7.4镶嵌[下学期]
图片预览
文档简介
课件194张PPT。7.4课题学习——镶嵌玉环实验学校 走进小新家 好漂亮的地板!这是怎么铺设的?一点空隙也没有.请观察,这些图形在拼接时有什么特点?请观察,这些图形在拼接时有什么特点?请你想一想,这些图形在拼接时有什么特点?
特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接.
（2）拼接处不留空隙也不重叠.
（3）能把一个平面铺满 .
平面镶嵌：用相同或不同的平面封闭图形不留缝隙且不重叠地把平面铺满（或叫平面密铺）。问题1：只用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面？√〤√√〤〤观察图形6个4个3个108o135o36o90o结论：只用一种正多边形，只有正3，4，6边形能镶嵌成 一个平面.探究原因 设在一个顶点周围有k个正n边形的角，则有∵k为正整数，n为大于等于3的正整数∴解为k=6
n=3k=4
n=4k=3
n=6问题2：形状大小相同的任意三角形能镶嵌 成一个平面 ？ .结论2：形状大小相同的任意三角形可镶嵌 成一个平面 .原因：交点处角度之和为360°研究普通四边形112233433结论3：形状大小相同的任意四边形可镶嵌成一个平面1234镶嵌条件：同一顶点处的各角和为360°问题4：用两种正多边形组合来镶嵌，哪两种正多边形组合起来能镶嵌成一个平面？1.由正三角形与正方形m?60°+n ?90°=360°
2m+3n=12
m=3, n=2结论：一个顶点处3个正三角形和2个正方形可镶嵌平面2.由正三角形与正六边形m?60°+n ?120°=360°
m+2n=6
m=4, n=1或 m=2, n=2结论： 一个顶点处4个正三角形和1个正六边形或
一个顶点处2个正三角形和2个正六边形可镶嵌平面请 看 图 案3.由正方形与正八边形m?90°+n ?135°=360°
2m+3n=8
m=1, n=24.由正三角形与正十二边形m?60°+n ?150°=360°
2m+5n=12
m=1, n=25.由正方形与正六边形m?90°+n ?120°=360°
3m+4n=12
方程无正整数解，无法镶嵌研究方法：用代数方程研究几何图形关系三种正多边形的平面镶嵌正三角形与正方形、正六边形的平面镶嵌正十二边形与正方形、正六边形的平面镶嵌三种正多边形的平面镶嵌请欣赏 练一练 1. 仅用正十边形能进行镶嵌吗? 为什么? 2. 只用一种正多边形能进行镶嵌的有
_____________________. 正三角形、正方形、 正六边形(2003年中考题）商店出售下列形状的地砖：①正方形；②长方形； ③正五边形；④正六边形。若只选择其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种边长为a的正方形与下列边长为a的正多边形组合起来，不能镶嵌成平面的是（ ）
①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形
A. ① ② B. ② ③ C. ① ③ D. ① ④CB课堂练习：（2003 辽宁）在下图中，所示的正多边形中用同一种图形不能做平面镶嵌的是（ ）BACD让我们学会欣赏美 更学会用数学去创造美
泽国三中
2006年3月谢谢各位光临再见游戏2珠穆朗玛峰的高度是8844.43米，用四舍五入法保留3个有效数字的近似值为____。想一想再说 我国2000年第五次人口普查统计人数为1295000000，用四舍五入法精确到数亿位数为_____。谈谈今天学习了什么?6.由正五边形与正六边形问题3：用三种正多边形镶嵌，哪几种正多边形组合起来能镶嵌成一个平面？设三种正多边形分边数分别为x,y,z++=360++=请你欣赏 请你创造美如图，足球由正五边形皮块（黑色）和正六边形皮块（白色）缝成。如果取下一黑两白两两相邻的三块皮块，能不能将这三块皮块连在一起铺平？为什么？答：正五边形的每个内角是540°/5=108 ° ，正六边形的每个内角是720 °/6=120 °
三块皮块有一个公共顶点。位于公共顶点处的三个内角分别是108 °，120 °，120 °，它们的和是348 °，小于360 °。所以不能将这三块皮块连在一起铺平。1.这节课你学到了什么？有什么收获？
2.你还有什么问题？还想知道什么？ 感悟与反思布置作业A类:
请同学们充分发挥自己的创造力，设计两幅由多边形镶嵌而成的优美图案，并尝试写上一两句贴切的解说词。 B类:
（05陕西 ）16．右图是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是__________。
