
∴OA=OD=OB=2，
∴AB=2+2=4，
故选：D．
4．
【答案】B
【详解】解：四边形是⊙O的内接四边形，
，
，
故选：B．
5．
【答案】C
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝36°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣36°＝54°，
∵D为弧AC的中点，
∴，
∴，
∴∠AED＝∠A＋∠ABD＝36°＋27°＝63°．
故选：C．
6．
【答案】B
【详解】：解：连接BE，
∵∠BOD＝70°，
∴∠BED＝∠BOD＝35°，
∵∠BEC＝∠BAC＝15°，
∴∠CED＝∠BED ∠BEC＝35° 15°＝20°，
故选：B．
7．
【答案】A
【详解】解：∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠AOC=2∠ABC=2×70°=140°，
∴∠OCA==20°，
故选：A．
8．
【答案】A
【详解】解：连接CD，则∠D＝∠B，
∵∠DAC＝2∠B，
∴∠DAC＝2∠D，
∵AD为直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠D+∠DAC＝90°，
∴3∠D＝90°，
∴∠D＝30°，
∴AC＝AD＝×6＝3cm，
故选：A．
9．
【答案】D
【详解】解：（1）当点A在优弧BC上时，连接OC，
∵四边形OBCD是平行四边形，
∴BC=OD，
∴BC=OB=OC，
∴ΔOBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°
∴∠BAC=∠BOC=30°；
（2）当点A在劣弧BC上位置时，连接OC，
∵四边形ABA'C为圆内接四边形，
∴∠BAC+∠BA'C=180°，
∵∠BAC=30°，
∴∠BA'C=150°．
综上∠BAC的度数为30°或150°．
故选：D．
10．
【答案】D
【详解】∵点P与点Q的速度相同，
∴AP=BQ，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAP=∠ABQ，AB=AD，
∴△DAP≌△ABQ（SAS），
∴∠ABP=∠DAQ，
∵∠ADP+∠BAQ=90°，
∵∠DAE+∠BAQ=90°，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∴点E在以AD为直径的圆上，圆心为点O，
如图，连接OB，与圆O的交点即为所求，
∵AD=4，
∴AB=4，AO=2，
∴，
∴BE的最小值为OB-2=，
故选：D．
11．
【答案】120
【详解】如图，连结OB，
∵OA=OB=OC，
∴△OAB和△OBC都是等腰三角形，
∴∠A=∠OBA，∠C=∠OBC，
∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=∠A+∠C，
∴∠A+∠C=∠ABC=∠AOC
∵∠A+ ∠ABC+∠C+∠AOC=360゜
∴3∠ABC=360゜
∴∠ABC=120゜
即∠B=120゜．
故答案为：120．
12．
【答案】
【详解】解：设AB的边长为x，
∵，
∴，
∴，
∵AC是直径，
∴，
∴AC=2x，
根据勾股定理可得，
即，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13．
【答案】
【详解】连接AB,
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴AB=10．
又∵∠AOB=90°，点A的坐标为，
∴，，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
14．
【答案】
【详解】解：如图，连接，并延长交圆于点，连接，．
则，．
∵，
∴//，
∴
∴BE=CD，
∵
∴．
在Rt△中，AB=10，
所以，由勾股定理得，
∴．
所以圆的面积为．
15．
【答案】30
【详解】解：如下图，连接OD，
∵，
∴∠COD=50°，
∴∠CBD=∠COD=25°，
∵，OA=OB，
∴∠OBA=，
∴，
故答案为：30．
16．
【答案】
【详解】为⊙O的直径，
，
，
，
．
故答案为：60°．
17．
【答案】70°
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴，
∵，
∴，
故答案为：70°．
18．
【答案】
【详解】解：如图，
连接AD，BC，设CD与AB交于点E，
由网格特点知，．
∵AB＝CD，
∴．
根据同弧所对的圆周角相等，可知．
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
19．
【答案】
【详解】解：作直径，如图，
点、分别是、的中点，
为的中位线，
，
为直径，
，
，
，
当时，的值最大，
最大值为，的最大值为．
故答案为．
20．
【答案】
【详解】如图，连接AE．
∵F为BE中点，CD是的直径，
∴．
∵AB是⊙O的直径，
∴，
∴．
∵，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴．
∵F为BE中点，O为AB中点，
∴OF为中位线，
∴．
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，解得：（舍），
∴，，，
∴，
∴．
故答案为：．
21．
【答案】(1)BD＝6，CD＝6;(2)，BD＝
【详解】（1）解：AD是⊙O的直径，
∴∠C=∠B=90°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴四边形ABDC是矩形，
∵AB=AC=6，
∴BD=AC=6，CD=AB=6；
（2）∵∠BAC=90°，∠BAD=2∠DAC，
∴∠BAD=60°，∠DAC=30°，
∴∠COD=2∠CAD=60°，
∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC，
在Rt△ABC中，，
∴，
在Rt△BCD中，．
22．
【答案】(1)见解析;(2)5
【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AB垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠D，
∵四边形AGCD内接于⊙O，
∴∠AGC+∠D=180°，
∵∠AGC+∠FGC=180°，
∴∠D=∠FGC，
∴∠ACD=∠FGC；
（2）连接OC，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，AE=CD=8，
∴CE=ED=4，
设OA=OC=r，则OE=8-r，
在Rt△COE中，，
即，解得r=5，即⊙O的半径为5.
23．
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)半径是2.5；DE=2.4
【详解】（1）∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA；
（2）∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB=90°，
∴∠1+∠3=∠5+∠3=90°，
∴∠1=∠5=∠2，
∴PD=PA，
∵∠4+∠2=∠1+∠3=90°，
∴∠3=∠4，
∴PD=PF，
∴PA=PF，即P是线段AF的中点；
（3）连接CD，
∵∠DAC=∠DBA =∠DCA，
∴CD=AD=3，
∵∠ADB=90°，BD=4
∴AB==5，
故⊙O的半径为2.5，
∵DE×AB=AD×BD，
∴5DE=3×4，
∴DE=2.4．即DE的长为2.4．人教版数学九年级上册专项培优练习十四
《圆周角定理》
一 、选择题
1.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，若∠DAB＝65°，则∠AOC等于( )
A.25° B.30° C.50° D.65°
2.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且交AB于点E，则下列结论不成立的是( )
A.∠A＝∠D B.＝ C.∠ACB＝90° D.∠COB＝3∠D
3.如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB＝( )
A.80° B.90° C.100° D.无法确定
4.如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM＝8cm，ON＝6cm，则该圆玻璃镜的半径是(　　)
A. cm B.5cm C.6cm D.10cm
5.如图，弧AB是半圆，O为AB中点，C、D两点在弧AB上，且AD∥OC，连接BC、BD.若弧CD＝62°，则弧AD的度数为( )
A.56° B.58° C.60° D.62°
6.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是(　　)
A.OC∥BD B.AD⊥OC C.△CEF≌△BED D.AF＝FD
7.如图，□ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC＝70°，连接AE，则∠AEB的度数为( )
A.20° B.24° C.25° D.26°
8.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，CD是⊙O的切线，OD∥BC，OD与半圆O交于点E，则下列结论中不一定正确的是(　 　)
A.AC⊥BC B.BE平分∠ABC C.BE∥CD D.∠D＝∠A
9.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为( )
A.2 B.8 C.2 D.2
10.在直角三角形ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆交斜边BC于D，则△ACD与△ABD的面积之比为( )
A.1：2 B.1：3 C.2：3 D.3：4
11.如图，⊙P与x轴交于点A(﹣5，0)，B(1，0)，与y轴的正半轴交于点C.若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为(　　)
A.＋ B.2＋ C.4 D.2＋2
12.已知点A，B，C是直径为6cm的⊙O上的点，且AB＝3cm，AC＝3cm，则∠BAC度数为( )
A.15° B.75°或15° C.105°或15° D.75°或105°
二 、填空题
13.如图，△ABC内接于⊙O，BA＝BC，∠ACB＝28°，AD为⊙O的直径，则∠DAC的度数是 .
14.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD＝28°，则∠ABD＝ .
15.如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒，点E在量角器上对应的读数是______.
16.如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为　　 .
17.阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作Rt△ABC，使其斜边AB＝c，一条直角边BC＝a.
已知线段a，c如图.
小芸的作法如下：
①取AB＝c，作AB的垂直平分线交AB于点O；
②以点O为圆心，OB长为半径画圆；
③以点B为圆心，a长为半径画弧，与⊙O交于点C；
④连接BC，AC.
则Rt△ABC即为所求.
老师说：“小芸的作法正确.”
请回答：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是______________.
18.如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm.D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为 .
三 、解答题
19.如图，已知点A，B，C，D均在⊙O上，CD为∠ACE的平分线.
(1)求证：△ABD为等腰三角形；
(2)若∠DCE＝45°，BD＝6，求⊙O的半径.
20.如图，等腰三角形ABC中，BA＝BC，以AB为直径作圆，交BC于点E，圆心为O.在EB上截取ED＝EC，连接AD并延长，交⊙O于点F，连接OE、EF.
(1)试判断△ACD的形状，并说明理由；
(2)求证：∠ADE＝∠OEF.
21.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝BC.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE.
(1)求证：∠B＝∠D；
(2)若AB＝13，BC﹣AC＝7，求CE的长.
22.如图，在平面直角坐标系中，以M(0，2)圆心，4为半径的⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连结BM并延长交⊙M于点P，连结PC交x轴于点E.
(1)求∠DMP的度数；
(2)求△BPE的面积.
23.如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F.
(1)求证：CF﹦BF；
(2)若CD﹦6，AC﹦8，则⊙O的半径为______，CE的长是______.
24.如图，A、B是⊙O上的两个点，已知P为平面内一点，(P、A、B三点不在同一条直线上).
(1)若点P在⊙O上，⊙O的半径为1.
①当∠APB＝45°时，AB的长度为 ，
②当AB＝1时，∠APB＝ °；
(2)若点P不在⊙O上，直线PA、PB交⊙O于点C、D(点C与点A、点D与点B均不重合)，连接AD，设∠CAD＝α，∠ADB＝β，试用α、β表示∠APB(请直接写出答案，并画出示意图).
参考答案
1.C.
2.D.
3.B.
4.B.
5.A.
6.C.
7.A.
8.C.
9.D.
10.B.
11.C.
12.C.
13.答案为：34°.
14.答案为：62°；
15.答案为：144°.
16.答案为：61°.
17.答案为：直径所对的圆周角为直角.
18.答案为：-2.
19.证明：(1)∵CD平分∠ECA，
∴∠ECD＝∠DCA.
∵∠ECD＋∠DCB＝180°，∠DCB＋∠BAD＝180°，
∴∠ECD＝∠DAB.
又∵∠DCA＝∠DBA，
∴∠DBA＝∠DAB.
∴DB＝DA.
∴△ABD是等腰三角形.
(2)∵∠DCE＝∠DCA＝45°，
∴∠ECA＝∠ACB＝90°.
∴∠BDA＝90°.
∴AB是直径.
∵BD＝AD＝6，
∴AB＝6.
∴⊙O的半径为3.
20.解：(1)△ACD是等腰三角形.连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∴AE⊥CD，
∵CE＝ED，
∴AC＝AD，
∴△ACD是等腰三角形；
(2)∵∠ADE＝∠DEF＋∠F，∠OEF＝∠OED＋∠DEF，
而∠OED＝∠B，∠B＝∠F，
∴∠ADE＝∠OEF.
21.证明：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
又∵DC＝CB，
∴AD＝AB，
∴∠B＝∠D
(2)解：设BC＝x，则AC＝x﹣7，
在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2， 即(x﹣7)2＋x2＝132，
解得：x1＝12，x2＝﹣5(舍去)，
∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，
∴∠D＝∠E，
∴CD＝CE，
∵CD＝CB，
∴CE＝CB＝12
22.解：(1)∵M(0，2)，
∴OM＝2，
在Rt△OBM中，∵MB＝4，OM＝2，
∴OM＝BM，
∴∠OBM＝30°，
∴∠BOM＝60°，
∴∠DMP＝∠BMO＝60°；
(2)连结PA，如图，
∵PB为直径，
∴∠BPP＝90°，
在Rt△PBA中，
∵∠ABP＝30°，PB＝8，
∴PA＝PB＝4，AB＝PA＝4，
∵OM⊥AB，
∴弧AC＝弧BC，
∴∠APC＝∠BOC＝30°，
在Rt△PAE中，∵∠APE＝30°，PA＝4，
∴AE＝PA＝
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣＝，
∴△BPE的面积＝×4×＝.
23.(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB﹦90°
又∵CE⊥AB，
∴∠CEB﹦90°
∴∠2﹦90°﹣∠ACE﹦∠A，
∵C是弧BD的中点，
∴弧BC＝弧DC，
∴∠1﹦∠A(等弧所对的圆周角相等)，
∴∠1﹦∠2，
∴CF﹦BF；
(2)解：∵C是弧BD的中点，CD﹦6，
∴BC＝6，
∵∠ACB﹦90°，
∴AB2＝AC2＋BC2，
又∵BC＝CD，
∴AB2＝64＋36＝100，
∴AB＝10，
∴CE＝4.8，
故⊙O的半径为5，CE的长是4.8.
24.解：(1)①∵点P在⊙O上，∠APB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB＝1，
∴AB＝；
②∵AB＝1，OA＝OB＝1，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝90°，
若点P在优弧AB上，则∠APB＝30°，
若点P在劣弧AB上，则∠APB＝180°﹣30°＝150°；
综上可得：∠APB＝30°或150°；故答案为：①；②30°或150°；
(2)①P在圆外时，
如图①，若点C、D分别在线段PA、PB上，则∠APB＝β﹣α；
如图②，若点C在线段PA的延长线上，点D在线段PB上，则∠APB＝α＋β﹣180°；
如图③，若点C在线段PA上，点D在线段PB的延长线上，则∠APB＝180°﹣α﹣β；
如图④，若点C、D分别在线段PA、PB的延长线上，则∠APB＝α﹣β；
②P在圆内时，如图⑤，∠APB＝α＋β.24.2点和圆、直线和圆的位置关系—2022-2023学年
人教版数学九年级上册堂堂练
1.下列说法不正确的是( )
A.经过一个点的圆有无数个
B.经过两个点的圆有无数个
C.经过不在同一条直线上的三个点可确定一个圆
D.过四个点一定能作一个圆
2.如图，内接于，.点E是边BC的中点，连接OE并延长，交于点D，连接BD，则的大小为( )
A.55° B.65° C.60° D.75°
3.若点在以点为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为( )
A. B. C. D.且
4.如图，PA，PB分别切于点A，B，，CD切于点E，分别交PA，PB于C，D两点，则的周长是( )
A.10 B.18 C.20 D.22
5.如图，正方形ABCD的边长为8.M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作.当与正方形ABCD的边相切时，BP的长为( )
A.3 B. C.3或 D.不能确定
6.如图，已知是直角，在射线BC上取一点O，以O为圆心，长为半径画圆，射线BA绕点B顺时针旋转_______________时与圆O相切.
