高中数学人教A版(2019)必修二 6.1 平面向量的概念
一、单选题
1.下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功.其中不是向量的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.下列说法正确的是( )
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
3.(2018高一上·荆州月考)下列说法中错误的是( )
A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0
C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的
4.下列四个命题正确的是 ( )
A.两个单位向量一定相等
B.若与不共线,则与都是非零向量
C.共线的单位向量必相等
D.两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同
5.(2021高一下·滨海新月考)下列说法中正确的是( )
A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合
B.模相等的两个平行向量是相等向量
C.若 和 都是单位向量,则
D.零向量与其它向量都共线
6.下列说法正确的是( )
A.向量与向量的长度不等
B.两个有共同起点长度相等的向量,则终点相同
C.零向量没有方向
D.任一向量与零向量平行
7.(2016高一下·宜春期中)下列说法正确的是( )
A.∥ 就是 所在的直线平行于 所在的直线
B.长度相等的向量叫相等向量
C.零向量的长度等于0
D.共线向量是在同一条直线上的向量
8.(2019高一上·山东月考)下列说法中,正确的是( )
A.任意两个单位向量都是相等的向量
B.若A,B是平面内的两个不同的点,则
C.若向量 , ,则
D.零向量与任意向量平行
9.(2020高一下·山西期末)下列关于向量的概念叙述正确的是( )
A.方向相同或相反的向量是共线向量
B.若 , ,则
C.若 和 都是单位向量,则
D.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合
10.(2022高一下·长沙期末)如图,四边形中,,则相等的向量是( )
A.与 B.与 C.与 D.与
11.(2021高一下·江南期中)如图,设是正六边形的中心,则与不相等的向量为( )
A. B. C. D.
二、多选题
12.(2021高一下·广东期末)下列说法中,正确的是( )
A.任意单位向量的模都相等.
B.若 , 是平面内的两个不同的点,则
C.若向量 , ,则
D.零向量与任意向量平行
三、填空题
13.若有以下命题:其中正确的命题序号是
①两个相等向量的模相等;
②若和都是单位向量,则=;
③相等的两个向量一定是共线向量;
④,,则则;
⑤零向量是唯一没有方向的向量;
⑥两个非零向量的和可以是零.
14.下列命题:其中真命题的序号是
①向量的长度与的长度相等;
②向量与向量平行,则与的方向相同或相反;
③两个有共同起点的单位向量,其终点必相同;
④向量与向量是共线向量,则A、B、C、D必在同一直线上.
四、解答题
15.O是正六边形ABCDE的中心,且 , , ,在以A,B,C,D,E,O为端点的向量中:
(1)与 相等的向量有 ;
(2)与 相等的向量有 ;
(3)与 相等的向量有 .
16.如图,△ABC中,D,E,F分别是边BC,AB,CA的中点,在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段中所表示的向量中,
(1)与向量 共线的有
(2)与向量 的模相等的有 .
(3)与向量 相等的有 .
17.如图所示,在长、宽、高分别为AB=3,AD=2, 的长方体 的八个顶点的两点为始点和终点的向量中:
(1)单位向量共有多少个?
(2)试写出模为 的所有向量;
(3)试写出与 相等的所有向量;
(4)试写出 的相反向量.
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】向量的定义:既有大小又有方向的量叫向量,①⑥⑦⑧没有方向,不符合向量的定义. 故答案为:D
【分析】结合向量的定义既有大小又有方向逐一判断即可。
2.【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】向量不能比较大小,向量的模能比较大小, 故答案为:D
【分析】结合向量的定义可得向量不能比较大小,向量的模能比较大小。
3.【答案】A
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】零向量的方向是任意的、其长度为0,与任意向量共线,BCD说法正确,A说法错误,符合题意.
故答案为:A
【分析】根据平面向量的相关概念逐一判断即可.
4.【答案】B
【知识点】向量的物理背景与基本概念;共线(平行)向量
【解析】【分析】因为零向量与任何向量共线,所以“B.若与不共线,则与都是非零向量”不正确,故选B。
5.【答案】D
【知识点】零向量;单位向量;相等向量与相反向量
【解析】【解答】对于A选项,因为向量是可以移动的,两个向量相等时,它们的起点和终点不一定重合,A选项错误;
对于B选项,模相等的两个平行向量,可以是相等向量,也可以是相反向量,B选项错误;
对于C选项, 和 都是单位向量,但它们的方向不一定相同,故 和 不一定相等,C选项错误;
对于D选项,零向量的方向是任意的,零向量与其它向量都共线,D选项正确.
