6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示(共43张PPT)

(共43张PPT)
6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
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核心知识目标 核心素养目标
1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念,要把点的坐标与向量的坐标区分开来. 1.借助平面直角坐标系及平面向量基本定理,学会平面向量的坐标表示,体会数学抽象及直观想象的核心素养.
2.通过平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示及平面向量共线的坐标表示,发展逻辑推理及数学运算的核心素养.
新知探究·素养启迪
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1.平面向量的坐标表示
(1)平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量.
(2)基底:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.
(3)坐标:对于平面内的任意一个向量a,有且仅有一对实数x,y,使得a=xi+yj,则有序数对(x,y)叫做向量a的坐标.
(4)坐标表示a=(x,y).
(5)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
2.平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则有下表
3.平面向量共线的坐标表示
(1)条件:a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.
(2)结论:
当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a,b(b≠0)共线.
小试身手
1.(多选题)下列说法中正确的是(　 　)
(A)相等向量的坐标相同
(B)平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
(C)一个坐标对应唯一的一个向量
(D)平面上一个点与以原点为始点,该点为终点的向量一一对应
解析:由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量,故C错误.其余均正确,选ABD.
ABD
AB
3.已知P(2,6),Q(-4,0),则PQ的中点坐标为　　　　　　　.
解析:根据中点坐标公式可得,PQ的中点坐标为(-1,3).
答案:(-1,3)
答案:(4,6)
课堂探究·素养培育
探究点一
平面向量的坐标表示
方法技巧
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标.
(2)求一个向量的坐标时,可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标.
即时训练1-1:如图所示,写出向量a,b,c,d的坐标,其中每个小正方形的边长是1.
解:a=(2,3),b=(-2,3),c=(-3,-2),d=(3,-3).
平面向量的坐标运算
探究点二
解:由已知得a=(5,-5),
b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
方法技巧
平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
解:(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7).
解:(2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1).
(2)a-3b;
向量共线的判定及应用
探究点三
[例3]已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行 平行时它们是同向还是反向
变式训练3-1:本例条件不变,若问题改为“当k为何值时,a+kb与3a-b
平行 ”,又如何求k的值
方法技巧
根据向量共线求参数值的方法
根据向量共线的条件求参数值的问题,一般有两种处理思路,一是利用向量共线定理a=λb(b≠0)列方程组求解,二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.
即时训练3-1:(1)已知四点坐标A(-1,1),B(1,5),C(-2,-1),D(4,11),请判断直线AB与CD是否平行.
[备用例3] 如图所示,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于E,M为CE的中点,试建立适当的坐标系并用向量的方法证明:
(1)DE∥BC;
[备用例3] 如图所示,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于E,M为CE的中点,试建立适当的坐标系并用向量的方法证明:
(2)D,M,B三点共线.
课堂达标
1.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b等于(　 　)
(A)(-2,-4) (B)(-3,-6)
(C)(-4,-8) (D)(-5,-10)
解析:由a∥b得到m=-4,所以b=(-2,-4),所以2a+3b=(2,4)+(-6,-12)=
(-4,-8).故选C.
C
A
3.(多选题)下列各组向量中,不共线的是(　 　)
(A)a=(-2,3),b=(4,6)
(B)a=(2,3),b=(3,2)
(C)a=(1,-2),b=(7,14)
(D)a=(-3,2),b=(6,-4)
解析:选项A中,3×4-(-2)×6≠0,则a与b不共线;同理,B,C中的两向量不共线;选项D中,2×6-(-3)×(-4)=0,则有a∥b.故选ABC.
ABC
4.已知向量a=(1,λ),b=(2,1),c=(1,-2),若向量2a+b与c共线,则λ=
　　　　.
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