7.在中，，，且，则这个三角形的内切圆半径为__________.
8.如图，AB为的直径，C为上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分.
(1)求证：DC为的切线；
(2)若，的半径为3，求线段AC的长.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由作圆的方法可知，选项A，B，C均不符合题意，而过四个点不一定能作圆，如这四个点在同一条直线上，所以选项D符合题意.故选D.
2.答案：B
解析：连接OB，OC，则.点E是边BC的中点，，，又，.
3.答案：C
解析：点在以点为圆心，以2为半径的圆内，，.
4.答案：C
解析：，PB是的切线，.又是的切线，，，的周长.
5.答案：C
解析：如图(1)，当与边CD相切时，设.在中，，，，，.
如图(2)，当与边AD相切时，设切点为K，连接PK，则，四边形PKDC是矩形，.，，在中，.综上所述，BP的长为3或.
6.答案：60°或120°
解析：将射线BA绕点B顺时针旋转60°时，记为射线BE，作，垂足为D.在中，，，即OD为的半径，与相切.射线BA绕点B顺时针旋转120°时，同理可证.
7.答案：2
解析：根据内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，依据三角形的面积公式求解.在中，，设内切圆的半径是r，则，即，解得.
8.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)连接CO.
，.
平分，，，
，，为的切线.
(2)连接BC.为的直径，.，AC平分，.
的半径为3，，.人教版数学九年级上册专项培优练习
《圆-与圆有关的位置关系》
一 、选择题
1.平面内有一点P到圆上最远的距离是6，最近的距离是2，则圆的半径是(　　)
A.2 B.4 C.2 或4 D.8
2.在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，当点B在⊙A内时，实数a的取值范围在数轴上表示正确的是( )
3.在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为( )
A.E，F，G B.F，G，H C.G，H，E D.H，E，F
4.A，B，C是平面内的三点，AB=3，BC=3，AC=6，下列说法正确的是( )
A.可以画一个圆，使A，B，C都在圆上
B.可以画一个圆，使A，B在圆上，C在圆外
C.可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆外
D.可以画一个圆，使B，C在圆上，A在圆内
5.在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，则这个三角形的外接圆的直径为( )
A.5 B.10 C.5或4 D.10或8
6.如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(2，3)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是( )
A.(-1，1) B.(2，1) C.(1，1) D.(1，0)
7.有四个命题，其中正确的命题是( )
①经过三点一定可以作一个圆；
②任意一个三角形有且只有一外接圆；
③三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等；
④在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦
A.①②③④ B.①②③ C.②③④ D.②③
8.如图，已知点A，B在半径为1的⊙O上，∠AOB=60°，延长OB至点C，过点C作直线OA的垂线，记为l，则下列说法正确的是(　　)
A.当BC=0.5时，l与⊙O相离
B.当BC=2时，l与⊙O相切
C.当BC=1时，l与⊙O相交
D.当BC≠1时，l与⊙O不相切
9.已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O公共点的个数为(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
10.如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB=2，AD=10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
11.以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=－x＋b与⊙O相交，则b取值范围是( )
A.0≤b<2 B.－2≤b≤2 C.－212.如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°.设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是(　 　)
二 、填空题
13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM为中线，以C为圆心，cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有______，在圆上的有______，在圆内的有______.
14.已知⊙O的半径为1，点P与圆心O的距离为d，且方程x2－2x＋d=0没有实数根，则点P与⊙O的位置关系是_________________.
15.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________.
16.⊙O的半径为R,点O到直线l的距离为d,R,d是方程x2﹣4x+m=0的两根,当直线l与⊙O相切时,m的值为 .
17.如图，已知直线y=x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB.则△PAB面积的最小值是　 　.
18.如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AD＝3AM，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C.则A′C长度的最小值是　 　.
三 、解答题
19.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，CD⊥AB于D，O为AB的中点.
(1)以C为圆心，6为半径作圆C，试判断A，D，B与⊙C的位置关系；
(2)⊙C的半径为多少时，点O在⊙C上？
(3)⊙C的半径为多少时，点D在⊙C上？
20.如图，已知△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.
(1)当r在什么取值范围内时，点A，B在⊙C外？
(2)当r在什么取值范围内时，点A在⊙C内，点B在⊙C外？
21.如图所示，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC外接圆的半径.
22.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，若AO＝x cm，⊙O的半径为1 cm，当x在什么范围内取值时，直线AC与⊙O相离、相切、相交？
23.如图直角坐标系中，已知A(﹣8，0)，B(0，6)，点M在线段AB上.
(1)如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径为4，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，⊙M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标.
24.如图，已知∠APB＝30°，OP＝3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动.
(1)当圆心O移动的距离为1cm时，则⊙O与直线PA的位置关系是什么？
(2)若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，则d的取值范围是什么？
25.如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD.
(1)求证：∠DAC=∠DBA；
(2)求证：PD=PF；
(3)连接CD，若CD=3，BD=4，求⊙O的半径和DE的长.
参考答案
1.C.
2.D.
3.A
4.B.
5.D
6.D.
7.D
8.D.
9.C.
10.D.
11.D
12.D.
13.答案为：点B； 点M； 点A、C.
14.答案为：点P在⊙O外
15.答案为：.
16.答案为：4.
17.答案为：5.5.
18.答案为：﹣1.
19.解：(1)∵CA=6，CD=＜6，CB=8＞6，
∴点A在⊙C上，点D在⊙C内，点B在⊙C外
(2)∵OC=AB=5，
∴⊙C的半径为5时，点O在⊙C上
(3)∵CD=，
∴⊙C的半径为时，点D在⊙C上
20.解：(1)当0(2)当321.解：如图，作AD⊥BC，垂足为D，则O一定在AD上，
所以AD=8；
设OA=r，OB2=OD2+BD2，即r2=(8﹣r)2+62，
解得r=.
答：△ABC外接圆的半径为.
22.解：作OD⊥AC于点D.
∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°.
∵AO＝x cm，
∴OD＝x cm.
(1)若⊙O与直线AC相离，则有OD>r，即x＞1，解得x＞2；
(2)若⊙O与直线AC相切，则有OD＝r，即x＝1，解得x＝2；
(3)若⊙O与直线AC相交，则有OD综上可知：当x＞2时，直线AC与⊙O相离；当x＝2时，直线AC与⊙O相切；
当0＜x＜2时，直线AC与⊙O相交.
23.解：(1)直线OB与⊙M相切，理由：设线段OB的中点为D，连结MD，如图1，
∵点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD＝4.
∴∠AOB＝∠MDB＝90°，
∴MD⊥OB，点D在⊙M上，
又∵点D在直线OB上，
∴直线OB与⊙M相切；
(2)解：连接ME，MF，如图2，
∵A(﹣8，0)，B(0，6)，
∴设直线AB的解析式是y＝kx+b，
∴，解得：k＝，b＝6，
即直线AB的函数关系式是y＝x+6，
∵⊙M与x轴、y轴都相切，
∴点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME＝MF，
设M(a，﹣a)(﹣8＜a＜0)，把x＝a，y＝﹣a代入y＝x+6，
得﹣a＝a+6，得a＝﹣，
∴点M的坐标为(﹣，).
24.解：(1)如图，当点O向左移动1cm时，PO′＝PO﹣O′O＝3﹣1＝2cm，
作O′C⊥PA于C，
∵∠P＝30度，
∴O′C＝PO′＝1cm，
∵圆的半径为1cm，
∴⊙O与直线PA的位置关系是相切；
(2)如图：当点O由O′向右继续移动时，PA与圆相交，
当移动到C″时，相切，
此时C″P＝PO′＝2，
∵OP＝3，
∴OO'＝1，OC''＝OP+C''P＝3+2＝5
∴点O移动的距离d的范围满足1cm＜d＜5cm时相交，
25.证明：(1)∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA，
∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB，
∴∠ADB=∠AED=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，
∴∠ADE=∠DBA，
∴∠DAC=∠ADE，
∴∠DAC=∠DBA；
(2)证明：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠DFA+∠DAC=90°，
又∵∠ADE=∠DAP，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF；
(3)解：连接CD，
∵∠CBD=∠DBA，
∴CD=AD，
∵CD=3，∴AD=3，
∵∠ADB=90°，
∴AB=5，
故⊙O的半径为2.5，
∵DE×AB=AD×BD，
∴5DE=3×4，
∴DE=2.4.
即DE的长为2.4.24.2.1 点和圆的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知的半径为，一点到圆心的距离为，则点在( )
A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 无法确定
已知的直径为，、、为射线上的三个点，，，，则( )
A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 点在上
若的半径是，点在外，则的长可能是 ( )
A. B. C. D.
已知的直径为，点不在外，则的长( )
A. 小于 B. 不大于 C. 小于 D. 不大于
如图，内心为，连接并延长交的外接圆于，则线段与的关系是( )
A.
B.
C.
D. 不确定
如图，已知点是的外心，，连结，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
如图，锐角三角形内接于，点、分别是、的中点，设，，则( )
A.
B.
C.
D.
如图所示，在网格每个小正方形的边长均为中选取个格点格线的交点称为格点，分别为点、、、、、、、，任意连接除点外的个格点组成三角形，则组成的三角形中以点为外心的是( )
A. B. C. D.
如图，小明为检验、、、四点是否共圆，用尺规分别作了、的垂直平分线，它们交于点，则、、、四点中，不一定在以为圆心，为半径的圆上的点是( )
A. 点
B. 点
C. 点
D. 点
在公园的处附近有、、、四棵树，位置如图所示图中每个小正方形的边长均为，现计划修建一座以为圆心，为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则、、、四棵树中需要被移除的为( )
A. E、、 B. F、、 C. G、、 D. H、，
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
过一点可以作 个圆过两点可以作 个圆，这些圆的圆心在两点连线的 上过不在同一条直线上的三点可以作 个圆．
在中，两直角边的长分别为和，则这个三角形的外接圆半径为 ．
如图，在锐角中，，，能够将完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 ．
如图，在四边形中，，垂足为，，，，，，垂足为若以点为圆心，为半径画圆，则，，，，五点中在圆外的是 ，在圆上的是 ，在圆内的是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知：是正三角形的外接圆．
如图，若为的直径，连接，，求证：．
如图，若点是上任意一点，连接，，，那么结论还成立吗试证明你的结论．
本小题分
将图中的车轮复原，已知弧上三点，，．
画出该车轮的圆心
连接，若是等腰三角形，底边，腰，求该车轮的半径．
本小题分
如图，已知内接于，是直径，弦于点，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，分别交，于点，，求证：点是的外心．
本小题分
如图，四边形中，，，，，，试判断点，，，是否在同一个圆上，并证明你的结论．
本小题分
如图，在矩形中，，，连接，．
过点作于点，过点作于点，求，的长．
以点为圆心画圆，使，，，，个点中至少有个点在圆内，且至少有个点在圆外，并求的半径的取值范围．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】无数
无数
垂直平分线
一

12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】，
，

15.【答案】解：证明：为正三角形，
．
．
为的直径，
．
．
．
．
解：成立证明：如图，在上取一点，使，连接．
，
为等边三角形．
，．
又，．
又，，
．
．
．

16.【答案】解：如图，分别作弦和的垂直平分线，它们交于点，则交点即为所求作的圆心．
如图，连接，，与交于点，
由题意知，
，则垂直平分．
，．
在中，，
．
设该车轮的半径为，在中，，
，解得，
该车轮的半径为．

17.【答案】证明：是的直径，
．
，是的直径，
．
又，．
．
．
又，
．
．
，
即点是的外心．

18.【答案】解：、、、在同一个圆上．
证明：连接．
在直角中，，
在中，，即，
是直角三角形．
、、在以为直径的圆上．
又是直角三角形，则、、在以为直径的圆上．
点、、、在以为直径的圆上．
19.【答案】解：如图所示．
在矩形中，，，
．
，
．
同理可得．
在中，．
画图答案不唯一，如图所示．
由可得
若以点为圆心画圆，，，，，个点中至少有个点在圆内，且至少有个点在圆外，则点必在圆内，点，必在圆外，
的半径的取值范围为．
24.2.2 直线和圆的位置关系
一、单选题(共10个小题)
1．已知⊙O的半径为4，点O到直线l的距离为d若直线l与⊙O的公共点的个数为2个则d的值不能为（　 　）
A．0 B．2 C．3 D．5
2．如图，△ABC内接于⊙O，过A点作直线，当（ ）时，直线与⊙O相切．
A． B． C． D．
3．如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　 　)
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
4．已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O直径为10cm，则圆心O到直线l的距离可以是（　　 ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O（　 　）
A．相交 B．相离 C．相切 D．相切或相交
6．如图，⊙O与正方形的两边，相切，且与相切于点．若⊙O的半径为4，且，则的长度为（ ）
A．6 B．5 C． D．
7．如图，直线AE与四边形ABCD的外接圆相切于A点．若∠DAE＝12°， ，则∠ABC的度数是（ ）
A．64° B．65° C．67° D．68°
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P的半径为2，点P的坐标为，若将⊙P沿y轴向下平移，使得⊙P与x轴相切，则⊙P向下平移的距离为（ ）
A．1 B．5 C．3 D．1或5
9．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，以AB为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点B旋转，使所得矩形A'BC'D'的边C'D'与⊙O相切，切点为E，边A'B与⊙O相交于点F．若BF＝8，则CD长为（　 　）
A．9 B．10 C．8 D．12
10．如图，在中，，，，以边的中点为圆心作半圆，使与半圆相切，点分别是边和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的和是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
二、填空题(共10个小题)
11．如图，是⊙O的切线，为切点，连接．若，则=__________．
12．在Rt中，，且，，则该三角形内切圆的周长是______．
13．已知等边三角形的边长为，则它的内切圆的半径为_________．
14．已知等腰三角形三边长分别是13、13、10，则这个等腰三角形内切圆半径为____
15．已知正三角形的内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：R＝________．
16．已知两圆的半径长分别为2和5，两圆的圆心距为d，如果两圆没有公共点，那么d的取值范围是__________
17．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线，点A、点B为切点，线段OP交⊙O于点M．下列结论：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④点M是△AOP外接圆的圆心．其中正确的结论是_____________（填序号）．
18．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切的半径为________．
19．如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为 __________．
20．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝__________．
三、解答题(共3个小题)
21．如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与⊙O交于点D，D为BC的中点，连接AD，过D作DE⊥AC于E．
(1)求证：DE为⊙O的切线；
(2)若AB＝13，CD＝5，求DE的长．
22．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点A作⊙O的切线，交BC的延长线于点D，取AD的中点E，延长CE交BA的延长线交于点P．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)AB＝2AP，AB＝8，求AD的长．
23．如图在Rt△ABC中，∠C=90 ，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过O作OEAB，交BC于E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)如果⊙O的半径为3，DE=4，求AB的长；
(3)在（2）的条件下，求△ADO的面积．
24.2.2 直线和圆的位置关系解析
1．
【答案】D
【详解】解：∵直线l与⊙O公共点的个数为2个，
∴直线l与⊙O相交，
∴d＜半径＝4，
故选D．
2．
【答案】C
【详解】解：当时，直线与相切．
理由如下：
作AF交圆O于F点，连接BF．
∵∠F，∠C是同弧AB所对的角，
∴∠C＝∠F，
∵∠BAE＝∠C，
∴∠BAE＝∠F，
∵AF为直径，
∴∠ABF＝90°，
∴在三角形ABF中，∠F+∠BAF＝90°，
∵∠F＝∠BAE，
∴∠BAE+∠BAF＝90°，
∴FA⊥DE，
∴直线DE与⊙O相切．
故选：C
．
3．
【答案】B
【详解】解：作OC⊥AB，
又∵⊙O的半径为5cm，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm
∴BO＝5，BC＝4，
∴由勾股定理得OC＝3cm，
∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移2cm．
故选：B．
4．
【答案】A
【详解】解：∵⊙O与直线l无公共点，
∴⊙O与直线l相离．
∴圆心O到直线l的距离大于圆的半径，
∵⊙O直径为10cm，
∴⊙O半径为5cm，
∴圆心O到直线l的距离大于5cm．
故选：A．
5．
【答案】A
【详解】解：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，
∵d＝5cm，r＝6cm，
∴d＜r，
∴直线l与圆相交．
故选：A．
6．
【答案】A
【详解】解：如图，作OH⊥AB于H，⊙O与正方形的边AD切于点F，
则∠OFD＝∠OFA＝90°，∠OHA＝90°，
∵∠A＝90°，OH＝OF，
∴四边形AHOF是正方形，
∵⊙O的半径为4，且，
∴OF＝AF＝OH＝4，AD＝AB＝10，
∴DF＝10－4＝6，
∵与⊙O相切于点，
∴DE＝DF＝6，
故选：A．
7．
【答案】D
【详解】解：如图：作直径AF，连接DF，
∵AE是圆O的切线，
∴∠EAF=90°，
∵∠ADF=90°，
∴∠EAD+∠DAF=90°，∠F+∠DAF=90°，
∴∠F=∠DAE
∵∠DAE=12°（已知），
∴∠F=12°，
∴的度数是2×12°=24°，
∵，
∴弧的度数是×（360°-24°）=112°，
∴的度数是24°+112°=136°，
∴∠ABC=×136°=68°．
故答案为D.