（05山东）9．用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是
（A）正方形 （B）正六边形
（C）正十二边形 （D）正十八边形
（供学有余力的同学选择完成）镶嵌画欣赏资料2：埃舍尔的作品——鸟分割的平面（２）引导欣赏挂图，感受镶嵌美哪些图形可以密铺，哪些图形不可以密铺做一做（一） 用形状、大小完全相同的三角形能否密铺？
在密铺过程中，观察每个拼接点处有几个角？它们与这种三角形的三个内角有什么关系？
结论：
任意全等的三角形能密铺
,在每个拼接点处有六个角，而这六个角和恰好是这个三角形的内角和的两倍，也就是它们的和为360o，且相等的边互相重合
做一做（二）用同一种四边形可以密铺吗？
在密铺过程中，观察每个拼接点处的四个角与这种四边形的四个内角有什么关系？
结论
任意全等的四边形可以密铺
在每个拼接点处有四个角，而这四个角的和恰好是这个四边形的四个内角的和，它们的和为360o。且相等的边互相重合
能密铺的图形在一个拼接点处有什么特点? 几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360o，并使相等的边互相重合正六边形的每个内角是几度?三个内角合起来呢?正六边形可以密铺吗？正五边形可以密铺吗？
啊!拼不了啦,为什么呢?你能说说道理吗?123∠1+∠2+∠3=?正八边形可以密铺吗？
结论
可以用同一种正多边形密铺的图形只有
正三角形，正四边形，正六边形，归纳:三角形一定可以密铺.正六边形可以密铺.1. 因为三角形的内角和是180°, 用几个全等三角形拼接时,每个角只需用两次,就能拼出一个周角,所以2.任意四边形的四个内角之和是360°,而密铺时拼接点的四个角刚好能拼成一个周角,所以任意四边形一定可以密铺.3.正六边形的每个内角都是120°,也能拼接出周角,所以用一些多边形即不重叠又无空隙的把
平面的一部分完全覆盖，叫做平面镶
嵌．你知道吗？仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正
多边形能用来平面镶嵌？哪些不行？你知道为什么？探究问题（一）同一种任意三角形可否用来平面镶嵌？同一种任意四边形可否用来平面镶嵌？你知道为什么吗？探究问题（二）用两种正多边形镶嵌,哪些可以?你是怎么知道的？探究问题（三）M.C.Escher? 荷兰著名版画大师毛里茨．科内流斯．埃舍尔（１８９８－１９７２）．矛盾空间的天才．埃舍尔在世界艺术中占有独一无二的位置．在他之前，从未有艺术家创作出同类的作品．他在矛盾空间的 探索已经达到某种极至．１０００年来世界绝无仅有的绘画奇才！ 埃舍尔把自己称为一个"图形艺术家"，他专门从事于木版画和平版画。 1898年他出生在荷兰的 Leeuwarden，全名叫 Maurits Cornelis Escher。他的家庭设想他将来能跟随他的父亲从事建筑事业，但是他在学校里那可怜的成绩以及对于绘画和设计的偏爱最终使得他从事图形艺术的职业。他的工作成果直到五十年代才被注意，1956年他举办了他的第一次重要的画展, 这个画展得到了《时代》杂志的好评, 并且获得了世界范围的名望。在他的最热情的赞美者之中不乏许多数学家, 他们认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化。因为这个荷兰的艺术家没有受过中学以外的正式的数学训练，因而这一点尤其令人赞叹。随着他的创作的发展，他从他读到的数学的思想中获得了巨大灵感，他工作中经常直接用平面几何和射影几何的结构，这使他的作品深刻地反映了非欧几里德几何学的精髓，下面我们将看到这一点。他也被悖论和"不可能"的图形结构所迷住，并且使用了罗杰·彭罗斯的一个想法发展了许多吸引人的艺术成果。这样, 对于学数学的学生，埃舍尔的工作围绕了两个广阔的区域："空间几何学"和我们或许可以叫做的"空间逻辑学"。 1、平面镶嵌的定义
2、镶嵌的意义、条件、作用、方法
3、关注身边的数学
4、关注数学中的美总结：请你为家中的地面设计一种美丽的图案吧！谢 谢！镶嵌用形状相同或不同的平面封闭图形把一块平面既无缝隙又不重叠的全部覆盖叫平面镶嵌。做一做 （1）用边长相同的正三角形能否镶嵌？结论：用边长相同的正三角形可以镶嵌（2）用边长相同的正方形能否镶嵌？结论：用边长相同的正方形可以镶嵌啊!拼不了啦,为什么呢?你能说说道理吗?123∠1+∠2+∠3=?（3）用边长相同的正五边形能否镶嵌？（4）用边长相同的正六边形能否镶嵌？结论：用边长相同的正六边形可以镶嵌结论要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°．你还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌．仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正
