课件50张PPT。7.4 平面 镶嵌黄梅县晋梅中学 洪建明请你欣赏观察以下图案，说明它们都是由哪些几何图形组成？观察以下图案，说明它们都是由哪些几何图形组成？用一些不重叠摆放的多边形把平面 的一部分全部覆盖,在几何里叫做用 多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。 定义例如: 观察以下图形并思考在镶嵌时如何做到既无缝隙又不重叠?
1、 正三角形的平面镶嵌探究：正多边形的镶嵌2、 正方形的平面镶嵌90°探究：正多边形的镶嵌3、 正六边形的平面镶嵌120 °120 °120 °探究：正多边形的镶嵌 你能只用一种正五边形拼成一个地面吗？为什么正五边形拼不成地面？而用正三角形可以？可以拼成一个地面条件是什么？因为正五边形的内角不能组成360°的角，而正三角形的内角能组成360°的角。 仅用正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，必须要求在公共顶点上所有内角和为360°每个顶点处几个角的和为360°探究：正多边形的镶嵌探究：正多边形的镶嵌 若用一种正多边形进行镶嵌 ，下列哪些正多边形可以镶嵌？①正三角形； ②正方形 ； ③正五边形； ④正六边形； ⑤正八边形； ⑥正十二边形。 还有其他的正多边形可以进行镶嵌吗？为什么呢？ 只用一种正多边形进行平面镶嵌，有三种方法：3个正六边形；4个正四边形；6个正三角形。 能能能正三角形正方形正五边形正六边形643不能1、三角形可以作平面镶嵌吗?如果能三角形如何镶嵌呢?探究：普通多边形的镶嵌如图,四边形ABCD中,因为∠A+∠B+∠C+ ∠D = 360°,所以
用四边形也可以作平面镶嵌2、四边形呢?那么四边形如何镶嵌呢? 请看!探究：普通多边形的镶嵌(2003年中考题）商店出售下列形状的地砖：①正方形；②长方形； ③正五边形；④正六边形。若只选择其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种边长为a的正方形与下列边长为a的正多边形组合起来，不能镶嵌成平面的是（ ）
①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形
A. ① ② B. ② ③ C. ① ③ D. ① ④CB练习一：练习二1、形状、大小完全相同的任意三角形、四边形能否单独作镶嵌 （ ）
2. 用任意三角形镶嵌平面时,同一顶点处
应摆放 ( )个三角形;用任意四边形镶嵌
平面时,同一顶点处应摆放( )个四边形.
3、下面四种正多边形中,用同一种图形不能平面镶嵌的是( ). 能64C练习三1.如图、是俄罗斯方块的基本图形,则这些图形中能单独作平面镶嵌的是( ).A 2个B 3个C 4个D 5个D2.如图,已知四边形ABCD是梯形,按图中所示的规律,用2005个这样的梯形镶嵌而成的四边形的周长是( )6017练习四如图用两种颜色的正六边形的砖按图所示的规律,镶嵌成若干个图案：
(1).第4个图案中有白色地砖( )块.