8．
【答案】D
【详解】解：当圆P在轴的上方与轴相切时，平移的距离为，
当圆P在轴的下方与轴相切时，平移的距离为，
综上所述，⊙P向下平移的距离为1或5．
故选：D．
9．
【答案】B
【详解】连接OE，延长EO交BF于点M，
∵C'D'与⊙O相切，
∴∠OEC′＝90°，
又矩形A'BC'D'中，A'B∥C'D'，
∴∠EMB＝90°，
∴BM＝FM，
∵矩形ABCD绕点B旋转所得矩形为A′BC′D′，
∴∠C′＝∠C＝90°，AB＝CD，BC＝BC'＝8，
∴四边形EMBC'为矩形，
∴ME＝8，
设OB＝OE＝x，则OM＝8﹣x，
∵OM2+BM2＝OB2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
∴AB＝CD＝10．
故选：B．
10．
【答案】B
【详解】解：如图，设⊙O与BC相切于点E，连接OE，作OP1⊥AC垂足为P1交⊙O于Q1，
此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OQ1-OP1，
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°，
∵∠OPA=90°，∴OP∥BC．
∵O为AB的中点，∴PC=PA，OP=BC=3．
又∵BC是⊙O的切线，∴∠OEB=90°，
∴OE∥AC,又O为AB的中点，
∴OE=AC=4．
∴P、Q重合时PQ最小值为0，
当Q在AB边上时，P与A重合时，PQ经过圆心，经过圆心的弦最长，
PQ最大值=AO+OQ=5+4=9，
∴PQ长的最大值与最小值的和是9．
故选：B．
11．
【答案】65°
【详解】解：∵是⊙O的切线，
∴AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=（180°－∠A）=65°
故答案为：65°．
12．
【答案】
【详解】解：如图：
在Rt△ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12，
根据勾股定理AB==13，
四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，
∴四边形OECF是正方形，
由切线长定理，得：AD=AE，BD=BF，CE=CF，
∴CE=CF=（AC+BC-AB），
即：r=（5+12-13）=2．
∴该三角形内切圆的周长=．
故答案为：．
13．
【答案】1
【详解】解：如图所示，△ABC是等边三角形，O是△ABC的内心，过点O作OD⊥AB，
∵点O是等边三角形的内心，
∴∠OAD=∠OBD =30°，
∴OA=OB，
∵等边三角形的边长为，
∴AD=AB=，
∴ ，即它的内切圆的半径为：1．
故答案为：1．
14．
【答案】
【详解】解：等腰△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，故AD为BC边上的中线，即BD=DC，
在直角△ABD中，AB=13，BD=5，
∴AD==12，
则S△ABC=×10×12=60．
∵S△ABC=（13+13+10）r，
∴内切圆的半径r=，
故答案为：．
15．
【答案】
【详解】解：如图，连接OD、OE，
∵AB、AC切圆O与E、D，
∴OE⊥AB，OD⊥AC，
在Rt△AEO和Rt△ADO中，
，
∴△AEO≌△ADO（HL），
∴∠DAO＝∠EAO，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴，
∴OD：AO＝1：2，
∴，
故答案为：．
16．【答案】或．
【详解】解：两圆相离有两种情况：
内含时圆心距大于等于0，且小于半径之差，
故；
外离时圆心距大于半径之和，
故，
所以d的取值范围是或．
故答案为：或．
17．
【答案】①②③
【详解】解：如图， 是⊙O的两条切线，
故①正确，
故②正确，
是⊙O的两条切线，
取的中点，连接，则
∴以为圆心，为半径作圆，则共圆，故③正确，
M是△AOP外接圆的圆心，
与题干提供的条件不符，故④错误，
综上：正确的说法是①②③．
故填①②③．
18．
【答案】
【详解】解：如图，AB=7，BC=5，AC=8，内切圆的半径为r，切点为G、E、F，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=5-x．
由勾股定理可知：AD2=AB2-BD2=AC2-CD2，
即72-x2=82-（5-x）2，解得x=1，
∴AD=4，
∵ BC AD= （AB+BC+AC） r，
×5×4=×20×r，
∴r=，
故答案为：
19．
【答案】
【详解】利用切线长定理得出BC＝BD+EC，DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，进而得出答案．
【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点，
∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC＝5cm，
∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm，
故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7(cm)．
故答案为：7cm．
20．
【答案】62°
【详解】解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆，
∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，
∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°，
∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°，
∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°，
∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°，
∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°．
故答案为：62°．
21．
【答案】(1)见解析;(2)
【详解】（1）证明：连接OD，
∵BO＝OA，BD＝DC，
∴OD//AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∴AD⊥BD，
∵BD＝CD＝5，
∴AC＝AB＝13，
∴AD＝＝＝12，
∵
∴，
解得：DE＝，
答：DE的长为．
22．
【答案】(1)见解析;(2)
【详解】（1）证明：连接AC，OC，
∵AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，
∴BAD＝ACB＝90°，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE＝CE，
∴ACE＝CAE，
∵OC＝OA，
∴OAC＝OCA，
∴OCA+ACE＝OAC+CAE＝90°，
∴OCP＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝2AP，AB＝2AO，
∴AP＝AO，
∵OCP＝90°，
∴AC＝OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AOC＝60°，
∴B＝30°，
∵BAD＝90°，
∴BD＝2AD，
在Rt△ADB中，∵，
∴，
∴AD＝．
23．
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
【详解】（1）证明：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：由（1），可得：三角形是直角三角形，
在中，
∵，
∴，
又∵O、E分别是AC、BC的中点，
∴；
（3）解：如图，连接CD，
∵是直径，
∴，
在Rt△ABC中，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵O是AC中点，即OD是△ADC的中线，
∴．24.3 正多边形和圆（附解析）
一、单选题(共10个小题)
1．有一个正n边形的中心角是36°，则n为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知半径为3，则EG的长为（ ）
A． B．3 C． D．6
3．如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（　　 ）
A．6 B．12 C．24 D．48
4．如图所示的图案，其外轮廓是一个正五边形，绕它的中心旋转一定的角度后能够与自身重合，则这个旋转角可能是（ ）
A． B． C． D．
5．若一个正多边形的中心角为40°，则这个多边形的边数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
6．⊙O半径为4，以⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为边作一个三角形，则所得三角形的面积是（　 　）
A． B． C．2 D．2
7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　 ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．如图，已知正六边形的边心距为3，则它的周长是（ ）
A．6 B．12 C． D．
9．如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(共10个小题)
11．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，若AC＝4，则点O到AC的距离为_________．
12．若正六边形和正五边形按如图所示的方式放置，其中两个正多边形底边重合，则的度数为_________．
13．如图，正六边形ABCDEF的周长为24cm，则它的外接圆⊙O的半径为________cm．
14．已知的内接正六边形的边心距为2．则该圆的的半径为______．
15．如图，AC、AD为正六边形ABCDEF的两条对角线，若该正六边形的边长为2，则△ACD的周长为____________．
16．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是 _____．
17．如图，已知点G是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果△EFG的面积为1，那么△FBC的面积等于_______.
18．已知一个正六边形外接圆的半径为8cm，则该正六边形的边心距长为________．
19．如图，六边形是正六边形，边长为1，点P是边的中点，则______，若、分别与交于点M，N，则的值为_______．
20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1+∠2=64°，∠3+∠4=__________°.
三、解答题(共3个小题)
21．如图，已知⊙O内接正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的边心距r6、面积S6．
22．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．
(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．
(2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）．
23．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON
（1）求图1中∠MON的度数
（2）图2中∠MON的度数是　　，图3中∠MON的度数是　　
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____
24.3 正多边形和圆解析
1．
【答案】D
【详解】解：，
故选：D．
2．
【答案】C
【详解】解：连接BE、GO，则BE经过O点，且O是BE的中点，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴，
，
∵DE=EC，
∴，
∵，
∴，
∴，
设EG的长为x，则OG的长为，
∴，
解得：．
故选：C．
3．
【答案】C
【详解】解：连接OC，
∵AB是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOB＝360°÷6＝60°，
∵BC是⊙O内接正八边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷8＝45°，
∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°
∴n＝360°÷15°＝24．
故选：C．
4．
【答案】B
【详解】解：正五边形的中心角，
绕它的中心旋转角度后能够与自身重合，
故选：B．
5．
【答案】A
【详解】解：设这个正多边形的边数是n，
由题意得：，
解得：n＝9，
故选A．
6．
【答案】C
【详解】解：如图1，△ABC为⊙O的内接正三角形，作OM⊥BC于M，连接OB，
∵∠OBC＝∠ABC＝30°，
∴OM＝OB＝2；
如图2，四边形ABCD为⊙O的内接正方形，作ON⊥DC于N，连接OD，
∵∠ODC＝∠ADC＝45°，
∴ON＝DN＝OD＝2；
如图3，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，作OH⊥DE于H，连接OE，
∵∠OED＝∠FED＝60°，
∴EH＝OE＝2，OH＝EH＝2，
∴半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为2，2，2，
∵22+（2）2＝（2）2，
∴以三条边心距所作的三角形为直角三角形，
∴该三角形的面积＝×2×2＝2．
故选：C．
7．
【答案】D
【详解】解：如图，连接，
四边形为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，
点在上，且是和的角平分线，，
，
，
，
恰好是圆O的一个内接正边形的一边，
，
故选：D．
8．
【答案】D
【详解】解：如图，过点作于点，
由题意得：边心距，
六边形是正六边形，
，
是等边三角形，
，
，
，
解得，
则正六边形的周长为，
故选：D．
9．
【答案】C
【详解】解：如图，连接．
是等边三角形，
，
，
是正五边形，
，
．
故选：C．
10．
【答案】D
【详解】解：如图，连接AD交PM于O，则点O是圆心，过点O作ON⊥DE于N，连接MF，取MF的中点G，连接GH，GQ，
由对称性可知，OM＝OP＝EN＝DN＝1，
由正六边形的性质可得ON＝2，
∴ODOF，
∴MF1，
由正六边形的性质可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形，
∴FHMF，
故选：D．
11．
【答案】2
【详解】解：连接OB交AC于M，
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，
∴∠AOB＝∠BOC＝＝45°，AB＝BC，
∴＝，∠AOC＝90°，
∴AM＝CM＝AC＝2，OM⊥AC，
∵OA＝OC，
∠OAM＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝45°，
∴∠OAM＝∠AOB，
∴AM＝OM，
在Rt△AOC中，
∵OA＝OC，OA2+OC2＝AC2，
∴2OA2＝AC2＝42＝16，
∴OA＝2，
在Rt△AOM中，
∵OM2+AM2＝OA2，
∴2OM2＝（2）2，
∴OM＝2，
∴点O到AC距离为2，
故答案为：2．
12．
【答案】12°
【详解】解：∵在正六边形ABCDEF和正五边形ABGHK中，∠，∠，
∴∠GBC=∠ABC-∠ABG=120°-108°=12°，
故答案为：12°．
13．
【答案】4
【分析】先根据正六边形的性质求得△AOB是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答．
【详解】解：连接OA，OB，
∵正六边形ABCDEF
∴∠AOB=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=24÷6=4（cm），即R=4cm．
故答案为4．
14．
【答案】
【详解】如图所示，连接OA、OB，过O作OM⊥AB于M，则OM=2
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OAM=60°，
∴，
∴，
∴该圆的半径为
故答案为：．
15．
【答案】
【详解】解：∵正六边形ABCDEF，
∴∠B＝∠BCD120°，AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BCA＝30°，
∴∠ACD＝120°﹣30°＝90°，
由对称性可得，AD是正六边形的对称轴，
∴∠ADC＝∠ADE∠CDE＝60°，
在Rt△ACD中，CD＝2，∠ADC＝60°，
∴AD＝2CD＝4，ACCD＝2，
∴△ACD的周长为AC+CD+AD＝22+4＝26，
故答案为：26．
16．
【答案】36
【详解】解：∵正五边形ABCDE，
∴∠ABC＝∠EAB==108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，
∴∠ACB＝∠BAC==36°，
∴∠EAC＝∠DCA＝108°﹣36°＝72°，
∴∠DEA+∠EAC＝108°+72°＝180°，
∴DE∥AC，
又∵DE＝AE＝AF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AE∥DF，
∴∠DFC＝∠EAC＝72°＝∠DCA，
∴∠FDC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
故答案为：36°．
17．
【答案】4
【详解】解：如图，连接CE，
，
，
六边形是正六边形，
AB=AF=EF=BC，，
，
，
，
，
四边形BCEF是平行四边形，
，
的面积为1，，
的面积为，
故答案为4．
18．
【答案】cm
【详解】解：如图：连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G
∵在Rt△AOG中，OA=8，∠AOG=30°，
∴AG=4
∴OG= ．
故答案为：cm．
19．
【答案】 3：8
【详解】（1），
（2），
由题意是△PCD的中位线，
，
，
，
，
，
，
20．
【答案】64
【详解】解：如图
∵四边形ABCD接于⊙O，
∴,
又∵△AOC为等腰三角形，
，
∵∠1+∠2=64°，
∴∠3+∠4=180°-64°-2∠5=116°-2∠5，+
∵∠1+∠2+∠B=180°，∠B+∠D=180°，
∴∠B=∠1+∠2=64°
∴∠O=2∠D=128°
在等腰三角形AOC中，
∵2∠5=180°-∠0=180°-128°=52°
∴∠3+∠4=116°-2∠5=116°-52°=64°
故答案为64；
21．
【答案】
【详解】解：如下图所示，连接OB，设OG⊥CB于G，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠COB＝60°，OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴OC＝OB＝6cm，
即⊙O的半径R＝6cm，
∵OC＝OB＝6，OG⊥CB，
∴，
在Rt△COG中，（cm），
∴（cm2）．
22．
【答案】(1)证明见解析;(2)
【详解】（1）证明：如图，连接AE，AD，AC，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴EF＝ED＝CD＝BC，
∴，
∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，
∴过顶点A的三条对角线四等分∠BAF；
（2）解：如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，
设⊙O的半径为r，
∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，
∴△ODE是等边三角形，
∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，
∴∠EOG＝30°，
∴EGr，
∴OGr，
∴正六边形ABCDEF的面积＝6rrr2，
∵⊙O的面积＝πr2，
∴．
23．
【答案】（1）；（2），；（3）．
【详解】（1）如图，连接OB、OC，则，
∵△ABC是⊙O内接正三角形，
中心角∠BOC=，
∵点O是⊙O内接正三角形ABC的内心，
∴，
∴，
在和△ONC中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图1，连接OB、OC，
四边形ABCD是⊙O内接正方形，
中心角，
同（1）的方法可证：；
如图2，连接OB、OC，
五边形ABCDE是⊙O内接正五边形，
中心角，
同（1）的方法可证：，
故答案为：，；
（3）由上可知，的度数与正三角形边数的关系是，
的度数与正方形边数的关系是，
的度数与正五边形边数的关系是，
归纳类推得：的度数与正n边形边数n的关系是，
故答案为：．24.3正多边形和圆—2022-2023学年人教版数学九年级上册堂堂练
1.已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是( )
A.2 B.1 C. D.