多边形能镶嵌成一个平面？探究问题（一）(n-2)(k-2)=4k=6
n=3k=4
n=4k=3
n=6 设在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角，则有∵ k 为正整数， n 为大于等于 3 的正整数∴解为用两种正多边形镶嵌,哪些能镶嵌成一个平面?探究问题（二）2 m+3 n=12m=3
n=2设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正方形的角，
则有
∵ m,n 为正整数∴解为m+2 n=6m=2
n=2m=4
n=1设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正六边形的角，
则有∵ m,n 为正整数∴解为2 m+5 n=12m=1
n=2设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正十二边形
的角，则有∵ m,n 为正整数∴解为2 m+3 n=8m=1
n=2设在一个顶点周围有个 m 正四边形的角,n 个正八边形
的角，则有∵ m,n 为正整数∴解为设在一个顶点周围有 m 个正五边形的角,n 个正十边形的角，则有3 m+4 n=10m=2
n=1∵ m,n 为正整数∴解为用三种正多边形镶嵌,哪些能镶嵌成一个平面？探究问题（三）思考同一种任意三角形可否镶嵌成一个平面？
同一种任意四边形可否镶嵌成一个平面？1 、平面镶嵌的定义
2 、镶嵌的意义、条件、作用、方法
3 、关注身边的数学
4 、关注数学中的美总结：请你为家中的地面设计一种美丽的图案吧！ 我们经常能见到各种建筑物的地板，观察地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案7.4 课题学习 镶嵌 用一些形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖，这就是平面图形的镶嵌．
注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠利用镶嵌可以得到一些绚丽多彩的图案我们可以利用多边形设计一些美丽的图案．问题用同一种平面图形如果不能密铺,用两种或者两种以上平面图形能不能密铺呢?请同学们剪一些全等的四边形纸片，将它们多次旋转和平移，就拼成了一幅镶嵌图，你知道为什么吗？正六边形正八边形正十边形正十二边形正五边形“内角必须整除３６０度”学具——每种正多边形各六个8.4.2 用多种多边形拼地板 1、正六边形和正三角形的组合。 1、正六边形和正三角形的组合。 2、正八边形和正方形组合。3、正十二边形和正三角形组合。 4、正六边形、正方形和正三角形的组合。5、正十二边形、正六边形和正方形的组合。 用形状相同或不同的平面封闭图形把一块平面既无缝隙又不重叠的全部覆盖叫做平面镶嵌。镶嵌仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面？探究问题（一） 仅用正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，必须要求在公共顶点上所有内角和为360度。令正多边形的边数为n,个数为k,则有k=6
n=3k=4
n=4k=3
n=6 设在一个顶点周围有k个正n边形的角，则有∵k为正整数，n为大于等于3的正整数∴解为如果只用一种正多边形镶嵌，则只有正三角形、正方形、正六边形能够镶嵌。结论（1） 正三角形的平面镶嵌注：n指边数，k指同一顶点的正多边形个数。（2） 正方形的平面镶嵌注：n、 k分别指同一顶点的正多边形边数、个数。（3） 正六边形的平面镶嵌注：n指边数，k指同一顶点的正多边形个数。若在三种正多边形周长相等时，哪一种正多边形的面积更大呢？在等周长中，正六边形的面积最大。练习1） 小颖家购买了一套新房，准备用一种地板砖镶嵌新居地面，要求地板砖都是正多边形，且每块地板砖的各边长都相等，各个角也相等。某家装饰材料市场有如下五种型号的正多边形地板砖，他们每个角的度数分别是60°，90°。108°，120°，135°，你认为这些地板砖那些适用？用两种正多边形镶嵌,哪些能镶嵌成一个平面?思考问题：镶嵌 面 平
特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接.
