高中数学人教A版（2019）必修一 5.7 三角函数的应用

高中数学人教A版（2019）必修一 5.7 三角函数的应用
一、单选题
1．（2020高一下·山西月考）电流强度 （安）随时间 （秒）变化的函数 的图像如图所示，则当 秒时，电流强度是（　　）
A．10安 B．5安 C． 安 D．-5安
2．（2022高二下·杭州期末）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定：，，.已知当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在秒时h的值为（　　）
A．-2 B．2 C． D．
3．一个大风车的半径为8m，12min旋转一周，它的最低点Po离地面2m，风车翼片的一个端点P从Po开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h（m）与时间f（min）之间的函数关系式是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2022·东城模拟）如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，则在转动一周的过程中，高度关于时间的函数解析式是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．（2021高一下·杭州期末）如图，一个半径为2的水轮，圆心 距离水面1米，水轮做匀速圆周运动，每分钟逆时针旋转4圈．水轮上的点 到水面的距离 （米）与时间 （秒）满足 （ ），则（　　）
A． B． C． D．
6．夏季来临，人们注意避暑．如图是成都市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asin（ωx+φ）+B，则成都市这一天中午12时天气的温度大约是（　　）
A．25℃ B．26℃ C．27℃ D．28℃
7．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(x+)+k，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
二、填空题
8．（2019高二下·慈溪期末）已知函数 ，若函数 的最小正周期为 ，则 　 　，若 ，则函数 的最小正周期为　 　.
9．如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y＝3sin(x＋Φ)＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为　 　 .
10．（人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测）国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150（天）时达到最低油价，则ω=　 　．
三、解答题
11．（2022高一下·景德镇期中）某地种植大棚蔬菜，已知大棚内一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：，．
（1）求实验室这一天的最大温差；
（2）若某种蔬菜的生长要求温度不高于10.5℃，若种植这种蔬菜，则在哪段时间大棚需要降温？
12．（2020高一上·台州期末）如图，摩天轮的半径为 ， 点距地面的高度为 ，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每 转一圈，摩天轮上点 的起始位置在最高点.
（Ⅰ）试确定点 距离地面的高度 （单位： ）关于转动时间（单位： ）的函数关系式；
（Ⅱ）摩天轮转动一圈内，有多长时间点 距离地面超过 ？
13．（2022高一上·丽水期末）如图，一个轴心为的圆形筒车按逆时针方向每分钟转2圈.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为(单位：)(在水面下则为负数)，若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间(单位：)之间的关系为，求
（1）筒车转了时，盛水筒到水面的距离；
（2）盛水筒入水后至少经过多少时间出水？
14．（2022高一下·湖北期中）如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数（，）.
（1）求这一天6~14时的最大温差；
（2）写出这段曲线的解析式；
（3）预测当天12时的温度（，结果保留整数）.
15．（2020高一上·阜宁期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间和水深关系表：
时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00
水深/米 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0
经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数 来描述.
（1）根据以上数据，求出函数 的表达式；
（2）一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4.0米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船在一天内(0：00~24：00)何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】根据函数图象可知，
，所以解得
由周期公式 代入可得
所以函数
将 代入可得
则
由 可知当 时解得
所以函数
当 时，代入可得
故选：D
【分析】根据所给函数图象，即可求得函数 的解析式，再代入 即可求解.
2．【答案】D
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】因为当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，故，即，又，故，故，故当时，
故答案为：D
【分析】根据当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动可求得，进而求得h的解析式，再代入求解即可.
3．【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：设h（t）=Acosωt+B，
∵12min旋转一周，∴=12，∴ω=．
由于最大值与最小值分别为18，2．
∴，解得A=﹣8，B=10．
∴h（t）=﹣8cost+10．
故选：B．
【分析】由题意可设h（t）=Acosωt+B，根据周期性=12，与最大值与最小值分别为18，2．即可得出．
4．【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：根据题意设，，
因为某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，
所以，该摩天轮最低点距离地面高度为，
所以，解得，
因为开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要，
所以，，解得，
因为时，，故，即，解得.
所以，
故答案为：B
【分析】根据题意，设，进而结合题意求解即可.