(2).第n个图案中有白色地砖( )块.184n+2试试看:
请你用两种或两种以上的多边形设计镶嵌图案探究：几种多边形的混合镶嵌下列多边形组合，能够铺满地面的是：
（1）正三角形与正六边形；
（2）正三角形与正方形；
（3）正方形与正八边形；
（4）正六边形与正八边形；
（5）正三角形、正方形与正六边形。①②注意：同一个组合会有不同的镶嵌效果二、两种正多边形的平面镶嵌1、 正三角形与正方形的平面镶嵌120°120°60°60°2、正三角形与正六边形的平面镶嵌二、两种正多边形的平面镶嵌图案1图案260°60°120°60°60°2、正三角形与正六边形的平面镶嵌每个顶点处正三角形4个，正六边形1个。二、两种正多边形的平面镶嵌二、两种正多边形的平面镶嵌3、正方形与正八边形的平面镶嵌二、两种正多边形的平面镶嵌3、正方形与正八边形的平面镶嵌二、两种正多边形的平面镶嵌4、正三角形与正十二边形的平面镶嵌4、正三角形与正十二边形的平面镶嵌二、两种正多边形的平面镶嵌更多的两种正多边形的镶嵌正十二边形与正三角形的平面镶嵌正十边形与正五边形的平面镶嵌正方形与正八边形的平面镶嵌正十二边形与正方形、正六边形的平面镶嵌三、三种正多边形的平面镶嵌正三角形与正方形、正六边形的平面镶嵌（05山东）用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是
（A）正方形 （B）正六边形
（C）正十二边形 （D）正十八边形 最新中考联接小结与反思1、镶嵌的要求：无缝隙，不重叠2、多边形能否镶嵌的条件：每个顶点处几个角的和为360°生活中利用镶嵌组成的美丽图案镶嵌画欣赏再见！练习四:当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角和加在一起恰好组成一个周角时,就能镶嵌成一个平面图形；那么那些正多边形可以进行镶呢？2.由表可知,周角与正n边形每个内角的商为( ),当n=( ) 时,商为整数,即( )等正多边形能单独作平面镶嵌.
2+4/n-23,4,6正三角形,正方形,正六边形360°90°540°108°720°120°1080°135°43+1/332+2/3(n-2)180°/n(n-2)180°2+4/n-22m+5n=12m=1
n=2设在一个顶点周围有m个正三角形的角、
n个正十二边形的角，则有∵m、n为正整数∴解为2m+3n=8m=1
n=2设在一个顶点周围有个m正四边形的角、n个正八边形
的角，则有∵m、n为正整数∴解为（05陕西 ）16．右图是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是__________。（05山东）9．用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是
（A）正方形 （B）正六边形
（C）正十二边形 （D）正十八边形 如图,正六边形ABCDEF中,因为每一个角是120°,三个角是360°,所以用六边形可以作平面镶嵌3、正六边形的镶嵌 请看六边形如何镶嵌!探究：正多边形的镶嵌课件40张PPT。探究性活动
镶嵌平面图形黄梅县晋梅中学
洪建明观察以下图案，说明它们都是由哪些几何图形组成？第一页第二页第三页第四页观察以下图案，说明它们都是由哪些几何图形组成？第一页第二页第三页第四页镶嵌：用形状相同或不同的平面封闭图形把一块地既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里叫做平面镶嵌。多边形的镶嵌有两类情况：（1）有些图案中的多边形的顶点在另一个多边形的边上。（2）有些镶嵌中的多边形顶点不落在另一个多边形的边上。即项点与顶点重合，边与边重合。我们在初中仅探讨第二种情况。第一页第二页第三页第四页如果让你设计几种地板图案要解决如下问题：
问题1：如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面？
问题2 ：如果允许用几种正多边形组合起来镶嵌（讨论顶点与顶点重合的情况），由哪几种正多边形组合起来能镶嵌成一个平面？
第一页第二页第三页第四页1、什么是平面镶嵌？