（2）拼接处不留空隙也不重叠.
（3）能把一个平面铺满 .
平面镶嵌：用相同或不同的平面封闭图形不留缝隙且不重叠地把平面铺满（或叫平面密铺）。问题1：只用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面？√〤√√〤〤观察图形6个4个3个108o135o36o90o结论：只用一种正多边形，只有正3，4，6边形能镶嵌成 一个平面.探究原因 设在一个顶点周围有k个正n边形的角，则有∵k为正整数，n为大于等于3的正整数∴解为k=6
n=3k=4
n=4k=3
n=6问题2：形状大小相同的任意三角形能镶嵌 成一个平面 ？ .结论2：形状大小相同的任意三角形可镶嵌 成一个平面 .原因：交点处角度之和为360°研究普通四边形112233433结论3：形状大小相同的任意四边形可镶嵌成一个平面1234镶嵌条件：同一顶点处的各角和为360°问题4：用两种正多边形组合来镶嵌，哪两种正多边形组合起来能镶嵌成一个平面？1.由正三角形与正方形m?60°+n ?90°=360°
2m+3n=12
m=3, n=2结论：一个顶点处3个正三角形和2个正方形可镶嵌平面2.由正三角形与正六边形m?60°+n ?120°=360°
m+2n=6
m=4, n=1或 m=2, n=2结论： 一个顶点处4个正三角形和1个正六边形或
一个顶点处2个正三角形和2个正六边形可镶嵌平面请 看 图 案3.由正方形与正八边形m?90°+n ?135°=360°
2m+3n=8
m=1, n=24.由正三角形与正十二边形m?60°+n ?150°=360°
2m+5n=12
m=1, n=25.由正方形与正六边形m?90°+n ?120°=360°
3m+4n=12
方程无正整数解，无法镶嵌研究方法：用代数方程研究几何图形关系三种正多边形的平面镶嵌正三角形与正方形、正六边形的平面镶嵌正十二边形与正方形、正六边形的平面镶嵌三种正多边形的平面镶嵌请欣赏 练一练 1. 仅用正十边形能进行镶嵌吗? 为什么? 2. 只用一种正多边形能进行镶嵌的有
_____________________. 正三角形、正方形、 正六边形(2003年中考题）商店出售下列形状的地砖：①正方形；②长方形； ③正五边形；④正六边形。若只选择其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种边长为a的正方形与下列边长为a的正多边形组合起来，不能镶嵌成平面的是（ ）
①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形
A. ① ② B. ② ③ C. ① ③ D. ① ④CB课堂练习：（2003 辽宁）在下图中，所示的正多边形中用同一种图形不能做平面镶嵌的是（ ）BACD让我们学会欣赏美 更学会用数学去创造美
泽国三中
2006年3月谢谢各位光临再见游戏2珠穆朗玛峰的高度是8844.43米，用四舍五入法保留3个有效数字的近似值为____。想一想再说 我国2000年第五次人口普查统计人数为1295000000，用四舍五入法精确到数亿位数为_____。谈谈今天学习了什么?6.由正五边形与正六边形问题3：用三种正多边形镶嵌，哪几种正多边形组合起来能镶嵌成一个平面？设三种正多边形分边数分别为x,y,z++=360++=请你欣赏 请你创造美如图，足球由正五边形皮块（黑色）和正六边形皮块（白色）缝成。如果取下一黑两白两两相邻的三块皮块，能不能将这三块皮块连在一起铺平？为什么？答：正五边形的每个内角是540°/5=108 ° ，正六边形的每个内角是720 °/6=120 °
三块皮块有一个公共顶点。位于公共顶点处的三个内角分别是108 °，120 °，120 °，它们的和是348 °，小于360 °。所以不能将这三块皮块连在一起铺平。1.这节课你学到了什么？有什么收获？
2.你还有什么问题？还想知道什么？ 感悟与反思布置作业A类:
请同学们充分发挥自己的创造力，设计两幅由多边形镶嵌而成的优美图案，并尝试写上一两句贴切的解说词。 B类:
（05陕西 ）16．右图是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是__________。
（05山东）9．用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是
（A）正方形 （B）正六边形
（C）正十二边形 （D）正十八边形