5．【答案】A
【知识点】三角函数模型的应用-匀速圆周运动
【解析】【解答】解： 水轮的半径为2，水轮圆心 距离水面 ，由题意可得 ，
解得 ， ，可得 ， 选项错误，
又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，
，
，可得 正确，
又由题意，未指明初始位置 的值，所以无法确定，故 错误．
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的实际应用，从而解方程组求出A，k的值，再结合正弦型函数的最小正周期公式，从而求出的值，再利用题意，未指明初始位置 的值，所以无法确定，从而找出正确的选项。
6．【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由题意以及函数的图象可知，A+B=30，﹣A+B=10，所以A=10，B=20
∵，∴T=16
∵T=，∴
∴y=10sin（x+φ）+20
∵图象经过点（14，30）
∴30=10sin（×14+φ）+20
∴sin（×14+φ）=1
∴φ可以取
∴y=10sin（x+）+20
当x=12时，y=10sin（×12+）+20=10×+20≈27.07
故选C．
【分析】通过函数的图象，求出A，B，求出函数的周期，推出ω，利用函数经过（14，30）求出φ，得到函数的解析式，从而可求中午12时天气的温度．
7．【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由图像知：ymin=2， 因为ymin=-3+k，所以-3+k=2， 解得：k=5， 所以这段时间水深的最大值是ymax=3+k=3+5=8， 故选C。
【分析】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“最大值”，否则很容易出现错误．解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法．本题从图象中可知sin(x+)=-1时，y取得最小值，进而求出k的值，当sin(x+)=1时，y取得最大值．
8．【答案】4；
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由最小正周期公式可得 ；
画出函数 的图象，如下图：
可以发现，函数 的最小正周期为 .
【分析】直接运用最小正周期公式，可以求出 的值；画出函数 的图象可以，求出函数的最小正周期.
9．【答案】8
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由图像得， 当sin(x＋Φ)=-1时ymin=2， 求得k=5， 当sin(x＋Φ)=1时ymax=3x1+5=8， 故答案为8.
【分析】1.本题考查三角函数的图象和性质，在三角函数的求最值中，我们经常使用的是整理法，从图像中知此题sin(x＋Φ)=-1时，y取得最小值，继而求得k的值，当sin(x＋Φ)=1时，y取得最大值.2.本题属于中档题，注意运算的准确性.
10．【答案】
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，最高油价80美元，所以80=Asin（ωπt+ ）+60，因为sin（ωπt+ ）≤1，所以A=20，
当t=150（天）时达到最低油价，即sin（150ωπ+ ）=﹣1，
此时150ωπ+ =2kπ﹣ ，k∈Z，
因为ω＞0，所以令k=1，150ωπ+ =2π﹣ ，
解得ω= ．
故答案为： ．
【分析】通过三角函数的最大值，利用最高油价80美元，求出A，通过当t=150（天）时达到最低油价，求出ω．
11．【答案】（1）解：由题意，函数，
根据正弦型函数的性质，可得，
所以，可得，
所以实验室这一天的最大温差为℃.
（2）解：由题意，令，即，即，
因为，可得，
所以，解得，
即在6时至22时这段时间内大棚需要降温
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦型函数的解析式画出正弦型函数的图象，进而求出正弦型函数的最值，再结合作差法得出实验室这一天的最大温差。
（2）利用已知条件得出 ， 再结合正弦型函数的解析式，进而结合正弦型函数的图象和 ， 进而得出实数t的取值范围，从而得出在6时至22时这段时间内大棚需要降温。
12．【答案】解：（Ⅰ）建立如图所示的平面直角坐标系，
设 是以 轴正半轴为始边， （ 表示点 的起始位置）为终边的角，
由题点 的起始位置在最高点知， ，
又由题知 在 内转过的角为 ，即 ，
所以以 轴正半轴为始边， 为终边的角为 ，
即 点纵坐标为 ，
所以点 距离地面的高度 关于旋转时间 的函数关系式是 ，
化简得 .
（Ⅱ）当 时，解得 ，
又 ，所以符合题意的时间段为 或 ，即在摩天轮转动一圈内，有 点距离地面超过 .