2.若一个正多边形的中心角等于其内角，则这个正多边形的边数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如图，若用n个全等的正五边形按如下方式拼接，可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为( )
A.5 B.6 C.8 D.10
4.如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，其外接圆半径为4的正六边形，则顶点F的坐标为( )
A. B. C. D.
5.如图，与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角的大小为( )
A.108° B.118° C.144° D.120°
6.据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也.”斛是中国古代的一种量器.“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉.”意思是说：“斛的底面为正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆.”如图所示.
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为_________尺.（结果用最简根式表示）
7.如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形ABCDEF的半径是，则这个正六边形的周长是______________.
8.如图，正六边形ABCDEF内接于，已知的周长等于6πcm.
（1）求的度数；
（2）求正六边形ABCDEF的周长和面积.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为圆内接正三角形的面积为，所以正三角形的边长为2，所以圆的半径为，设该圆的内接正六边形的边心距为d，则，解得.故选B.
2.答案：B
解析：设这个正多边形的边数为n，由题意，得，解得，故这个正多边形的边数为4.故选B.
3.答案：B
解析：正五边形的每个内角为，组成的正多边形的每个内角为.个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形，组成的正多边形为正n边形，则，解得.
4.答案：C
解析：连接OF.，，是等边三角形，.设EF交y轴于G，则.在中，，，，，的坐标为.
5.答案：C
解析：五边形ABCDE是正五边形，.AB，DE与相切，，.
6.答案：
解析：由题可得外圆半径为尺，内圆半径为（尺），则正方形边长为尺，所以此斛底面的正方形周长为（尺）.
7.答案：
解析：设正六边形的中心为O，连接AO，BO.是正六边形ABCDEF的中心，，，，是等边三角形，，正六边形ABCDEF的周长为.
8.答案：解：（1）连接OB，如图.
正六边形ABCDEF内接于，
，
.
（2）过点O作于点H，
则，
的周长等于6πcm，的半径为3cm，
，，是等边三角形，
cm，cm，
正六边形ABCDEF的周长cm.
（cm），
（）.24.4弧长和扇形面积—2022-2023学年人教版数学九年级上册堂堂练
1.如图，四个三角形拼成一个风车图形，若，风车转动90°，则点B运动路径的长度为( )
A.π B. C. D.
2.将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥形容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥形容器的底面半径为( )
A.10 cm B.30 cm C.45 cm D.300 cm
3.如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
4.如图，将沿弦AB折叠，折叠后恰好经过圆心O，若的半径为3，则的长为( )
A. B.π C. D.
5.如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转40°得到，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
6.如果一个扇形的圆心角为120°，半径为2，那么该扇形的弧长为_____________.
7.将半径为10cm的半圆围成一个圆锥（无底，接缝处无重叠），则这个圆锥的高是___________cm.
8.如图，将绕点A逆时针旋转90°得到，阴影部分为线段BC扫过的区域，已知，，求阴影部分的面积.
答案以及解析
1.答案：A
解析：当风车转动90°时，B点的运动路径是以A为圆心、2为半径的圆弧，因此B点运动路径的长度为，故选A.
2.答案：A
解析：设每个圆锥形容器的底面半径为r cm，则，解得.故选A.
3.答案：D
解析：，.，.故选D.
4.答案：C
解析：如图，连接OA、OB，作于点C，
由题意得，，，
，，
，的长.
5.答案：B
解析：，，，为直角三角形.由题意，得.故选B.
6.答案：
解析：圆心角为120°，半径为2的扇形的弧长.
7.答案：
解析：半径为10cm的半圆围成一个圆锥（无底），圆锥的母线cm，圆锥底面半径cm，圆锥的高（cm）.故答案为.
8.答案：，，由勾股定理得.
将绕点A逆时针旋转90°得到，
的面积等于的面积，
，，，
，
阴影部分的面积.人教版数学九年级上册专项培优练习十七
《扇形的弧长与面积计算》
一 、选择题
1.若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是(　　)
A.3π B.4π C.5π D.6π
2.如图,AB为⊙O的直径,AB=6,AB⊥弦CD,垂足为G,EF切⊙O于点B,∠A=30°,连接AD、OC、BC,下列结论不正确的是（ ）
A.EF∥CD B.△COB是等边三角形 C.CG=DG D.的长为π
3.如图，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到点A′的位置，则图中阴影部分的面积为(　　)
A.π B.2π C. D.4π
4.如图，在正方形ABCD中，AB=2，连接AC，以点C为圆心、AC长为半径画弧，点E在BC的延长线上，则阴影部分的面积为( )
A.6π﹣4 B.6π﹣8 C.8π﹣4 D.8π﹣8
5.底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为( )
A.1：1 B.1：3 C.1：6 D.1：9
6.如图，从一块直径BC是8m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的高是( )
A.4 B.4 C. D.
7.如图，以O为圆心的圆与直线y=－x+交于A、B两点，若△OAB恰为等边三角形，则弧AB的长度为（ ）
A.π B.π C. π D.π
8.如图,正方形ABCD的边长AB=4,分别以点A、B为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点E,则CE弧的长是（ ）
A. B.π C. D.
9.将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放(三角形斜边与半圆相切)，重叠部分(阴影)的量角器圆弧()对应的圆心角(∠AOB)为120°，AO的长为4 cm，OC的长为2 cm，则图中阴影部分的面积为(　 　)
A. cm2 B. cm2
C. cm2 D. cm2
10.如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）．则所得扇形AFB（阴影部分）的面积为（ ）
A．6π B．18 C．18π D．20
11.如图，正三角形ABC的边长为4cm，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，2cm为半径作圆.则图中阴影部分面积为( )
A.(2-π)cm2 B.(π-)cm2 C.(4-2π)cm2 D.(2π-2)cm2
12.如图，AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是( )
A. -2 B. +2 C. 2- D. +
二 、填空题
13.如图，小正方形的边长均为1，点B、O都在格点上，以O为圆心，OB为半径画弧，如图所示，则劣弧BC的长是　　　　　　．
14.有一个圆柱，它高等于12 cm，底面半径等于3 cm，如图，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，则它沿圆柱侧面爬行最短路程是 cm(π取3).
15.如图，扇形ABC的圆心角为直角，四边形AEGF是正方形，CD∥AB交EG的延长线于点D，若扇形的半径为，则阴影部分的面积为 ．
16.如图，平行四边形ABCD中，BE⊥AD于点E，以C为圆心，BC长为半径画弧，恰好过AD的中点F，若BC=4，BE=2，则图中阴影部分的面积为 .
17.如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=2cm，C为弧AB的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为 cm2．
18.如图,△ABC是边长为1的正三角形,弧AB和弧AC所对圆心角均为120°,则图中阴影部分面积为 ．
三 、解答题
19.如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连接AC，BD.
(1)求证：AC=BD；
(2)若图中阴影部分的面积是π cm2，OA=2 cm，求OC的长.
20.如图1，图2…、图m是边长均大于2的三角形、四边形、…、凸n边形.分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧…、n条弧.
(1)图1中3条弧的弧长的和为________，图2中4条弧的弧长的和为_______；
(2)求图m中n条弧的弧长的和(用n表示).
21.如图，有一直径是 m的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形BAC.
(1)求AB的长；
(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为多少米.
　　
22.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=2，以点A为圆心，AD为半径的圆与BC相切于点E，交AB于点F.
(1)求∠ABE的大小及的长度；
(2)在BE的延长线上取一点G，使得上的一个动点P到点G的最短距离为2－2，求BG的长.
23.如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10 cm，母线OE(OF)长为10 cm.在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2 cm，一只苍蝇从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到点A.
(1)求该圆锥形纸杯的侧面积；
(2)此苍蝇爬行的最短距离是多少？
24.如图，在扇形AOB中，OA、OB是半径，且OA=4，∠AOB=120°.点P是弧AB上的一个动点，连接AP、BP，分别作OC⊥PA，OD⊥PB，垂足分别为C、D，连接CD.
(1)如图①，在点P的移动过程中，线段CD的长是否会发生变化？若不发生变化，请求出线段CD的长；若会发生变化，请说明理由；
(2)如图②，若点M、N为弧AB的三等分点，点I为△DOC的外心.当点P从点M运动到N点时，点I所经过的路径长为__________.(直接写出结果)
参考答案
1.B
2.D
3.B
4.A
5.D
6.D
7.C
8.A
9.C
10.B
11.C
12.A
13.答案为:π．
14.答案为：15.
15.答案为：﹣1．
16.答案为：6﹣π.
17.答案为：（0.5π+﹣0.5）．
18.答案为：
19.解：(1)证明：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC＋∠AOD=∠BOD＋∠AOD.
∴∠AOC=∠BOD.
∵AO=BO，CO=DO，
∴△AOC≌△BOD(SAS).
∴AC=BD.
(2)根据题意，得OC=1.∴OC=1cm.
20.解：(1)利用弧长公式可得
++=π，因为n1+n2+n3=180°.
同理，四边形的=+++=2π，
因为四边形的内角和为360度；
(2)n条弧=++++…==(n﹣2)π.
21.解：(1)如图，连结BC.
∵∠BAC=90°，
∴BC为⊙O的直径，即BC= m，
∴AB=BC=1(m)；
(2)设所得圆锥的底面圆的半径为r(m)，
由题意，得2πr=，解得r=.
答：圆锥的底面圆的半径为 m.
22.解：（1）连接AE，如图，
∵以AD为半径的圆与BC相切于点E，
∴AE⊥BC，AE=AD=2.
在Rt△AEB中，AE=2，AB=2，
∴BE=2，即△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE=45°.
∵AD∥BC，
∴∠DAB＋∠ABE=180°，
∴∠DAB=135°，
∴的长度为=；
（2）如图，根据两点之间线段最短，可得当A，P，G三点共线时PG最短，
此时AG=AP＋PG=2＋2－2=2，
∴AG=AB.
∵AE⊥BG，
∴BE=EG.
∴BG=2BE=4.
23.解：(1)由题意，得底面半径r=5 cm，母线长l=10 cm，
则圆锥侧面积为S侧=πrl=50π(cm2).　
(2)将圆锥沿母线OE剪开，
则得到扇形的圆心角θ=·360°=×360°=180°.
连结AE，如图所示，即AE为苍蝇爬行的最短路径，
且OA=8 cm，OE=10 cm，θ1=θ=90°.
故苍蝇爬行的最短距离AE===2(cm).
24.解：(1)线段CD的长不会发生变化.
连接AB，过O作OH⊥AB于H.
∵OC⊥PA，OD⊥PB，
∴AC=PC，BD=PD.
∴CD=0.5AB.
∵OA=OB，OH⊥AB，
∴AH=BH=0.5AB，∠AOH=0.5∠AOB=60°.
在Rt△AOH中，∵∠OAH=30°，∴OH=2.
∴在Rt△AOH，由勾股定理得AH=.
∴AB=.∴CD=.
(2).第二十四章测评
(时间:45分钟,满分:100分)
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.在矩形ABCD中,AB=8,BC=3,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是(　　)
A.点B,C均在圆P外
B.点B在圆P外、点C在圆P内
C.点B在圆P内、点C在圆P外
D.点B,C均在圆P内
2.(2020·黑龙江鸡西中考)如图,点A,B,S在圆上,若弦AB的长度等于圆半径的倍,则∠ASB的度数是 (　　)
A.22.5° B.30° C.45° D.60°
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F等于(　　)
A.92° B.108° C.112° D.124°
4.如图,CD为圆O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM∶MD=5∶8,则圆O的周长为(　　)
A.26π B.13π C. D.
5.如图,从一块直径为2 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为(　　)
A. m2 B.π m2 C.π m2 D.2π m2
6.(2020·江苏南京中考)如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,☉P与x轴、y轴都相切,且经过矩形AOBC的顶点C,与BC相交于点D.若☉P的半径为5,点A的坐标是(0,8).则点D的坐标是(　　)
A.(9,2) B.(9,3) C.(10,2) D.(10,3)
7.如图,点P是等边三角形ABC外接圆☉O上的点,在下列判断中,不正确的是(　　)
A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形
B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥AC
C.当PO⊥AC时,∠ACP=30°
D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形
8.如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB,AC于点E,D,DF是圆O的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为(　　)
A.4 B.3 C.6 D.2
二、填空题(每小题4分,共20分)
9.如图,点A,B,C在半径为9的☉O上,的长为2π,则∠ACB的大小是　　　　　.