（供学有余力的同学选择完成）镶嵌画欣赏资料2：埃舍尔的作品——鸟分割的平面（２）引导欣赏挂图，感受镶嵌美哪些图形可以密铺，哪些图形不可以密铺做一做（一） 用形状、大小完全相同的三角形能否密铺？
在密铺过程中，观察每个拼接点处有几个角？它们与这种三角形的三个内角有什么关系？
结论：
任意全等的三角形能密铺
,在每个拼接点处有六个角，而这六个角和恰好是这个三角形的内角和的两倍，也就是它们的和为360o，且相等的边互相重合
做一做（二）用同一种四边形可以密铺吗？
在密铺过程中，观察每个拼接点处的四个角与这种四边形的四个内角有什么关系？
结论
任意全等的四边形可以密铺
在每个拼接点处有四个角，而这四个角的和恰好是这个四边形的四个内角的和，它们的和为360o。且相等的边互相重合
能密铺的图形在一个拼接点处有什么特点? 几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360o，并使相等的边互相重合正六边形的每个内角是几度?三个内角合起来呢?正六边形可以密铺吗？正五边形可以密铺吗？
啊!拼不了啦,为什么呢?你能说说道理吗?123∠1+∠2+∠3=?正八边形可以密铺吗？
结论
可以用同一种正多边形密铺的图形只有
正三角形，正四边形，正六边形，归纳:三角形一定可以密铺.正六边形可以密铺.1. 因为三角形的内角和是180°, 用几个全等三角形拼接时,每个角只需用两次,就能拼出一个周角,所以2.任意四边形的四个内角之和是360°,而密铺时拼接点的四个角刚好能拼成一个周角,所以任意四边形一定可以密铺.3.正六边形的每个内角都是120°,也能拼接出周角,所以用一些多边形即不重叠又无空隙的把
平面的一部分完全覆盖，叫做平面镶
嵌．你知道吗？仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正
多边形能用来平面镶嵌？哪些不行？你知道为什么？探究问题（一）同一种任意三角形可否用来平面镶嵌？同一种任意四边形可否用来平面镶嵌？你知道为什么吗？探究问题（二）用两种正多边形镶嵌,哪些可以?你是怎么知道的？探究问题（三）M.C.Escher? 荷兰著名版画大师毛里茨．科内流斯．埃舍尔（１８９８－１９７２）．矛盾空间的天才．埃舍尔在世界艺术中占有独一无二的位置．在他之前，从未有艺术家创作出同类的作品．他在矛盾空间的 探索已经达到某种极至．１０００年来世界绝无仅有的绘画奇才！ 埃舍尔把自己称为一个"图形艺术家"，他专门从事于木版画和平版画。 1898年他出生在荷兰的 Leeuwarden，全名叫 Maurits Cornelis Escher。他的家庭设想他将来能跟随他的父亲从事建筑事业，但是他在学校里那可怜的成绩以及对于绘画和设计的偏爱最终使得他从事图形艺术的职业。他的工作成果直到五十年代才被注意，1956年他举办了他的第一次重要的画展, 这个画展得到了《时代》杂志的好评, 并且获得了世界范围的名望。在他的最热情的赞美者之中不乏许多数学家, 他们认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化。因为这个荷兰的艺术家没有受过中学以外的正式的数学训练，因而这一点尤其令人赞叹。随着他的创作的发展，他从他读到的数学的思想中获得了巨大灵感，他工作中经常直接用平面几何和射影几何的结构，这使他的作品深刻地反映了非欧几里德几何学的精髓，下面我们将看到这一点。他也被悖论和"不可能"的图形结构所迷住，并且使用了罗杰·彭罗斯的一个想法发展了许多吸引人的艺术成果。这样, 对于学数学的学生，埃舍尔的工作围绕了两个广阔的区域："空间几何学"和我们或许可以叫做的"空间逻辑学"。 1、平面镶嵌的定义
2、镶嵌的意义、条件、作用、方法
3、关注身边的数学
4、关注数学中的美总结：请你为家中的地面设计一种美丽的图案吧！谢 谢！镶嵌用形状相同或不同的平面封闭图形把一块平面既无缝隙又不重叠的全部覆盖叫平面镶嵌。做一做 （1）用边长相同的正三角形能否镶嵌？结论：用边长相同的正三角形可以镶嵌（2）用边长相同的正方形能否镶嵌？结论：用边长相同的正方形可以镶嵌啊!拼不了啦,为什么呢?你能说说道理吗?123∠1+∠2+∠3=?（3）用边长相同的正五边形能否镶嵌？（4）用边长相同的正六边形能否镶嵌？结论：用边长相同的正六边形可以镶嵌结论要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°．你还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌．仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正