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合三角函数的实际应用，从而求出点 距离地面的高度 （单位： ）关于转动时间（单位： ）的函数关系式。
（2）由（1）求出的函数关系式结合点 距离地面超过 ，从而求出在摩天轮转动一圈内，有 点距离地面超过 。
13．【答案】（1）解：筒车按逆时针方向旋转转1圈的时间为，则
周期，，
盛水筒刚浮出水面时，可得
，，，
，
；
所以，筒车转了时，盛水筒到水面的距离；
（2）解：盛水筒入水后，，所以，，令得25【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）利用筒车按逆时针方向旋转转1圈的时间为，再结合已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式得出的值，再利用盛水筒刚浮出水面时，可得，再结合得出的值，从而得出 ，再利用代入法得出筒车转了时，盛水筒到水面的距离。
（2）当盛水筒入水后，，再结合正弦型函数的图象得出，，令得出t的取值范围，所以盛水筒入水后至少经过5s后出水。
14．【答案】（1）解：观察图象得：6时的温度最低为10℃，14时的温度最高为30℃，
所以这一天6~14时的最大温差为20℃.
（2）解：观察图象，由解得：，周期，，即，则，
而当时，，则，又，有，
所以这段曲线的解析式为：，
（3）解：由（2）知，当时，，
预测当天12时的温度为27℃.
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）根据图象即可得到答案；
（2）观察图象可得，以及周期，从而求得，再根据特殊点求得，即可得解析式；
（3）由（2）即可得答案.
15．【答案】（1）解：由表格可知 ，
则 ，
又 ，
当 时， ，
即 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 .
（2）解：因为货船需要的安全水深度为6，
所以 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
又因为 ，
当 时， ，当 时， ，
所以在0时进港4时出港或12时进港16时出港，每次在港内可停留4个小时.
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数模型的简单应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】(1)由已知条件即可得出函数的最值，由此得到A与B的值，结合最值即可求出函数的周期，由函数的周期公式计算出的值，然后由特殊点法代入数值计算出，由此得到函数的解析式。
(2)根据题意把实际问题转化为数学问题，代入数值结合正弦函数的单调性由整体思想即可求出t的取值范围，结合已知条件即可求出k的取值，从而得出答案。
1 / 1高中数学人教A版（2019）必修一 5.7 三角函数的应用
一、单选题
1．（2020高一下·山西月考）电流强度 （安）随时间 （秒）变化的函数 的图像如图所示，则当 秒时，电流强度是（　　）
A．10安 B．5安 C． 安 D．-5安
【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】根据函数图象可知，
，所以解得
由周期公式 代入可得
所以函数
将 代入可得
则
由 可知当 时解得
所以函数
当 时，代入可得
故选：D
【分析】根据所给函数图象，即可求得函数 的解析式，再代入 即可求解.
2．（2022高二下·杭州期末）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定：，，.已知当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在秒时h的值为（　　）
A．-2 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】因为当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，故，即，又，故，故，故当时，
故答案为：D
【分析】根据当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动可求得，进而求得h的解析式，再代入求解即可.
3．一个大风车的半径为8m，12min旋转一周，它的最低点Po离地面2m，风车翼片的一个端点P从Po开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h（m）与时间f（min）之间的函数关系式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：设h（t）=Acosωt+B，
∵12min旋转一周，∴=12，∴ω=．
由于最大值与最小值分别为18，2．
∴，解得A=﹣8，B=10．
∴h（t）=﹣8cost+10．
故选：B．
【分析】由题意可设h（t）=Acosωt+B，根据周期性=12，与最大值与最小值分别为18，2．即可得出．
4．（2022·东城模拟）如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，则在转动一周的过程中，高度关于时间的函数解析式是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：根据题意设，，
因为某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，
所以，该摩天轮最低点距离地面高度为，
所以，解得，
因为开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要，
所以，，解得，
因为时，，故，即，解得.
所以，
故答案为：B
【分析】根据题意，设，进而结合题意求解即可.