10.(2020·湖北黄石中考改编)如图,点A,B,C在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若∠DCE=40°,则∠ACB的度数为　　　　　.
11.如图,在☉O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=　　　　　°.
12.如图,AB为☉O的直径,C为☉O外一点,过点C作☉O的切线,切点为B,连接AC交☉O于点D,∠C=38°.点E在AB右侧的半圆周上运动(不与A,B重合),则∠AED的度数为　　　　　.
13.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC,垂足为D,连接BD,BC,AB=5,AC=4,则BD=　　　　　.
三、解答题(共48分)
14.(10分)在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).
(1)画出△ABC的外接圆☉P,并指出点D与☉P的位置关系;
(2)若直线l经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线l与☉P的位置关系.
15.(12分)已知BC是☉O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是☉O的弦,∠AEC=30°.
(1)求证:直线AD是☉O的切线;
(2)若AE⊥BC,垂足为点M,☉O的半径为4,求AE的长.
16.(12分)如图,已知在☉O中,AB=4,AC是☉O的直径,AC⊥BD,垂足为F,∠A=30°.
(1)求图中阴影部分的面积;
(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.
17.(14分)如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,☉O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC,OF交AC于点E,交PC于点F,连接AF.
(1)判断AF与☉O的位置关系并说明理由;
(2)若☉O的半径为4,AF=3,求AC的长.
第二十四章测评答案
一、选择题
1.C　2.C
3.C　∵∠ACB=90°,∠A=56°,
∴∠B=34°.
在☉O中,∵,
∴∠COE=2∠B=68°,
∴∠F=112°,故选C.
4.B　连接OA,
设OM=5x,MD=8x,
则OA=OD=13x.
又AB=12,由垂径定理可得AM=6,
∴在Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=,
∴半径r=OA=.根据圆周长公式C=2πr,得圆O的周长为13π.
5.A　如图,连接AC,
∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,即∠ABC=90°,
∴AC为直径,即AC=2m,AB=BC.
∵AB2+BC2=22,
∴AB=BC=(m).
∴阴影部分的面积是
(m2).故选A.
6.A
7.C　对于选项A,当弦PB最长时,PB是☉O的直径,O既是等边三角形ABC的内心,也是外心,所以∠ABP=∠CBP,根据圆周角性质,,所以PA=PC;对于选项B,当△APC是等腰三角形时,点P是的中点或与点B重合,由垂径定理,都可以得到PO⊥AC;对于选项C,当PO⊥AC时,由点P是的中点或与点B重合,易得∠ACP=30°或∠ACP=60°;对于选项D,当∠ACP=30°时,分两种情况,点P是的中点,都可以得到△BPC是直角三角形.
8.B　连接OD,因为DF为圆O的切线,所以OD⊥DF.
因为△ABC为等边三角形,所以AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°.
因为OD=OC,所以△OCD为等边三角形.
所以OD∥AB.所以DF⊥AB.
又O为BC的中点,
所以D为AC的中点.
在Rt△AFD中,∠ADF=30°,AF=2,所以AD=4,即AC=8.
所以FB=AB-AF=8-2=6.
在Rt△BFG中,∠BFG=30°,
所以BG=3,则根据勾股定理得FG=3,故选B.
二、填空题
9.20°　连接OA,OB.
设∠AOB=n°.
∵的长为2π,∴=2π.∴n=40,∴∠AOB=40°.
∴∠ACB=∠AOB=20°.
10.110°
11.215　在圆内接四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,∠B=180°-∠ADC.在圆内接四边形ACDE中,∠E+∠ACD=180°,∠E=180°-∠ACD,故∠B+∠E=180°-∠ADC+180°-∠ACD=180°+(180°-∠ADC-∠ACD)=180°+∠CAD=180°+35°=215°.
12.38°　如图,连接BE,则直径AB所对的圆周角∠AEB=90°.由BC是☉O的切线得∠ABC=90°,∠BAC=90°-∠C=90°-38°=52°.因为∠BAC=∠BED=52°,所以∠AED=∠AEB-∠BED=90°-52°=38°.
13.　由垂径定理,得CD=2,由AB是☉O的直径,得∠C=90°.由勾股定理,得BC=3,在Rt△BCD中,由勾股定理得BD=.
三、解答题
14.解(1)所画☉P如图所示.由图可知,☉P的半径为.
连接PD,∵PD=,∴点D在☉P上.
(2)直线l与☉P相切.
理由如下:连接PE.因为直线l过点D(-2,-2),E(0,-3),所以PE2=12+32=10,PD2=5,DE2=5,所以PE2=PD2+DE2.
所以△PDE是直角三角形,且∠PDE=90°.所以PD⊥l.故直线l与☉P相切.
15.(1)证明连接OA,∵∠AEC=30°,
∴∠ABC=30°.
∵AB=AD,
∴∠D=∠ABC=30°.
∴∠BAD=120°.
∴OA=OB,
∴∠OAB=∠ABC=30°.
∴∠OAD=∠BAD-∠OAB=90°.∴OA⊥AD.
∵点A在☉O上,∴直线AD是☉O的切线.
(2)解∵∠AEC=30°,
∴∠AOC=60°.
∵BC⊥AE于点M,
∴AE=2AM,∠OMA=90°.
在Rt△AOM中,OM=2,AM=2,∴AE=2AM=4.
16.解(1)在Rt△ABF中,∠A=30°,则BF=AB=2,于是AF==6.
在Rt△BOF中,OB2=OF2+BF2=(AF-OA)2+BF2,
又OB=OA,∴OA2=(6-OA)2+(2)2.
∴OA=4.∵∠BAO=30°,
∴∠BOF=2∠BAO=60°.
又OB=OD,OC⊥BD,
∴∠BOD=2∠BOF=120°.
∴S阴影=.
(2)设圆锥的底面圆的半径为r,则2πr=,解得r=.
17.解(1)AF是☉O的切线.理由如下:
连接OC,∵AB是☉O的直径,∴∠BCA=90°.
∵OF∥BC,∴∠AEO=90°,
即OF⊥AC.∵OC=OA,
∴∠COF=∠AOF,
∴△OCF≌△OAF.
∴∠OAF=∠OCF=90°,
∴FA⊥OA,
即AF是☉O的切线.
(2)∵☉O的半径为4,AF=3,FA⊥OA,∴OF==5.
∵FA⊥OA,OF⊥AC,
∴AF·OA=OF·EA,
∴3×4=5EA,
解得AE=,AC=2AE=.2022-2023学年人教版九年级数学上册
第24章《圆》单元综合达标测试题
一.选择题（共30分）
1．已知OA＝5cm，以O为圆心，r为半径作⊙O．若点A在⊙O内，则r的值可以是（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
2．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（　　）
A．3 B．2.5 C．4 D．3.5
3．对于命题“已知a∥b，b∥c，求证：a∥c”，如果用反证法，应先假设（　　）
A．a不平行于b B．b不平行于c C．a不平行于c D．a⊥c
4．已知⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O有公共点（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定
5．如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（　　）
A．65° B．60° C．55° D．50°
6．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为（　　）
A．π B．π C． D．
7．如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠ACB＝∠AOB，则∠AOB的度数是（　　）
A．60° B．90° C．100° D．120°
8．如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
10．如图所示，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题（共24分）
11．若正六边形的边长为4，那么正六边形的半径是　 　．
12．90°的圆心角所对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是 　 　．
13．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD．若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是　 　．
14．已知△ABC三边的长分别为5、12、13，那么△ABC内切圆的半径为　 　．
15．一个边长为2的正方形，能够将它完全覆盖的最小的圆形纸片的直径是 　 　．
16．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ADC＝58°，则∠BAC＝　 　°．
17．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若圆锥的底面圆半径r为2cm，扇形的圆心角θ＝90°，则此圆锥侧面积是 　 　cm2．
18．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝，以对角线BD为直径的⊙O与CD切于点D，与BC交于点E，∠ABD＝30°，则图中阴影部分的面积为 　 　．（结果保留π和根号）
三.解答题：（共66分）
19．利用尺规作图找出下图残破的圆的圆心，请保留作图痕迹．
20．如图，⊙O是△ABC外接圆，∠A＝45°，BD为⊙O的直径，BD＝2，连接CD，求BC的长．
21．如图，AB，DE是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，且＝，求证：BE＝CE．
22．如图，△ABC内接于⊙O．AB＝AC，D是圆上任一点，∠ADE＝∠ACB．求证：DA平分∠EDC．
23．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为16m，拱高CD为4m．设拱桥所在圆心为O，求拱桥的半径．
24．已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD．求证：DC是⊙O的切线．
25．如图1，△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN．
（1）求证：∠BAC＝∠DOC；
（2）如图2，若AC是⊙O的直径，E是OD的中点，⊙O的半径为4，求AE的长．
26．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
（1）求证：∠DAC＝∠DBA；
（2）求证：PD＝PF；
（3）连接CD，若CD＝3，BD＝4，求⊙O的半径．
27．已知直线m与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥m于点D．
（1）如图1，当直线m与⊙O相交于点E、F时，求证：∠DAE＝∠BAF．
（2）如图2，当直线m与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝35°，求∠BAC的大小；
（3）若PC＝2，PB＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
28．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
（2）当t为何值时，PQ与⊙O相切？
参考答案
一.选择题（共30分）
1．解：∵OA＝5cm，点A在⊙O内，
∴OA＜r，即r＞5．
故选：D．
2．解：连接AO，
∵AB＝8，OP⊥AB，
∴AP＝AB＝4，∠OPA＝90°，
∵AO＝5，
∴OP＝＝＝3，
故选：A．
3．解：由于命题：“已知：a∥b，b∥c，求证：a∥c”的反面是：“a不平行c”，
故用反证法证明：“已知：a∥b，b∥c，求证：a∥c”，应假设“a不平行c”，
故选：C．
4．解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，
∵5＞3，
即：d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
则直线l与⊙O有公共点2个．
故选：C．
5．解：∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
由圆周角定理得，∠A＝∠BOC＝50°，
故选：D．
6．解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
在四边形APBO中，∠P＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝2，
∴的长l＝＝π，
故选：C．
7．解：如图，在优弧AB上取一点D，连接AD，BD．
∵∠ACB+∠ADB＝180°，∠ACB＝∠AOB＝2∠ADB，
∴2∠ADB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝120°，
故选：D．
8．解：延长BO交⊙O于D，连接CD，
则∠BCD＝90°，∠D＝∠A＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∵BD＝2R，
∴DC＝R，
∴BC＝R，
故选：D．
9．解：连接DC，如图所示，
∵C（，0），D（0，1），∠DOC＝90°，
∴OD＝1，OC＝，
∴∠DCO＝30°，
∴∠OBD＝30°，
故选：B．
10．解：∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，选项①正确；
连接OD，如图，
∵D为BC中点，O为AB中点，
∴DO为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE为圆O的切线，选项④正确；
又OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠EDA＝∠BDO，
∴∠EDA＝∠B，选项②正确；
由D为BC中点，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC＝AB，又OA＝AB，
∴OA＝AC，选项③正确；
则正确结论的个数为4个．
故选：D．
二.填空题（共24分）
11．解：正6边形的中心角为360°÷6＝60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，
∴边长为4的正六边形外接圆半径是4，即正六边形的半径是4．
故答案为：4．
12．解：设扇形的半径为r．
由题意，6π＝，
∴r＝12．
故答案为：12．
13．解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，
∴OB平分∠ABC，OD⊥BC，
∴∠OBD＝∠ABC＝×40°＝20°，
∴∠BOD＝90°﹣∠OBD＝70°．
故答案为70°．
14．解：如图，圆O为△ABC内切圆，切点分别为D、E、F，连接OF、OE、OD，则OF⊥AC，OE⊥BC，OD⊥AB．
由切线长定理，可知AF＝AD，CF＝CE，BD＝BE，
∴OE＝OF＝CE＝CF，
又∵52+122＝132，∴∠C＝90°，
∴四边形FCEO为正方形，
∴CE＝
＝
＝2．
故答案为2．
15．解：如图，连接AC，
由题意得：能够将正方形完全覆盖的最小的圆是正方形ABCD的外接圆，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，
则AC＝＝＝2，
∵∠ABC＝90°，
∴AC为正方形ABCD的外接圆的直径，
∴能够将正方形完全覆盖的最小的圆的直径为2，
故答案为：2．
16．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠ADC＝58°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝32°．
故答案为32．
17．解：由题意，得2π×2＝．
∴l＝8，
∴S侧＝＝16π（cm2）．
故答案为：16π．
18．解：连接OE，过点O作OF⊥BE于点F．
∵∠ABC＝90°，AD＝，∠ABD为30°，
∴BD＝2，
∴AB＝3，
∵OB＝OE，∠DBC＝60°，OF⊥BE，
∴OF＝，
∵CD为⊙O的切线，
∴∠BDC＝90°，
∴∠C＝30°，
∴BC＝4，
S阴影＝S梯形ABCD﹣S△ABD﹣S△OBE﹣S扇形ODE
＝﹣﹣﹣
＝﹣﹣﹣π
＝﹣π．
故答案为：﹣π．
三.解答题：（共66分.）
19．解：如图所示：
点O即为所求．
20．解：∵∠A＝45°，
∴∠D＝45°，
∵BD为直径，
∴∠BCD＝90°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC＝BD，
∵BD＝2，
∴BC＝．
21．答：BE＝CE．理由如下：
证明：∵AB、DE是⊙O的直径，
∴∠AOD＝∠BOE，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴BE＝CE．
22．证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ADC＝∠ABC，
∴∠ADC＝∠ACB，
∵∠ADE＝∠ACB，
∴∠ADC＝∠ADE，
∴DA平分∠EDC．
23．解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，
连接OA．根据垂径定理，得AD＝8m，
设半径为rm，在Rt△AOD中，（r﹣4）2+82＝r2
r＝10
答：拱桥圆弧的半径是10米．
24．证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，即∠OBC＝90°，
∵OC∥AD，
∴∠BOC＝∠OAD，∠DOC＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠BOC＝∠DOC，
在△BOC和△DOC中，
，
∴△BOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线．
25．（1）证明：连接OB，如图1，
∵直线MN与⊙O相切于点D，
∴OD⊥MN，
∵BC∥MN，
∴OD⊥BC，
∴＝，
∴∠BOD＝∠COD，
∵∠BAC＝∠BOC，
∴∠BAC＝∠COD；
（2）∵E是OD的中点，
∴OE＝DE＝2，
在Rt△OCE中，CE＝＝＝2，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE＝2，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴AB＝＝＝4，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝2．
26．（1）证明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD＝∠DBA，
∵∠DAC＝∠CBD，
∴∠DAC＝∠DBA；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠DAB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠EDB+∠ABD＝90°，
∴∠EDB＝∠DAB，
∵∠DFA＝∠BAF+∠ABF，∠DAC＝∠DBA，
∴∠DFA＝∠BAF+∠DAF＝∠DAE，
∴∠EDB＝∠DFA，
∴PD＝PF；
（3）解：连接CD，
∵∠CBD＝∠DBA，
∴＝，
∴CD＝AD＝3，
∵∠ADB＝90°，BD＝4，
∴AB＝＝＝5，
故⊙O的半径为2.5．
27．证：（1）连接AE，BF，
∵AD⊥m，
∴∠DAE+∠DEA＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ABF+∠BAF＝90°，
∵四边形AEFB是圆内接四边形，
∴∠AEF+∠ABF＝180°，
又∵∠AEF+∠DEA＝180°，
∴∠ABF＝∠DEA，
∴∠DAE＝∠BAF．
（2）连接OC，
∵DC是⊙O的切线，
∴OC⊥DP，
又∵AD⊥DP，
∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠DAC＝35°，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA＝35°．
故∠BAC的度数为35°．
（3）设OC为x，则OP为x+2，
在Rt△OCP中，有OC2+CP2＝OP2，
则，
解得：x＝2，
∴∠COP＝60°，
∴S阴影＝S△OCP﹣S扇形OCP＝＝．
答：阴影部分的面积为．
28．解：（1）∵直角梯形ABCD，AD∥BC，
∴PD∥QC，
∴当PD＝QC时，四边形PQCD为平行四边形；