2、你能只用一种多边形（如正三角形，正四边形，正六边形）拼成一个地面吗？（用自制的正三角形，正方形，正六边形纸片进行实验）
3、你能只用一种正五边形拼成一个地面吗？（用自制的正五边形进行实验）
4、为什么正五边形拼不成地面？而用正三角形可以？可以拼成一个地面条件是什么？
5、试用数学知识推导，只用一种正多边形进行平面镶嵌，有几种方法？
6、任意的三角形，任意的四边形均可镶嵌成一个地面吗？阅读课本，思考下列问题，并用纸片进行拼图试验能能能正三角形正方形正五边形正六边形643不能∴解得 仅用m个正n边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，必须要求在公共顶点上所有内角和为360度。正n边形的边数为n,个数为m,则有第一页第二页第三页第四页（1） 正三角形的平面镶嵌60°60°60°60°60°60°注：n指边数，k指同一顶点的正多边形个数。第一页第二页第三页第四页（2） 正方形的平面镶嵌90°注：n、 k分别指同一顶点的正多边形边数、个数。第一页第二页第三页第四页（3） 正六边形的平面镶嵌120 °120 °120 °注：n指边数，k指同一顶点的正多边形个数。第一页第二页第三页第四页因为正五边形的内角不能组成360°的角，而正三角形的内角能组成360°的角。而三角形的内角为180度，两个180度为360度，任意四边形的内角和为360度，所以三角形，四边形均可镶嵌成平面。第一页第二页第三页第四页第一页第二页第三页第四页只用一种正多边形进行镶嵌，只有（6，6，6）；（4，4，4，4）；（3，3，3，3，3，3）三种情形。那么，如果用两种正边形进行镶嵌，又有几种情况呢？请尝试1）试用正三角形与正方形进行平面镶嵌，（先用纸片进行实验，再理论解释）
2）试用正三角形与正六边形进行平面镶嵌，先理论探讨有几种情况，再用纸片进行拼图设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正方形的角，则记作（3，3，3，4，4）①②注意：同一个组合会有不同的镶嵌效果第一页第二页第三页第四页第一页第二页第三页第四页设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形的角，则记作（3，3，3，6）；（3，3，6，6）（3，3，3，6）见第三页（3，3，6，6）见第四页m+2n=6m=2
n=2m=4
n=1设在一个顶点周围有m个正三角形的角、
n个正六边形的角，
则有∵m、n为正整数∴解为(1)、正多边形的顶点在另一个正多边形的边上顶点与顶点重合的情形（1）正三角形与正方形①注：m、 n分别指同一顶点处正三角形、正方形的个数。图案注意：同一个组合会有不同的镶嵌效果120°120°60°60°(2)正三角形与正六边形的平面镶嵌图案（Ⅰ）第一页第二页第三页第四页(2)正三角形与正六边形的平面镶嵌图案（Ⅱ）60°60°120°60°60°每个顶点处正六边形1个，正三角形4个.第一页第二页第三页第四页第一页第二页第三页第四页1、如果用正三角形与正十二边形，如何镶嵌？
2、如果用正四边形与正八边形，如何镶嵌？
3、如果用三个正多边形，又有几种情况呢？
4、如果一个正多边形的顶点在另一个多边形的边上，要满足何种条件呢，才可镶嵌成一个平面呢？
相关答案请见第一至第六页。
思考与引伸第五页2m+5n=12m=1
n=2设在一个顶点周围有m个正三角形的角、
n个正十二边形的角，则有∵m、n为正整数∴解为2m+3n=8m=1
n=2设在一个顶点周围有个m正四边形的角、n个正八边形
的角，则有∵m、n为正整数∴解为设在一个顶点周围有m个正五边形的角、n个正十边形的角，则有3m+4n=10m=2
n=1∵m、n为正整数∴解为(3)三种正多边形的平面镶嵌第一页第二页第三页第四页第五页(3)三种正多边形的平面镶嵌正十二边形与正三角形的平面镶嵌正十二边形与正方形、正五边形的平面镶嵌图例第一页第二页第三页第四页第五页 如果一个正多边形的顶点在另一个多边形的边上，要满足何种条件，才可镶嵌成一个平面呢？因为正多边形的内角和为 ，一条边上有k个内角，由于这些内角和为180度，有记作（3，3，3）(4，4，4，4)