故答案为:D.
【分析】 根据平面向量的基本概念,对选项中的命题进行分析、判断正误即可.
6.【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】①中,向量与向量的长度相等,∴A不正确;
②中,两个有共同起点长度相等的向量,则终点不一定相同,还有方向来决定,∴B不正确;
③中,由于零向量的方向是任意的,∴C不正确;
④中,由于零向量的方向是任意的,故任一向量与零向量平行,D正确.
故选:D.
【分析】根据平面向量的定义,判定每个命题是否正确,从而得出答案。
7.【答案】C
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】解:对于A,若 ∥ ,则 , 的方向相同或相反, 所在的直线与 所在的直线平行或在同一直线上,故A错误;
对于B,长度相等且方向相同的向量为相等向量,故B错误;
对于C,长度为0的向量为零向量,故C正确;
对于D,方向相同或相反的向量叫共线向量,故共线向量不一定在同一条直线上,故D错误.
故选;C.
【分析】根据特殊向量的定义进行判断分析.
8.【答案】D
【知识点】零向量;单位向量;共线(平行)向量
【解析】【解答】对于A,如果这两个向量的方向不同,则它们不相等,A不符合题意;
对于B这两个向量的方向相反,则它们不相等,B不符合题意;
对于C,若 是零向量,则 , 可以不平行,C不符合题意;
规定零向量与任意向量平行.
故答案为:D.
【分析】A选项单位向量可能方向不同,B选项两个互为相反向量,C选项若 是零向量不合题意,D选项正确.
9.【答案】A
【知识点】单位向量;共线(平行)向量;相等向量与相反向量
【解析】【解答】由向量共线的定义可知,A符合题意;
当 时,可知B不符合题意;
单位向量,方向不确定,C不符合题意;
向量是自由的,向量相等,只需大小和方向相同即可,不需起点终点重合,D不符合题意.
故答案为:A
【分析】利用相同向量、相反向量与共线向量的关系、共线向量的判断方法、单位向量的定义结合向量相等的判断方法,进而找出向量概念叙述正确的选项。
10.【答案】D
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】因为在四边形中,,则四边形为平行四边形,
故,,,。
故答案为:D.
【分析】利用已知条件结合平行四边形的结构特征,再结合向量相等的判断方法,进而找出相等的向量。
11.【答案】D
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】由题意,
,
.
故答案为:D.
【分析】 由向量相等的定义逐项进行判断即可得答案.
12.【答案】A,D
【知识点】向量的模;零向量;单位向量;共线(平行)向量;相等向量与相反向量
【解析】【解答】解:对于A:根据单位向量的定义可知任意单位向量的模都相等,A符合题意;
对于B: 与 互为相反向量,B不符合题意;
对于C:若 时, 与 不一定共线,C不符合题意;
对于D:零向量与任意向量平行,D符合题意。
故答案为:AD
【分析】利用已知条件结合单位向量的定义和向量的模的定义,从而得出任意单位向量的模都相等;再利用已知条件结合相等向量和相反向量的判断方法, 从而推出 与 互为相反向量;利用已知条件结合平行向量的判断方法和平行的传递性,从而推出若 时, 与 不一定共线;再利用零向量的定义结合平行向量的定义,从而推出零向量与任意向量平行,进而选出正确的选项。
13.【答案】①③
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】①长度相等,方向相同的向量为相等向量,∴该命题正确;
②单位向量只是长度为1,方向不确定,∴该命题错误;
③相等向量的方向相同,所以一定共线,∴该命题正确;
④若=,则与不一定平行,∴该命题错误;
⑤零向量的长度为0,方向不确定,即零向量有方向,∴该命题错误;
⑥向量的和仍是一个向量,不会是一个数,∴该命题错误;
∴正确的命题的序号为:①③.
故答案为:①③.
【分析】根据相等向量、单位向量、共线向量,以及零向量的定义,及向量加法的几何意义即可判断每个命题的正误,从而找出正确命题的序号。
14.【答案】①
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】对于①,向量的长度与的长度相等,正确;
对于②,向量与向量平行,则与的方向相同或相反,
因为零向量与任何向量平行,但零向量的方向是任意的,不能说方向相同或相反,∴②错误;
对于③,两个有共同起点的单位向量,其终点不一定相同,因为方向不一定相同,∴③错误;
对于④,向量与向量是共线向量,则A、B、C、D不一定在同一直线上,
如平行四边形的两条对边表示的向量,∴④错误.