∵AP＝t，CQ＝2t，
∴8﹣t＝2t
解得：，
∴当时，四边形PQCD为平行四边形．
（2）设PQ与⊙O相切于点H过点P作PE⊥BC，垂足为E；
∵直角梯形ABCD，AD∥BC，
∴PE＝AB，
∵AP＝BE＝t，CQ＝2t，
∴BQ＝BC﹣CQ＝22﹣2t，EQ＝BQ﹣BE＝22﹣2t﹣t＝22﹣3t；
∵AB为⊙O的直径，∠ABC＝∠DAB＝90°，
∴AD、BC为⊙O的切线，
∴AP＝PH，HQ＝BQ，
∴PQ＝PH+HQ＝AP+BQ＝t+22﹣2t＝22﹣t；
在Rt△PEQ中，PE2+EQ2＝PQ2，
∴122+（22﹣3t）2＝（22﹣t）2，
即：8t2﹣88t+144＝0，
∴t2﹣11t+18＝0，
（t﹣2）（t﹣9）＝0，
∴t1＝2，t2＝9；
∵P在AD边运动的时间为秒，
∵t＝9＞8，
∴t＝9（舍去），
∴当t＝2秒时，PQ与⊙O相切．2022-2023学年人教版九年级数学上册
第24章《圆》基础训练
一、单选题
1．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接BD，若AB＝AD＝CD，∠BDC＝75°，则∠C的度数为（　　）
A．55° B．60° C．65° D．70°
2．如图，，，是上的三点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在⊙O中，AB是弦，半径于点D，若OC＝10，AB＝16，则CD的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A：∠C＝1：2，则∠C＝（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
5．如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是( )
A．25° B．35° C．40° D．50°
6．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（　　）
A．10 B．18 C．20 D．22
7．如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（　　）
A．3 B． C． D．3
9．如图，矩形中，，，以为直径的半圆与相切于点，连接，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．在中，，，．把绕点顺时针旋转后，得到，如图所示，则点所走过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．⊙O中的弦AB长等于半径长，则弦AB所对的圆周角是________．
12．如图，在⊙O内接四边形中，若，则________．
13．如图，⊙O的直径AB＝4，P为⊙O上的动点，连结AP，Q为AP的中点，若点P在圆上运动一周，则点Q经过的路径长是______．
14．中，，，，圆是的内切圆，则图中阴影部分的面积为________．（结果不取近似值）
15．如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为________．
三、解答题
16．如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP∶AP＝1∶5．求CD的长．
17．如图，△ABC是等边三角形，D是上任一点，求证：DB+DC=DA．
18．如图，AD，BD是的弦，，且，点C是BD的延长线上的一点，，求证：AC是的切线．
19．如图，在菱形中，是上一点，且， 经过点、、．
（1）求证；
（2）求证与相切．
20．已知正六边形内接于，图中阴影部分的面积为，则的半径为多少？
21．如图，已知等边的边长为6，以为直径的与边，分别交于D，E两点，连结，．
（1）求的度数．
（2）求劣弧的长．
22．如图所示是一个纸杯，它的母线延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图是扇形OAB，经测量，纸杯开口圆的直径为6cm，下底面直径为4，母线长EF=9cm，求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积．（结果保留根号和π）
参考答案
1．D
2．B
3．C
4．A
5．C
6．C
7．D
8．C
9．A
10．D
11．30°或150°
12．80
13．
14．
15．6π+6
16．解：连接OC，
∵⊙O的直径AB＝12，
∴OB＝AB＝6，
∴OC＝6，
∵BP∶AP＝1∶5，
∴BP＝AB＝×12＝2，
∴OP＝OB﹣BP＝6﹣2＝4，
∵CD⊥AB，
∴CD＝2PC，
在Rt△OPC中，
∵OC＝6，OP＝4，
∴PC＝＝＝2，
∴CD＝2PC＝4．
17．解：延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE
∵△ABC是等边三角形
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC
∴∠ADB＝∠ACB＝60°
∵四边形ABDC是圆内接四边形
∴∠ABE＝∠ACD
在△AEB和△ADC中，
∴△AEB≌△ADC
∴AE＝AD
∵∠ADB＝60°
∴△AED是等边三角形
∴AD＝DE＝DB＋BE
∵BE＝DC
∴DB＋DC＝DA．
18．证明：连接AB，
∵，且
∴AB为直径，AB2=82+42=80，
∵CD=2，AD=4
∴AC2=22+42=20
∵CD=2，BD=8,
∴BC2=102=100
∴，
∴
∴AC是的切线．
19．证明：（1）四边形是菱形，
，，，
，
，，
，
，
，
；
（2）连接，，
，，
，
，
，
，
，
，
又点在上，
与相切．
20．解：连接DO并延长，交BF于点G．
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴阴影部分为正三角形，
设边长是a，则FG=a，DG=a，
则面积是a×a=，即=，
解得a=4，
则DG=BD sin60°=4×=6
∴半径OD=DG=6×=4．
21．解：（1）∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴△AOD、△OBE都为等边三角形，
∴，
∴；
（2）由（1）及弧长计算公式可得：
．
22．解：由题意可知：=6πcm， =4π，设∠AOB=n，AO=R，则CO=R﹣9， 由弧长公式得：l=，
∴，
解得：n=40，R=27，
故扇形OAB的圆心角是40度．
∵R=27，R﹣9=18，
∴S扇形OCD= ×4π×18=36π（cm2），
S扇形OAB= ×6π×27=81π（cm2），
纸杯侧面积=S扇形OAB﹣S扇形OCD=81π﹣36π=45π（cm2），
纸杯底面积=π 22=4π（cm2）
纸杯表面积=45π+4π=49π（cm2）．2022-2023学年人教版九年级数学上册
第24章《圆》提升训练
一、单选题
1．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（　　）
A．28° B．30° C．36° D．56°
2．如图，AC是的直径，弦于E，连接BC，过点O作于F，若，，则OE的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
3．如图，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，若，，则CD的长为（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，中，是的直径，交于点，交于点，点是中点，的切线交于点，则下列结论中①；②；③；④是中点，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，D是边BC上一点，且BD﹕CD=1﹕2，点O在AD上，⊙O与AB、BC相切，则⊙O的面积为（ ）
A． B． C． D．2
6．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，F是AC上的点，判断下列说法错误的是（　　）
A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线
B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥AC
C．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线
D．若，则AC是⊙O的切线
7．如图所示，已知为的直径，直线为圆的一条切线，在圆周上有一点，且使得，连接，则的大小为( )
A． B． C． D．
8．连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法不正确的是（ ）
A．四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等 B．连接HD，则HD平分∠CHE
C．整个图形不是中心对称图形 D．是等边三角形
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，分别以点A，B，C为圆心，AB的长为半径画弧，与该三角形的边相交，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．96﹣π B．96﹣25π C．48﹣π D．48﹣π
10．如图，在中，，，AB=2．将绕直角顶点顺时针旋转60°得到，则点转过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在中、三条劣弧、、的长都相等，弦与相交于点，弦与的延长线相交于点，且，则的度数为________．
12．如图，是半圆的直径，四边形和都是正方形，其中，，在上，、在半圆上．若则正方形的面积与正方形的面积之和是16，则的长为________．
13．在中，，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线，交于点E，点P为射线上一动点．若存在是以为斜边的直角三角形，则的长为_________．
14．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积，设的半径为1，则__________.
15．如图，在中，，以点A为圆心，2为半径的与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是上的一点，且，则图中阴影部分的面积是_______（结果保留）．
三、解答题
16．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，⊙O经过点A、C、D，分别交边AB、BC于点E、F，连接DE、DF，且DE＝DF．
（1）求证：AB//CD；
（2）连接AF，求证：AB＝AF．
17．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．
(1)求证：∠BOD＝2∠A；
(2)连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．
18．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若CD＝，求⊙O的半径．
19．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，D是上一点，AD与BC交于E，AF⊥DB，垂足为F．
（1）求证：∠ADB＝∠CDE；
（2）若AF＝DC＝6，AB＝10，求△DBC的面积．
20．如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．
(1)求证：CD∥AB．
(2)若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．
21．如图,在半径为2的⊙O中,点Q为优弧MN的中点,圆心角∠MON=60°,在弧QN上有一动点P,且点P到弦MN所在直线的距离为x.

(1)求弦MN的长;
(2)试求阴影部分面积y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)试分析比较,阴影部分面积y与的大小关系.
22．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上(不与点A、B重合)的任一点，点C、D为⊙O上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．
(1)若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；
(2)若的长为π，求“回旋角”∠CPD的度数；
(3)若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+13，直接写出AP的长．
参考答案
1．A
2．A
3．D
4．C
5．C
6．C
7．C
8．D
9．D
10．A
11．
12．8
13．或
14．
15．
16．解：（1）∵AD//BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵DE＝DF，
∴ ，
∴，
∴，
∴∠A＝∠C，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB//CD；
（2）连接AF，
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵四边形AFCD是圆内接四边形，
∴∠AFC+∠D＝180°，
∵∠AFC+∠AFB＝180°，
∴∠AFB＝∠D＝∠B，
∴AB＝AF．
17．
（1）
证明：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴，
∴∠CAB＝∠BAD，
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝2∠CAB；
（2）
证明：如图，连接OC，AD，
∵F为AC的中点，
∴DF⊥AC，
∴AD＝CD，
∴∠ADF＝∠CDF，
∵，
∴∠CAB＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CDF＝∠CAB，
∵OC＝OD，
∴∠CDF＝∠OCD，
∴∠OCD＝∠CAB，
∵，
∴∠CAB＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠OCD，
∵∠E＝，
∴∠CDE+∠DCE＝，
∴∠OCD+∠DCE＝，
即OC⊥CE，
∵OC为半径，
∴直线CE为⊙O的切线．
18．
（1）
连接OC，如图，
∵，
∴∠FAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC//AF，
∵CD⊥AF，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）
连接BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵，
∴∠BOC=×180°=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，CD=，
∴AC=2CD=，
在Rt△ACB中，BC2+AC2=AB2，
即（）2+（AB）2=AB2，
∴AB=8，
∴⊙O的半径为4．
19．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠ADB，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠CDE＝∠ABC，
∴∠ADB＝∠CDE；
（2）解：作AM⊥CD于点M，
∵AB＝10，AF＝6，
∴BF＝8，
∵AD平分∠BDM，AM＝AF＝6，
∴△ACM≌△ABF，
∴CM＝BF＝8，
∴DF＝DM＝CM﹣CD＝2．
∴BD＝BF+DF＝10＝AB．
∴∠BAD＝∠ADB＝∠ADM，
∴AB∥CD，
∴S△DBC＝S△ADC＝CD×AM＝18．
20．
（1）
证明：∵，
∴∠ACD＝∠DBA，
又∵∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴CD∥AB．
（2）
如图，连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD=2∠ACD＝60°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴S扇形BOD＝．
在Rt△ODE中，
∵DE＝OD×cos30°＝＝，
∴S△BOD＝＝＝，
∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD＝．
∴S阴影＝．
21．(1) ∵OM=ON,∠MON=60°,∴△MON是等边三角形,∴MN=OM=ON=2.
(2) 作OH⊥MN于H点,∴.在Rt△OHN中, ,
∴.,
∴,即.
(3) 令,即,∴.当时,;
当时,;当时,.
22.
（1）∠CPD是直径AB的“回旋角”，
理由：∵∠CPD＝∠BPC＝60°，
∴∠APD＝180°﹣∠CPD﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠BPC＝∠APD，
∴∠CPD是直径AB的“回旋角”；
(2)如图1，∵AB＝26，
∴OC＝OD＝OA＝13，
设∠COD＝n°，
∵的长为π，
∴n＝45，
∴∠COD＝45°，
作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE，
∴∠BPC＝∠OPE，
∵∠CPD为直径AB的“回旋角”，
∴∠APD＝∠BPC，
∴∠OPE＝∠APD，
∵∠APD+∠CPD+∠BPC＝180°，
∴∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，
∴点D，P，E三点共线，
∴∠CED＝∠COD＝22.5°，
∴∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠APD＝∠BPC＝67.5°，
∴∠CPD＝45°，
即：“回旋角”∠CPD的度数为45°，
(3)①当点P在半径OA上时，如图2，过点C作CF⊥AB交⊙O于F，连接PF，
∴PF＝PC，
同(2)的方法得，点D，P，F在同一条直线上，
∵直径AB的“回旋角”为120°，
∴∠APD＝∠BPC＝30°，
∴∠CPF＝60°，
∴△PCF是等边三角形，
∴∠CFD＝60°，
连接OC，OD，
∴∠COD＝120°，
过点O作OG⊥CD于G，
∴CD＝2DG，∠DOG＝∠COD＝60°，
∴DG＝ODsin∠DOG＝13×sin60°＝
∴CD＝，
∵△PCD的周长为24+13，
∴PD+PC＝24，
∵PC＝PF，
∴PD+PF＝DF＝24，
过O作OH⊥DF于H，
∴DH＝DF＝12，
在Rt△OHD中，OH＝
在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，
∴OP＝10，
∴AP＝OA﹣OP＝3；
②当点P在半径OB上时，
同①的方法得，BP＝3，
∴AP＝AB﹣BP＝23，
即：满足条件的AP的长为3或23．第二十四章 圆（测基础）——2022-2023学年
人教版数学九年级上册单元闯关双测卷
【满分：120】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列说法中错误的是( )
A.圆有无数条直径 B.连接圆上任意两点之间的线段叫弦
C.过圆心的线段是直径 D.能够重合的圆叫做等圆
2.若点在以点为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为( )
A. B. C. D.且
3.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就.它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（寸），锯道长尺（尺寸），问：这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC的长为( )
A.13寸 B.20寸 C.26寸 D.28寸
4.如图，的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若，，则等于( )
A.42° B.28° C.21° D.20°
5.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上（不与A，B重合），于点D，交BC于点F，下列条件中能判定CE是半圆O的切线的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，在中，，，则的度数是( )
A.64° B.58° C.32° D.26°
7.如图，PA，PB分别与相切于点A，B，，C为上一点，则的度数为( )
A.110° B.120° C.125° D.130°
8.如图，在中，AB是直径，CD是弦，，下列结论错误的是( )
A. B.
C. D.
9.如图，内接于，将沿BC翻折，交AC于点D，连接BD.若
，则的度数是( )
A.66° B.44° C.46° D.48°
10.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是( )
A.3 B. C. D.4
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.如图所示，点在同一直线上,点M在直线外,经过图中的三个点作圆，可以作__________个.