图形见第五页第一页第二页第三页第四页第五页(2)、正多边形的顶点在另一个正多边形的边上第一页第二页第三页第四页第五页资料1：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17组解。
有书记载说明这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。
第一页第二页资料2：石子路镶嵌图案最多的图林
在北京故官御花园内，有许多颜色不同的细石子砌成的各种美丽图案的花石子路，据统计全园花石子路上的图案约有900幅，可以说是中国拥有石子路镶嵌图案最多的图林了。这些石子路图案的组成，是把全园作为一个整体来考虑设计的，因此显得极为统一协调。但是每幅图案又有它的独立的面貌，内容各异，图案的内容有人物、风景、花卉、博古等，种类繁多。其中的“颐和春色”、“关黄对刀”、“鹤鹿同春”等图案，造型优美，动态活泼、构图别致，色彩分明，沿路观赏，美不胜收。第一页第二页（05陕西 ）16．右图是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是__________。（05山东）9．用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是
（A）正方形 （B）正六边形
（C）正十二边形 （D）正十八边形 课件29张PPT。 黄梅县晋梅中学
洪建明7.4 课题学习
— 镶嵌 观察以下图案，说明它们都是由哪些几何图形组成? 观察以下图案，说明它们都是由哪些几何图形组成?镶嵌：用形状相同或不同的平面图形把平面的一部分既无缝隙又不重叠地全部覆盖，叫做平面镶嵌。图1图2图3多边形的镶嵌有两类情况：（1）有些图案中的多边形的顶点在另一个多边形的边上。（2）有些图案中的顶点与顶点重合，边与边重合。我们在初中仅探讨第二种情况。如果让你设计几种地板图案要解决如下问题：
问题1：如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面？
问题2 ：如果允许用几种正多边形组合起来镶嵌（讨论顶点与顶点，边与边重合的情况），由哪几种正多边形组合起来能镶嵌成一个平面？1、什么是平面镶嵌？
2、你能只用一种多边形（如正三角形，正四边形，正六边形）拼成一个地面吗？
3、你能只用一种正五边形拼成一个地面吗？可以拼成一个地面的条件是什么？
4、试用数学知识推导，只用一种正多边形进行平面镶嵌，有几种方法？
5、任意的三角形，任意的四边形均可镶嵌成一个地面 吗？思考下列问题，并用纸片进行拼图试验（1） 正三角形的平面镶嵌60°60°60°60°60°60°注：n指边数，k指同一顶点的正多边形个数。一、一种正多边形的平面镶嵌（2） 正方形的平面镶嵌90°注：n指边数，k指同一顶点的正多边形个数。（3） 正六边形的平面镶嵌120 °120 °120 °注：n指边数，k指同一顶点的正多边形个数。 你能只用一种正五边形拼成一个地面吗？为什么正五边形拼不成地面？而用正三角形可以？可以拼成一个地面条件是什么？因为正五边形的内角不能组成360°的角，而正三角形的内角能组成360°的角。 仅用正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，必须要求在公共顶点上所有内角和为360° 只用一种正多边形进行平面镶嵌，有三种方法：3个六边形；4个四边形；6个三角形。 如果用两种正多边形进行镶嵌，又有几种情况呢？请尝试1）试用正三角形与正方形进行平面镶嵌
2）试用正三角形与正六边形进行平面镶嵌（先用纸片进行实验，再用数学知识理论解释）
3) 两种正多边形进行镶嵌还有其他的情况吗？设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正方形的角。①②注意：同一个组合会有不同的镶嵌效果二、两种正多边形的平面镶嵌（1） 正三角形与正方形的平面镶嵌120°120°60°60°图案（Ⅰ）设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形的角。（2）正三角形与正六边形的平面镶嵌图案（Ⅱ）60°60°120°60°60°（2）正三角形与正六边形的平面镶嵌每个顶点处正三角形4个，正六边形1个。 任意的三角形，任意的四边形均可镶嵌成一个地面吗？思考与引伸三角形的内角和为180度，两个180度为360度，任意四边形的内角和为360度，所以任意三角形，四边形均可镶嵌成平面。如果用正四边形与正八边形，如何镶嵌？