5．（2021高一下·杭州期末）如图，一个半径为2的水轮，圆心 距离水面1米，水轮做匀速圆周运动，每分钟逆时针旋转4圈．水轮上的点 到水面的距离 （米）与时间 （秒）满足 （ ），则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角函数模型的应用-匀速圆周运动
【解析】【解答】解： 水轮的半径为2，水轮圆心 距离水面 ，由题意可得 ，
解得 ， ，可得 ， 选项错误，
又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，
，
，可得 正确，
又由题意，未指明初始位置 的值，所以无法确定，故 错误．
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的实际应用，从而解方程组求出A，k的值，再结合正弦型函数的最小正周期公式，从而求出的值，再利用题意，未指明初始位置 的值，所以无法确定，从而找出正确的选项。
6．夏季来临，人们注意避暑．如图是成都市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asin（ωx+φ）+B，则成都市这一天中午12时天气的温度大约是（　　）
A．25℃ B．26℃ C．27℃ D．28℃
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由题意以及函数的图象可知，A+B=30，﹣A+B=10，所以A=10，B=20
∵，∴T=16
∵T=，∴
∴y=10sin（x+φ）+20
∵图象经过点（14，30）
∴30=10sin（×14+φ）+20
∴sin（×14+φ）=1
∴φ可以取
∴y=10sin（x+）+20
当x=12时，y=10sin（×12+）+20=10×+20≈27.07
故选C．
【分析】通过函数的图象，求出A，B，求出函数的周期，推出ω，利用函数经过（14，30）求出φ，得到函数的解析式，从而可求中午12时天气的温度．
7．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(x+)+k，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由图像知：ymin=2， 因为ymin=-3+k，所以-3+k=2， 解得：k=5， 所以这段时间水深的最大值是ymax=3+k=3+5=8， 故选C。
【分析】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“最大值”，否则很容易出现错误．解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法．本题从图象中可知sin(x+)=-1时，y取得最小值，进而求出k的值，当sin(x+)=1时，y取得最大值．
二、填空题
8．（2019高二下·慈溪期末）已知函数 ，若函数 的最小正周期为 ，则 　 　，若 ，则函数 的最小正周期为　 　.
【答案】4；
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由最小正周期公式可得 ；
画出函数 的图象，如下图：
可以发现，函数 的最小正周期为 .
【分析】直接运用最小正周期公式，可以求出 的值；画出函数 的图象可以，求出函数的最小正周期.
9．如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y＝3sin(x＋Φ)＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为　 　 .
【答案】8
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由图像得， 当sin(x＋Φ)=-1时ymin=2， 求得k=5， 当sin(x＋Φ)=1时ymax=3x1+5=8， 故答案为8.
【分析】1.本题考查三角函数的图象和性质，在三角函数的求最值中，我们经常使用的是整理法，从图像中知此题sin(x＋Φ)=-1时，y取得最小值，继而求得k的值，当sin(x＋Φ)=1时，y取得最大值.2.本题属于中档题，注意运算的准确性.
10．（人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测）国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150（天）时达到最低油价，则ω=　 　．
【答案】
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，最高油价80美元，所以80=Asin（ωπt+ ）+60，因为sin（ωπt+ ）≤1，所以A=20，
当t=150（天）时达到最低油价，即sin（150ωπ+ ）=﹣1，
此时150ωπ+ =2kπ﹣ ，k∈Z，
因为ω＞0，所以令k=1，150ωπ+ =2π﹣ ，
解得ω= ．
故答案为： ．
【分析】通过三角函数的最大值，利用最高油价80美元，求出A，通过当t=150（天）时达到最低油价，求出ω．
三、解答题
11．（2022高一下·景德镇期中）某地种植大棚蔬菜，已知大棚内一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：，．
（1）求实验室这一天的最大温差；
（2）若某种蔬菜的生长要求温度不高于10.5℃，若种植这种蔬菜，则在哪段时间大棚需要降温？
【答案】（1）解：由题意，函数，
根据正弦型函数的性质，可得，
所以，可得，
所以实验室这一天的最大温差为℃.