12.如图，已知AB,CD是的两条直径，且.过点A作交于点E，则的度数为___________.
13.如图，在的内接四边形ABCD中，，则___________.
14.如图，半圆O的直径，弦，，则图中阴影部分的面积为_________.
15.如图，在平面直角坐标系中，直线AB过点，，（O为坐标原点）的半径为1，点P在直线AB上，过点P作的一条切线PQ，Q为切点，则线段PQ的最小值为______________.
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）如图，AB，CD是的弦，.求证：.
17.（8分）有一个直径为1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC，如图所示.
（1）求被剪掉阴影部分的面积.
（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？
18.（10分）如图，AB为的直径，C为上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分.
(1)求证：DC为的切线；
(2)若，的半径为3，求线段AC的长.
19.（10分）在直径为10cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，油面宽AB为6cm，当油面宽AB为8cm时，油面上升了多少厘米？
晓丽的解题步骤如下：
解：连接AO，过点O作于点C.
AB为弦，.
当cm时，在中，（cm），cm，
cm.
当cm时，在中，（cm），cm，
cm.
油面上升了（cm）.
请问：晓丽的解题过程正确吗？如果不正确，请写出正确的解题步骤.
20.（12分）如图，D是外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F.，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且.求证：.
21.（12分）小明在完成作业“，C，D是的三等分点，弦AB分别交OC，OD于点E，F，求证：”的基础上，做了如下尝试，把改为，其他不变，证明成功后，大胆猜想“如图，，C，D是AB的三等分点，弦AB分别交OC，OD于点E，F，求证：”.请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程.
答案以及解析
1.答案：C
解析：A.圆有无数条直径，故本选项说法正确；B.连接圆上任意两点的线段叫弦，故本选项说法正确；C.过圆心的弦是直径，故本选项说法错误；D.能够重合的圆是等圆，故本选项说法正确.
2.答案：C
解析：点在以点为圆心，以2为半径的圆内，，.
3.答案：C
解析：设的半径为r寸.在中，寸，寸，寸，则有，解得，的直径为26寸，故选C.
4.答案：B
解析：连接OD，，，，，，，，，，，.故选B.
5.答案：C
解析：如图，连接.
，.，，.，.，，是的切线.
6.答案：D
解析：连接AO，如图.
由，得，.
.
，.在中，，.故选D.
7.答案：C
解析：如图，连接OA，OB.，PB是的切线，，，.设点D是优弧AB上一点（不与点A，B重合），连接AD，BD，则，.
8.答案：A
解析：由已知条件无法推出弦AC与半径OD相等，故选项A错误.是的直径，CD是弦，且，是CD的垂直平分线，，，.又，，，，故选项B，C，D正确.故选A.
9.答案：D
解析：将沿BC翻折，交AC于点D，，又，，，.故选D.
10.答案：C
解析：如答图，连接BP.当时，，解得，.Q是线段PA的中点，O是线段AB的中点，OQ为的中位线，，当BP最大时，OQ最大.BP经过圆心C时，BP最大，当点P运动到点的位置时，BP最大.，线段OQ的最大值是.故选C.
11.答案：3
解析：过点点；点共能确定3个圆.故答案为3.
12.答案：80°
解析：，，.，，.故答案为80°.
13.答案：76°
解析：四边形ABCD是的内接四边形，.，，.
14.答案：
解析：弦，，.故答案为.
15.答案：
解析：如图，连接OP，OQ.是的切线，.根据勾股定理知，当时，线段PO最短，此时PQ有最小值.又，，，，，.
16.答案：证明：如图，连接BO，OD.
，.
，.
，，
，.
17.答案：解：（1）如图，连接BC，
，
BC为的直径，即m，
又，
m.
（）.
（2）设底面圆的半径为r m，则，
.即圆锥的底面圆的半径为m.
18.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)连接CO.
，.
平分，，，
，，为的切线.
(2)连接BC.为的直径，.，AC平分，.
的半径为3，，.
19.答案：晓丽的解题过程不正确.正确解题步骤如下：
连接AO，过点O作于点C，如图所示.
AB为弦，.
当cm时，在中，
（cm），cm，
cm.
当cm时，在中，（cm），
cm，cm，
油面上升了（cm）或（cm）.
20.答案：证明：，，
四边形ABCD内接于圆，，
，，
，，
，，，，
AC是的直径，，
，，
，.
21.答案：尝试：如图，连接AC，BD.
在中，，C，D是AB的三等分点，
.
，.
，
.
，，，
，.同理，.
C，D是的三等分点，
，.
猜想：连接AC，BD.
在中，，C，D是的三等分点，
.
，.
，
.
，，
，
，.同理，.
C，D是的三等分点，，
.第二十四章 圆（测能力）——2022-2023学年
人教版数学九年级上册单元闯关双测卷
【满分：120】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.如图，OA，OB是的两条半径，点C在上，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
2.下列说法中，不正确的是( )
A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B.圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合
C.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
D.圆的每一条直径都是它的对称轴
3.如图，AB为的直径，弦于点E，已知，，则的直径为( )
A.8 B.10 C.15 D.20
4.如图，中，，，，D，E分别是AC，AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.无法确定
5.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是( )
A. B. C. D.不能确定
6.如图，四边形ABCD内接于，点I是的内心，，点E在AD的延长线上，则的度数是( )
A.56° B.62° C.68° D.78°
7.如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
8.如图，的周长等于，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是( )
A. B. C. D.
9.如图，AB是的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
10.如图，在半径为的中，弦AB与CD交于点E，，，，则CD的长是( )
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.图①是由若干个相同的图形（图②）组成的美丽图案的一部分，图②中，图形的相关数据：半径cm，.则图②的周长为____________cm（结果保留π）.
12.如图，的两条相交弦AC,BD，，，连接AB，则的面积是___________.
13.如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出cm，则此光盘的直径是____________cm.
14.如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径MN上一动点，若的直径为2，则的最小值是____________.
15.如图，过正六边形ABCDEF的顶点D作一条直线于点D，分别延长AB，AF交直线l于点M，N，则__________；若正六边形ABCDEF的面积为6，则的面积为____________.
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道需确定管道圆形截面的圆心和半径，如图是水平放置的破裂管道的截面.请用无刻度的直尺和圆规作图，确定圆心O的位置（保留作图痕迹）.
17.（8分）如图，扇形OAB中，，C、D是的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F，求证：.
18.（10分）如图，在中，弦，点C在上（C与A，B不重合），连接CA，CB，过点O分别作，，垂足分别是D，E.
（1）求线段DE的长.
（2）点O到AB的距离为3，求的半径.
19.（10分）车辆转弯时，能顺利通过直角弯道的标准是：车辆可以行驶到和路边界的夹角是45°的位置（如图①中②的位置）.例如，图②是某巷子的俯视图，巷子路面宽4m，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD，当CD与DE、CE的夹角都是45°时，连接EF，交CD于点G，若GF的长度至少能达到车身宽度，则车辆就能顺利通过.
（1）试说明长8m，宽3m的消防车能否通过图②中的直角弯道.
（2）为了能使长8m，宽3m的消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧（分别是以点O为圆心，以OM和ON的长为半径的弧），具体方案如图③，其中，请你求出ON的最小值.
20.（12分）如图，中，，CO平分交AB于O点，以OA为半径的与AC相切于点A，D为AC上一点且.
（1）求证：BC所在直线与相切；
（2）若，，求的半径.
21.（12分）如图(1)，中，，，点P为BC上一点，，是的外接圆.
(1)求的直径；
(2)如图(2)，将绕点B逆时针旋转至，使边与相切，交于点M，求此时的旋转角度及弧的长度.
答案以及解析
1.答案：B
解析：OA，OB是的两条半径，点C在上，，.故选：B.
2.答案：D
解析：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以A选项不符合题意；圆是一个特殊的中心对称图形，圆绕着它的圆心旋转任意角度都能与自身重合，所以B选项不符合题意；圆的对称轴是过圆心的直线，这样的直线有无数条，对称中心只有一个，是圆心，所以C选项不符合题意；直径是线段而不是直线，不能说直径是圆的对称轴，所以D选项符合题意.故选D.
3.答案：D
解析：如图，连接OC.AB为的直径，弦于点E, .设的半径为r，则.，即，解得，的直径为.故选D.
4.答案：B
解析：如图，过点A作于点M，交DE于点N.，，，.，E分别是AC，AB的中点，，，.以DE为直径的圆的半径为1.25，，以DE为直径的圆与BC的位置关系是相交.
5.答案：A
解析：如图，连接BC，过点O作于点D交半圆O于点E，
，
为的中位线，
，.
把半圆沿AC折叠，恰好经过点O，
，，连接EC，
则四边形OBCE是平行四边形，
又，
是菱形，，.故选A.
6.答案：C
解析：点I是的内心，AI，CI分别平分，，，.四边形ABCD是的内接四边形，，故选C.
7.答案：C
解析：，.，.若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值.如图，连接OM，交于点，当点P位于位置时，OP取得最小值.过点M作轴于点Q，则，，.又，，.故选C.
8.答案：C
解析：如图，连接OA，OB，作于点G.的周长等于，的半径为.六边形ABCDEF是的内接正六边形，.，，，，它的内接正六边形ABCDEF的面积是.
9.答案：C
解析：连接OE，OC，BC，
由旋转知，，，，，，，即为等腰直角三角形，，，，故选：C.
10.答案：C
解析：过点O作于点F，于点G，连接OB，OD，OE，如图所示，
则，，.在中，，，是等腰直角三角形，，.，，.在中，，.故选C.
11.答案：
解析：由题图①得的长的长的长.cm，，题图②的周长为（cm）.故答案为.
12.答案：
解析：,,,为等边三角形. ,易得的半径为2, 的面积是.
13.答案：
解析：设光盘的圆心为O，连接OA，OB，OC.由题可得.AB和AC与相切，AO平分，，，，.cm，cm.由勾股定理得cm，光盘的直径是cm.故答案为.
14.答案：
解析：作点B关于MN的对称点，连接交MN于点P，连接BP，由三角形两边之和大于第三边，即可得出此时最小，连接，根据点A是半圆上一个三等分点、点B是的中点，即可得出，再利用勾股定理即可求出的值，此题得解.
15.答案：30°；16
解析：如图，连接BE，CF交于点O.六边形ABCDEF是正六边形，.，，.六边形ABCDEF是正六边形，面积为6，点O在AD上，，的面积为1，，.，，.
16.答案：如图，作线段AB的垂直平分线CD与弧AB交于点C，连接AC，作线段AC的垂直平分线与CD交于点O.点O即为圆心.
17.答案：证明：连接AC，BD，
，，.
C，D是的三等分点，
，且，
，，
又，
，同理可证，.
18.答案：（1）OD经过圆心O，，，
同理，DE是的中位线，.
，.
（2）如图，过点O作，垂足为H，连接OA.
由题意可得.OH经过圆心O，
.
，.
在中，，
即圆O的半径为5.
19.答案：解：（1）如图①，作，垂足为点H，则，
，且，
，，
，
即GF的长度未达到车身宽度，
消防车不能通过该直角弯道.
（2）如图②，若C，D分别与，M重合，则为等腰直角三角形，
，，
，
，
点C，D在上，
设ON的最小值为x m，连接OC，
在中，，，，
由勾股定理得，，即，解得.
答：ON的最小值为4.5m.
20.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）过O作于E，如图所示.
与AC相切于点A，
.
平分，，
，所在直线与相切.
（2），，.
，BC是的切线，.
在和中，
，
，，，
.
设，则.
在中，由勾股定理得，
解得，即的半径为.
21.答案：(1)
(2)
解析：(1)连接OP，OB，OP交AB于H，如图(1).
，，.，，，，.
在中，，.
，为等边三角形，
，的直径为.
(2)连接OB，OM，OA，如图(2).
与相切，，.
由(1)易知，，，.，，.
绕点B逆时针旋转至，
，即旋转角度为120°.
