2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.3.2 函数的极值与最大(小)值第一课时 函数的极值课件(共36张PPT)

(共36张PPT)
5.3.2　函数的极值与最大(小)值
第一课时　函数的极值

横看成岭侧成峰，远近高低各不同.不识庐山真面目，只缘身在
此山中.
在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，
但却是其附近的最高点；同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点.群山中的最高处是所有山峰的最高者的顶部，山谷中的最低处是所有谷底的最低者的底部.
问题　观察下图中的函数图象，指出其中是否有类似山峰、山谷的地方，如果有，应用什么数学语言来描述？
提示　有，应用函数的极大值和极小值来描述.
1.
(1)极小值点与极小值
如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧_________，右侧_________，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
f′(x)＜0
f′(x)＞0
极值点与极值的概念
极值与单调性一样，都是函数的局部性质
(2)极大值点与极大值
如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧_________，右侧__________，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.__________、__________统称为极值点，________和________统称为极值.
f′(x)＞0
f′(x)＜0
极大值点
极小值点
极大值
极小值
2.求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是________；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是________.
极大值
极小值
[判断]
1.导数为0的点一定是极值点.( )
提示　反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点.
2.函数的极大值一定大于极小值.( )
提示　反例：如图所示：
×
×
极大值f(x1)小于极小值f(x2).
3.函数y＝f(x)一定有极大值和极小值.( )
提示　反例：f(x)＝x3既没有极大值，也没有极小值.
×
[训练]
1.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)有(　　)
A.两个极大值，一个极小值
B.两个极大值，无极小值
C.一个极大值，一个极小值
D.一个极大值，两个极小值
解析　由图可知导函数f′(x)有三个零点，依次设为x1<0，x2＝0，x3>0，当x0，所以函数f(x)在x＝x1处取得极小值；当x10，当x20，所以函数f(x)在x＝x2处无极值；当x>x3时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝x3处取得极大值，故选C.
答案　C
[思考]
1.对于可导函数f(x)，“f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)＝0”是“f(x)在x＝x0处取得极值”的什么条件？
提示　必要不充分条件.
2.函数f(x)可以有多个极大值和极小值吗？
提示　可以，如函数f(x)＝sin x，f(x)＝cos x在R上有无数多个极大值和极小值.
解　(1)∵f(x)＝(x3－1)2＋1＝x6－2x3＋2，
∴f′(x)＝6x5－6x2＝6x2(x3－1).
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 － 0 ＋
f(x) ? 2 ? 1 ?
∴当x＝1时，f(x)有极小值，为f(1)＝1，f(x)无极大值.
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (0，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ? 3 ?
从表中可以看出，当x＝1时，函数f(x)有极小值，为f(1)＝3，f(x)无极大值.
规律方法　求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.
【训练1】　求函数f(x)＝x2e－x的极值.
解　函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ? 0 ? 4e－2 ?
因此当x＝0时，f(x)取得极小值，且极小值为f(0)＝0；
当x＝2时，f(x)取得极大值，
解　f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
分以下两种情况讨论：
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2a) －2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数，函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数，函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
规律方法　讨论参数应从f′(x)＝0的两根x1，x2是否相等入手进行.
【训练2】　已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R).
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值.
∴f(1)＝1，f′(1)＝－1,
∴y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－(x－1), 即x＋y－2＝0.
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a;
∵x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值.
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值.
题型三　利用函数极值确定参数的值
【例3】　已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)求常数a，b，c的值；
(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.
解　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵x＝±1是函数f(x)的极值点，
∴x＝±1是方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根，
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.　　　 　　　　③
当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－1∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数，
∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，
当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
规律方法　(1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.
【训练3】　已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值.
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去.
当a＝2，b＝9时，
f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3).
当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；
当x∈(－∞，－3)和(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.
一、素养落地
1.通过学习极值与极值点的概念，培养数学抽象素养，通过学习求函数的极值以及利用函数的极值求参数，提升数学运算素养.
2.函数的极值是函数的局部性质，可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反，所以求函数的极值时要严格按其步骤进行.
3.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.
二、素养训练
1.下列函数中存在极值的是(　　)
解析　对于y＝x－ex，y′＝1－ex，令y′＝0，得x＝0.
在区间(－∞，0)上，y′>0；
在区间(0，＋∞)上，y′<0.
故x＝0为函数y＝x－ex的极大值点.
答案　B
2.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是(　　)
解析　根据导函数图象知，x∈(1，2)时，f′(x)>0，x∈(2，4)时，f′(x)<0，x∈(4，5)时，f′(x)>0.∴f(x)在(1，2)，(4，5)上为增函数，在(2，4)上为减函数，x＝2是f(x)在[1，5]上的极大值点，x＝4是极小值点.故选D.
答案　D
3.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　 )
A.(－1，2) B.(－3，6)
C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.(－∞，－3)∪(6，＋∞)
解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
∴方程3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不相等的实数根，
那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0， 解得a>6或a<－3.
答案　D
4.函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________.
5.设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________.
解析　f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.
所以a＝9，经验证此时Δ>0，符合题意.
答案　9