如果用正三角形与正十二边形，如何镶嵌？
如果用三个正多边形，又有几种情况呢？思考与引伸当围绕一点拼成一起的几个多边形的内角加在一起恰好是360°时，就拼成一个平面图形。回顾:可以拼成一个地面条件是什么？更多的两种正多边形的镶嵌正十二边形与正三角形的平面镶嵌正十边形与正五边形的平面镶嵌正十二边形与正方形、正六边形的平面镶嵌三、三种正多边形的平面镶嵌正三角形与正方形、正六边形的平面镶嵌(2003年中考题）商店出售下列形状的地砖：①正方形；②长方形； ③正五边形；④正六边形。若只选择其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种边长为a的正方形与下列边长为a的正多边形组合起来，不能镶嵌成平面的是（ ）
①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形
A. ① ② B. ② ③ C. ① ③ D. ① ④CB课堂练习：如图，足球由正五边形皮块（黑色）和正六边形皮块（白色）缝成。如果取下一黑两白两两相邻的三块皮块，能不能将这三块皮块连在一起铺平？为什么？答：正五边形的每个内角是540°/5=108 ° ，正六边形的每个内角是720 °/6=120 °
三块皮块有一个公共顶点。位于公共顶点处的三个内角分别是108 °，120 °，120 °，它们的和是348 °，小于360 °。所以不能将这三块皮块连在一起铺平。小结反思：2.如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面？
3.如果允许用几种正多边形组合起来镶嵌，由哪几种正多边形组合起来能镶嵌成一个平面？
4.多边形能进行平面镶嵌的条件是什么？1.什么是平面镶嵌？资料1：石子路镶嵌图案最多的图林
在北京故官御花园内，有许多颜色不同的细石子砌成的各种美丽图案的花石子路，据统计全园花石子路上的图案约有900幅，可以说是中国拥有石子路镶嵌图案最多的图林了。这些石子路图案的组成，是把全园作为一个整体来考虑设计的，因此显得极为统一协调。但是每幅图案又有它的独立的面貌，内容各异，图案的内容有人物、风景、花卉、博古等，种类繁多。其中的“颐和春色”、“关黄对刀”、“鹤鹿同春”等图案，造型优美，动态活泼、构图别致，色彩分明，沿路观赏，美不胜收。生活中利用镶嵌组成的美丽图案资料2：镶嵌画历史悠久，最早见于公元前4000余年的美索不达米亚，苏美尔人是这种艺术的始祖。镶嵌画以其色彩的真实性和永久性，制作的多样性以及题材的广泛性而得以在世界上绵延流传。公元1～4世纪，镶嵌画得到很大的发展，色彩技巧日臻完善，当时罗马人对它十分推崇。在美术史上，罗马以及中世纪东罗马时期的镶嵌画无论在数量上或质量上都名列前茅。如意大利庞培城出土的《伊苏之战》、拜占庭时期君士坦丁堡的圣索菲亚教堂中的佐伊皇帝像等许多镶嵌画，都是这个时期的艺术珍品，在历史上产生过深远的影响。随着罗马人的足迹，镶嵌画传入其他地方，各国艺术家都以各自的民族风格，发展了这一艺术。镶嵌画在现代世界艺术中日益占有重要地位。墨西哥、苏联和民主德国等国家的镶嵌画以其规模的宏大和新颖的技艺而著称。镶嵌画欣赏资料3：镶嵌画材料来源十分丰富，有天然彩石、卵石、贝壳、螺钿、宝石、玉石和人造的玻璃料器、陶瓷、有机玻璃、金属和木料等。镶嵌方法有直接镶嵌法、预制法、反贴反上法、正贴正上法。除平面镶嵌外，也可以在浮雕上进行镶嵌，后者更能增强壁画的力度。
中国的镶嵌艺术具有悠久的历史和独特的风格。这些镶嵌艺术大多出现在工艺品上，如殷商时代的铜器曾有错金和错金嵌玉的装饰纹样出现。镶嵌画虽较少，仍可以从帝王御花园的甬道和民间的建筑中发现用卵石镶嵌地面和墙面的镶嵌装饰画面。当代中国艺术家也开始重视运用这种艺术形式，在一些重要建筑物的室内外创作了一些镶嵌画。1、搜集一些多边形镶嵌的平面图案，并且用硬纸片做出一、二个模型。
2、动手设计一、二个地板的平面镶嵌图，并与同学们交流。课后设计再见！