，，为等边三角形，，.，
弧的长度为.2022-2023学年人教新版九年级上册数学
第24章《圆》单元测试卷
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．如图，在⊙O中，OD⊥AB于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
2．数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是（　　）
A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”
B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”
C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”
D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”
3．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝15°，则∠BDC＝（　　）
A．85° B．75° C．70° D．65°
4．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．下列正多边形的中心角最小的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，在扇形OAB中，点C为弧AB的中点，延长AC交OB的延长线于点D，连接BC，若BD＝4，CD＝5，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．在锐角△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC、∠ABC的角平分线AD、BE交于点M，则下列结论中错误的是（　　）
A．∠AMB＝120°
B．ME＝MD
C．AE+BD＝AB
D．点M关于AC的对称点一定在△ABC的外接圆上
8．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆一定与（　　）
A．x轴相交 B．y轴相交 C．x轴相切 D．y轴相切
9．如图，在正方形ABCD中，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DB得到扇形DAB（阴影部分），且扇形DAB的面积为4π．若扇形DAB正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形A1B1CD1，使A1B1与⊙O相切于点E，CB1与⊙O相交于点F，则CF的长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
11．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则的长为（　　）
A．6π B．2π C．π D．π
12．如图，将两个正方形如图放置（B，C，E共线，D，C，G共线），若AB＝3，EF＝2，点O在线段BC上，以OF为半径作⊙O，点A，点F都在⊙O上，则OD的长是（　　）
A．4 B． C． D．
二．填空题（共12小题，满分36分）
13．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则⊙O的半径为 　 　．
14．如图，线段AB＝2．以AB为直径作半圆，再分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点C．则图中阴影部分的周长为 　 　．
15．有一圆柱形木材，埋在墙壁中，其横截面如图所示，测得木材的半径为15cm，露在墙体外侧的弦长AB＝18cm，其中半径OC垂直平分AB，则埋在墙体内的弓形高CD＝　 　cm．
16．在华夏文化中有一个重要的审美基础：天圆地方一个正方形找内切圆和外接圆，在外接圆上继续找外切正方形，则内切圆的半径，外接圆的半径，正方形的边长，是循环的1：关系，则在如图所示数轴上的位置是点 　 　．
17．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠EBC的度数为 　 　．
18．将一张扇形纸片卷成一个圆锥形桶（不重叠，无缝隙），通过测量，已知该圆锥形桶的底面周长为6πcm，高为4cm，则扇形纸片的面积为 　 　cm2（结果保留π）．
19．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE、BD．若∠BCD＝115°，则∠EBD的大小为 　 　．
20．如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，使点O'落在圆O上，边A′B交线段AO于点C．若∠A＝15°，⊙O的半径长为2，则BC的长为 　 　．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，以AC为直径作半圆，交AB边于点D，点O为圆心，连接OD，则图中阴影部分的面积是 　 　．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 　 　．
23．一个圆柱的底面半径为5cm，母线长为6cm，则这个圆柱的侧面积为 　 　cm2．
24．如图，边长为4的正方形ABCD中，顶点A落在矩形DEFG的边EF上，EF＝5，而矩形的顶点G恰好落在BC边上．点O是AB边上一动点（不与A，B重合），以O为圆心，OA长为半径作圆，当⊙O与矩形DEFG的边相切时，AO的长为 　 　．
三．解答题（共7小题，满分78分）
25．在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于r（r为常数），到点O的距离等于r的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
求证：AD＝CD．
26．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．
（1）求证：ED＝EG；
（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．
27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，所对圆心角为90°，连接AC，BD交于点E．
（1）求证：BC＝CE；
（2）当DC＝时，求⊙O的半径．
28．如图，AB为半圆O的直径，CD＝AB＝2，AD，BC交于点E，且E为CB的中点，F为弧AC的中点，连接EF，求EF的长．
29．如图，AB为⊙O直径，C，D为⊙O上的两点，且∠ACD＝2∠A，CE⊥DB交DB的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若DE＝2CE，AC＝4，求⊙O的半径．
30．如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的⊙O，点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P，O，Q三点处于同一条直线时，停止运动．
（1）求点Q的运动总长度；
（2）若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值．
31．如图，⊙O的半径为5，弦AB，CD互相垂直，垂足为点E．点F在ED上，且EF＝EC．连接AF，∠EAF＝25°．
（1）求的长；
（2）延长AF交⊙O于点M，连接BM．若EC＝EB，求∠AMB的度数．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．解；∵OD⊥AB，AD＝3cm，
∴AB＝2AD＝6cm．
故选：B．
2．解：A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“四边形的不稳定性”，故本选项错误，不合题意；
B．车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离相等”，故本选项错误，不合题意；
C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”，故本选项正确，符合题意
D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故本选项错误，不合题意．
故选：C．
3．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝15°，
∴∠CAB＝75°，
∴∠BDC＝∠CAB＝75°，
故选：B．
4．解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝6，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．
故选：B．
5．解：A．中心角度数为：360°÷8＝45°，
B..中心角度数为：360°÷6＝60°，
C..中心角度数为：360°÷5＝72°，
D..中心角度数为：360°÷4＝90°，
故中心角最小的是45°．
故选：A．
6．解：连接OC，
∵点C为弧AB的中点，
∴∠AOC＝∠BOC，OA＝OC＝OB，
∴△AOC≌△BOC，
∴∠A＝∠OBC＝∠OCA＝∠OCB，
又∠DBC＝∠DCO，
∴△DBC∽△DCO，
∴，
∵BD＝4，CD＝5，
∴，
解得：DO＝，
∴OB＝OD﹣BD＝，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
7．解：如图，
∵∠C＝60°，
∴∠CAB+∠CBA＝120°，
∵AD，BE分别是∠CAB，∠CBA的角平分线，
∴∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA）＝60°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝120°，故①正确，
∵∠EMD＝∠AMB＝120°，
∴∠EMD+∠ECD＝180°，
∴C，E，M，D四点共圆，
∵∠MCE＝∠MCD，
∴，
∴EM＝DM，故②正确，
在AB上取一点T，使得AT＝AE，
在△AME和△AMT中，
，
∴△AME≌△AMT（SAS），
∴∠AME＝∠AMT＝60°，EM＝MT，
∴∠BMD＝∠BMT＝60°，MT＝MD，
在△BMD和△BMT中，
，
∴△BMD≌△BMT，
∴BD＝BT，
∴AB＝AT+TB＝AE+BD，故③正确，
∵M，M′关于AC对称，
∴∠M′＝∠AMC，
∵∠AMC＝90°+∠ABC，
∴∠M′与∠ABC不一定互补，
∴点M′不一定在△ABC的外接圆上，故④错误，
故选：D．
8．解：∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，
如图所示：
∴这个圆与y轴相切，与x轴相离．
故选：D．
9．解：设AD＝AB＝l，
根据题意得：πl2＝4π，
解得：l＝4，
设圆锥的底面半径为r，根据题意得：
2πr＝，
解得：r＝1，
故选：A．
10．解：连接OE，作OH⊥B1C于点H，
∵A1B1与⊙O相切于点E，
∴∠OEB1＝∠OHB1＝90°，
∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A1B1C1D1，
∴∠B1＝∠B1CD1＝90°，AB＝CD＝10，BC＝B1C＝AD＝8，
∴四边形OEB1H和是矩形，OE＝OD＝OC＝5，
∴B1H＝OE＝5，
∴CH＝B1C﹣B1H＝3，
∴CF＝2CH＝6．
故选：C．
11．解：∵直径AB＝6，
∴半径OB＝3，
∵圆周角∠A＝30°，
∴圆心角∠BOC＝2∠A＝60°，
∴的长是＝π，
故选：D．
12．解：设OC＝x．
由题意得，OA＝OF．
∴＝．
∴．
∴x＝1．
∴OD＝＝．
故选：B．
二．填空题（共12小题，满分36分）
13．解：过O作OF⊥CD于F，OQ⊥AB于Q，连接OD，
∵AB＝CD，
∴OQ＝OF，
∵OF过圆心O，OF⊥CD，
∴CF＝DF＝2，
∴EF＝2﹣1＝1，
∵OF⊥CD，OQ⊥AB，AB⊥CD，
∴∠OQE＝∠AEF＝∠OFE＝90°，
∵OQ＝OF，
∴四边形OQEF是正方形，
∴OF＝EF＝1，
在△OFD中，由勾股定理得：OD＝＝．
故答案为：．
14．解：×2+2π×1＝+π＝．
故答案为：．
15．解：在Rt△ADO中，DO＝＝＝12（cm），
则CD＝CO﹣DO＝15﹣12＝3（cm），
故答案为：3．
16．解：∵1.52＝2.25，1＜2＜2.25，
∴1＜＜1，5，
故在如图所示数轴上的位置是点B，
故答案为：B．
17．解：如图，连接OC、OD、OE，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠COD＝∠DOE＝＝72°，
∴∠COE＝2∠COD＝144°，
∴∠EBC＝∠COE＝72°，
故答案为：72°．
18．解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，
根据题意得2πr＝6π，
解得r＝3，
所以圆锥的母线长为＝5（cm），
所以圆锥的侧面积为×6π×5＝15π（cm2），
即扇形纸片的面积为15πcm2．
故答案为：15πcm2．
19．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝115°，
∴∠BAD＝65°，
∵BE是直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠EBD＝∠DAE＝25°．
故答案为：25°．
20．解：如图，连接OO′，
由题意得：BO＝OO'＝BO'，
∴△BOO'为等边三角形，
∴∠OBO'＝60°，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∴∠A'BO'＝90°，
∴∠A'BO＝∠A'BO'﹣∠OBO'＝30°，
∵∠A＝15°
∴∠AOB＝90°﹣∠A＝75°，
∴∠BCO＝180°﹣∠AOB﹣∠A'BO＝75°，
∴BC＝BO＝2，
故答案为：2．
21．解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴AC＝BC＝2，
∵OA＝OD，∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠COD＝2∠BAC＝60°，
∴S阴影部分＝S△ABC﹣S扇形COD
＝××2﹣
＝2﹣π，
故答案为：2﹣π．
22．解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），
连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，
∴Q点的坐标是（2，1），
故答案为：（2，1）．
23．解：圆柱的底面周长为：π×2×5＝10π，
侧面积为10π×6＝60π（cm2）．
故答案为：60π．
24．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝4，∠C＝∠ADC＝90°．
∵四边形DEFG为矩形，
∴DG＝EF＝5，∠E＝∠EDG＝90°．
∴CG＝＝3．
∵∠CDG+∠ADG＝90°，∠EDA+∠ADG＝90°，
∴∠CDG＝∠EDA．
∵∠C＝∠E＝90°，
∴△CDG∽△EAD．
∴，
∴，
∴DE＝，AE＝．
∴AF＝EF﹣AE＝．
①当⊙O与矩形DEFG的FG边相切时，设AB与FG交与点H，
过点O作OM⊥FG于点M，如图，
∵∠DAB＝90°，
∴∠EAD+∠FAB＝90°．
∵∠F＝90°，
∴∠FAB+∠FHA＝90°，
∴∠EAD＝∠FHA．
∵∠E＝∠F＝90°，
∴△EAD∽△FHA．
∴＝．
∴＝，
∴AH＝，FH＝．
设OA＝x，
∵⊙O与矩形DEFG的FG边相切，
∴OM＝OA＝x．
∵OM⊥FG，AF⊥FG，
∴OM∥AF，
∴．
∴，
解得：x＝．
∴OA＝
②当⊙O与矩形DEFG的DG边相切时，如图，
过点O作OM⊥DG于点M，延长MO，交EF于点N，则ON⊥EF，MN＝DE＝．
设OA＝x，
∵⊙O与矩形DEFG的DG边相切，
∴OM＝OA＝x．
∴ON＝MN﹣OM＝﹣x，
∵ON∥FH，
∴，
∴．
解得：x＝2．
∴OA＝2；
③过点O作OM⊥DE于点M，如图，
可知OM＞OA，⊙O与矩形DEFG的边DE相离．
综上，以O为圆心，OA长为半径作圆，当⊙O与矩形DEFG的边相切时，AO的长为或2．
故答案为：或2．
三．解答题（共7小题，满分78分）
25．证明：根据题意作图如下：
∵BD是圆周角ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴，
∴AD＝CD．
26．（1）证明：如图：连接BD，
∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，
∴∠CFG＝∠GEB，
∵∠CGF＝∠BGE，
∴∠C＝∠GBE，
∵∠C＝∠DBE，
∴∠GBE＝∠DBE，
∵AB⊥CD于E，
∴∠GEB＝∠DEB，
在△GBE和△DBE中，
，
∴△BGE≌△BDE（ASA），
∴ED＝EG．
（2）解：如图：
连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，
由（1）可知ED＝EG，
∴OE＝，
∵AB⊥CD于E，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，
∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，
即（）2+42＝r2，
解得：r＝，
即⊙O的半径为．
27．（1）证明：∵所对圆心角为90°，
∴∠DBC＝45°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CEB＝45°，
∴∠CEB＝∠DBC，
∴BC＝CE；
（2）解：∵∠ECB＝90°，CE＝CB，
∴△CEB是等腰直角三角形，
∴BE＝CE，
∵∠DCE＝∠ABE，∠CDE＝∠BAE，
∴△DCE∽△ABE，
∴，
∵DC＝，
∴，
∴AB＝2，
∴⊙O的半径为1．
28．解：连接OE、OF、AC、OC、OD，AC与OF相交于H点，如图，
∵CD＝AB，
∴CD＝OC＝OD，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠CAD＝∠COD＝30°，
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵E为CB的中点，
∴OE⊥BC，
∵F为弧AC的中点，
∴OF⊥AC，CH＝AH，
∴四边形OECH为矩形，
∴∠EOF＝90°，OE＝CH＝AC，
设CE＝x，则BE＝x，
在Rt△ACE中，∵∠CAE＝30°，
∴AC＝CE＝x，
在Rt△ACB中，（ x）2+（2x）2＝（4）2，
解得x＝4，
∴AC＝4，
∴OE＝2，
在Rt△OEF中，EF＝＝＝2．
29．（1）证明：连接OC，
∵CE⊥DE，
∴∠E＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠ACD＝2∠A，
∴∠ACD＝2∠ACO，
∴∠ACO＝∠DCO，
∴∠A＝∠DCO，
∵∠A＝∠D，
∴∠D＝∠DCO，
∴OC∥DE，
∴∠E+∠OCE＝180°，
∴∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CE与⊙O相切；
（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∵∠OCB+∠BCE＝∠OCE＝90°，
∴∠ACO＝∠BCE，
∵∠D＝∠A＝∠ACO，
∴∠D＝∠BCE，
又∠BEC＝∠CED＝90°，
∴△BCE∽△CDE，
∵＝＝2，
∴BC＝CE，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵OC∥ED，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠OBC，
∵∠E＝∠ACB＝90°，
∴△BEC∽△BCA，
∴＝，
∴＝＝，
∵AC＝4，
∴AB＝2，
∴OA＝，
即⊙O的半径为．
30．解：（1）∵点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，
∴可以假设∠COQ＝n，∠BOP＝2n，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BCO＝2∠A＝120°，
∵P，O，Q共线，
∴120°﹣n+2n＝180°，
∴n＝60°，
∴点Q的运动总长度＝＝；
（2）如图，取OB的中点J，连接JM，JC，过点J作JH⊥BC于点H．
∵OB＝OC＝2，∠BOC＝120°，
∴BC＝OB＝2，∠OBC＝∠OCB＝30°，
∵BJ＝OJ＝1，
∴JH＝BJ＝，BH＝，
∴CH＝，
∴CJ＝＝＝，
∵BM＝MP．BJ＝OJ，
∴JM＝OP＝1，
∴CM≤JM+CJ＝1+，
∴CM的最大值为1+．
31．解：（1）连接AC，OC，OB，
∵AB⊥CD，EF＝EC，
∴AF＝AC，
∴∠CAE＝∠EAF，
∵∠EAF＝25°，
∴∠CAE＝25°，
∴∠BOC＝2∠CAE＝50°，
∴的长为＝；
（2）连接OA，OC，OB，BC，
∵AB⊥CD，
∴∠CEB＝90°，
∵CE＝BE，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，
由（1）知：∠BOC＝50°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝65°，
∴∠OBA＝∠OBC﹣∠EBC＝65°﹣45°＝20°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝20°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
∴∠AMB＝AOB＝70°．