多边形能镶嵌成一个平面？探究问题（一）(n-2)(k-2)=4k=6
n=3k=4
n=4k=3
n=6 设在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角，则有∵ k 为正整数， n 为大于等于 3 的正整数∴解为用两种正多边形镶嵌,哪些能镶嵌成一个平面?探究问题（二）2 m+3 n=12m=3
n=2设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正方形的角，
则有
∵ m,n 为正整数∴解为m+2 n=6m=2
n=2m=4
n=1设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正六边形的角，
则有∵ m,n 为正整数∴解为2 m+5 n=12m=1
n=2设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正十二边形
的角，则有∵ m,n 为正整数∴解为2 m+3 n=8m=1
n=2设在一个顶点周围有个 m 正四边形的角,n 个正八边形
的角，则有∵ m,n 为正整数∴解为设在一个顶点周围有 m 个正五边形的角,n 个正十边形的角，则有3 m+4 n=10m=2
n=1∵ m,n 为正整数∴解为用三种正多边形镶嵌,哪些能镶嵌成一个平面？探究问题（三）思考同一种任意三角形可否镶嵌成一个平面？
同一种任意四边形可否镶嵌成一个平面？1 、平面镶嵌的定义
2 、镶嵌的意义、条件、作用、方法
3 、关注身边的数学
4 、关注数学中的美总结：请你为家中的地面设计一种美丽的图案吧！ 我们经常能见到各种建筑物的地板，观察地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案7.4 课题学习 镶嵌 用一些形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖，这就是平面图形的镶嵌．
注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠利用镶嵌可以得到一些绚丽多彩的图案我们可以利用多边形设计一些美丽的图案．问题用同一种平面图形如果不能密铺,用两种或者两种以上平面图形能不能密铺呢?请同学们剪一些全等的四边形纸片，将它们多次旋转和平移，就拼成了一幅镶嵌图，你知道为什么吗？正六边形正八边形正十边形正十二边形正五边形“内角必须整除３６０度”学具——每种正多边形各六个8.4.2 用多种多边形拼地板 1、正六边形和正三角形的组合。 1、正六边形和正三角形的组合。 2、正八边形和正方形组合。3、正十二边形和正三角形组合。 4、正六边形、正方形和正三角形的组合。5、正十二边形、正六边形和正方形的组合。 用形状相同或不同的平面封闭图形把一块平面既无缝隙又不重叠的全部覆盖叫做平面镶嵌。镶嵌仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面？探究问题（一） 仅用正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，必须要求在公共顶点上所有内角和为360度。令正多边形的边数为n,个数为k,则有k=6
n=3k=4
n=4k=3
n=6 设在一个顶点周围有k个正n边形的角，则有∵k为正整数，n为大于等于3的正整数∴解为如果只用一种正多边形镶嵌，则只有正三角形、正方形、正六边形能够镶嵌。结论（1） 正三角形的平面镶嵌注：n指边数，k指同一顶点的正多边形个数。（2） 正方形的平面镶嵌注：n、 k分别指同一顶点的正多边形边数、个数。（3） 正六边形的平面镶嵌注：n指边数，k指同一顶点的正多边形个数。若在三种正多边形周长相等时，哪一种正多边形的面积更大呢？在等周长中，正六边形的面积最大。练习1） 小颖家购买了一套新房，准备用一种地板砖镶嵌新居地面，要求地板砖都是正多边形，且每块地板砖的各边长都相等，各个角也相等。某家装饰材料市场有如下五种型号的正多边形地板砖，他们每个角的度数分别是60°，90°。108°，120°，135°，你认为这些地板砖那些适用？用两种正多边形镶嵌,哪些能镶嵌成一个平面?思考问题：镶嵌 面 平