（2）解：由题意，令，即，即，
因为，可得，
所以，解得，
即在6时至22时这段时间内大棚需要降温
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦型函数的解析式画出正弦型函数的图象，进而求出正弦型函数的最值，再结合作差法得出实验室这一天的最大温差。
（2）利用已知条件得出 ， 再结合正弦型函数的解析式，进而结合正弦型函数的图象和 ， 进而得出实数t的取值范围，从而得出在6时至22时这段时间内大棚需要降温。
12．（2020高一上·台州期末）如图，摩天轮的半径为 ， 点距地面的高度为 ，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每 转一圈，摩天轮上点 的起始位置在最高点.
（Ⅰ）试确定点 距离地面的高度 （单位： ）关于转动时间（单位： ）的函数关系式；
（Ⅱ）摩天轮转动一圈内，有多长时间点 距离地面超过 ？
【答案】解：（Ⅰ）建立如图所示的平面直角坐标系，
设 是以 轴正半轴为始边， （ 表示点 的起始位置）为终边的角，
由题点 的起始位置在最高点知， ，
又由题知 在 内转过的角为 ，即 ，
所以以 轴正半轴为始边， 为终边的角为 ，
即 点纵坐标为 ，
所以点 距离地面的高度 关于旋转时间 的函数关系式是 ，
化简得 .
（Ⅱ）当 时，解得 ，
又 ，所以符合题意的时间段为 或 ，即在摩天轮转动一圈内，有 点距离地面超过 .
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合三角函数的实际应用，从而求出点 距离地面的高度 （单位： ）关于转动时间（单位： ）的函数关系式。
（2）由（1）求出的函数关系式结合点 距离地面超过 ，从而求出在摩天轮转动一圈内，有 点距离地面超过 。
13．（2022高一上·丽水期末）如图，一个轴心为的圆形筒车按逆时针方向每分钟转2圈.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为(单位：)(在水面下则为负数)，若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间(单位：)之间的关系为，求
（1）筒车转了时，盛水筒到水面的距离；
（2）盛水筒入水后至少经过多少时间出水？
【答案】（1）解：筒车按逆时针方向旋转转1圈的时间为，则
周期，，
盛水筒刚浮出水面时，可得
，，，
，
；
所以，筒车转了时，盛水筒到水面的距离；
（2）解：盛水筒入水后，，所以，，令得25【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）利用筒车按逆时针方向旋转转1圈的时间为，再结合已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式得出的值，再利用盛水筒刚浮出水面时，可得，再结合得出的值，从而得出 ，再利用代入法得出筒车转了时，盛水筒到水面的距离。
（2）当盛水筒入水后，，再结合正弦型函数的图象得出，，令得出t的取值范围，所以盛水筒入水后至少经过5s后出水。
14．（2022高一下·湖北期中）如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数（，）.
（1）求这一天6~14时的最大温差；
（2）写出这段曲线的解析式；
（3）预测当天12时的温度（，结果保留整数）.
【答案】（1）解：观察图象得：6时的温度最低为10℃，14时的温度最高为30℃，
所以这一天6~14时的最大温差为20℃.
（2）解：观察图象，由解得：，周期，，即，则，
而当时，，则，又，有，
所以这段曲线的解析式为：，
（3）解：由（2）知，当时，，
预测当天12时的温度为27℃.
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）根据图象即可得到答案；
（2）观察图象可得，以及周期，从而求得，再根据特殊点求得，即可得解析式；
（3）由（2）即可得答案.
15．（2020高一上·阜宁期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间和水深关系表：
时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00
水深/米 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0
经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数 来描述.
（1）根据以上数据，求出函数 的表达式；
（2）一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4.0米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船在一天内(0：00~24：00)何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？
【答案】（1）解：由表格可知 ，
则 ，
又 ，
当 时， ，
即 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 .
（2）解：因为货船需要的安全水深度为6，
所以 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
又因为 ，
当 时， ，当 时， ，
所以在0时进港4时出港或12时进港16时出港，每次在港内可停留4个小时.
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数模型的简单应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】(1)由已知条件即可得出函数的最值，由此得到A与B的值，结合最值即可求出函数的周期，由函数的周期公式计算出的值，然后由特殊点法代入数值计算出，由此得到函数的解析式。
(2)根据题意把实际问题转化为数学问题，代入数值结合正弦函数的单调性由整体思想即可求出t的取值范围，结合已知条件即可求出k的取值，从而得出答案。
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