综上,真命题是①.
故答案为:①.
【分析】根据平面向量的基本概念,结合模长,共线定理以及单位向量、零向量的概念,对题目中的命题判断真假即可。
15.【答案】(1) , ,
(2) , ,
(3) , ,
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】解:如图,在O是正六边形ABCDE的中心,以A,B,C,D,E,O为端点的向量中(1)与 相等的向量有 , , ;(2)与 相等的向量有 , , ;(3)与 相等的向量有 , , .
故三个空依次应填 , , ; , , ; , , .
【分析】O是正六边形ABCDE的中心,由向量相等的条件,方向相同,大小相等从图形中找符合条件的向量一一写出.
16.【答案】(1) 、 、 、 、 、
(2)
(3)
【知识点】共线(平行)向量;相等向量与相反向量
【解析】【解答】解:(1)∵EF是△ABC的中位线,∴EF∥BC且EF= BC,
则与向量 共线的向量是 、 、 、 、 、 ;(2)∵DF是△ABC的中位线,∴DF∥AC且DF= AC,
则与向量 的模相等的有 ;(3)∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥AB且DE= AB,
则与向量 相等的有 .
【分析】(1)由题意先证明EF∥BC且EF= BC,再由共线向量的定义找出所有所求的向量;(2)由题意先证明DF∥AC且DF= AC,再利用中点找出所有与向量 的模相等的向量;(3)由题意先证明DE∥AB且DE= AB,再利用中点找出所有与向量 相等的向量.
17.【答案】(1)解:由于长方体的高为1,所以长方体4条高所对应的 , , , , , , , 这8个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共8个
(2)解:由于这个长方体的左右两个面的对角线长均为 ,故模为 的向量有 , , , , , , ,
(3)解:与向量 相等的向量(除它自身之外)有 , ,
(4)解:向量 的相反向量为 , , ,
【知识点】向量的模;单位向量;相等向量与相反向量
【解析】【分析】(1)根据单位向量的定义:“模长等于1的向量是单位向量”即可判断;(2)在长方体中找到以顶点为端点的长度是的线段;(3)大小相等方向相同的向量为相等向量;(4)大小相等方向相反的向量是相反向量.
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一、单选题
1.下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功.其中不是向量的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】向量的定义:既有大小又有方向的量叫向量,①⑥⑦⑧没有方向,不符合向量的定义. 故答案为:D
【分析】结合向量的定义既有大小又有方向逐一判断即可。
2.下列说法正确的是( )
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】向量不能比较大小,向量的模能比较大小, 故答案为:D
【分析】结合向量的定义可得向量不能比较大小,向量的模能比较大小。
3.(2018高一上·荆州月考)下列说法中错误的是( )
A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0
C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的
【答案】A
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】零向量的方向是任意的、其长度为0,与任意向量共线,BCD说法正确,A说法错误,符合题意.
故答案为:A
【分析】根据平面向量的相关概念逐一判断即可.
4.下列四个命题正确的是 ( )
A.两个单位向量一定相等
B.若与不共线,则与都是非零向量
C.共线的单位向量必相等
D.两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同
【答案】B
【知识点】向量的物理背景与基本概念;共线(平行)向量
【解析】【分析】因为零向量与任何向量共线,所以“B.若与不共线,则与都是非零向量”不正确,故选B。
5.(2021高一下·滨海新月考)下列说法中正确的是( )
A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合
B.模相等的两个平行向量是相等向量
C.若 和 都是单位向量,则
D.零向量与其它向量都共线
【答案】D
【知识点】零向量;单位向量;相等向量与相反向量
【解析】【解答】对于A选项,因为向量是可以移动的,两个向量相等时,它们的起点和终点不一定重合,A选项错误;
对于B选项,模相等的两个平行向量,可以是相等向量,也可以是相反向量,B选项错误;
对于C选项, 和 都是单位向量,但它们的方向不一定相同,故 和 不一定相等,C选项错误;
对于D选项,零向量的方向是任意的,零向量与其它向量都共线,D选项正确.
故答案为:D.
【分析】 根据平面向量的基本概念,对选项中的命题进行分析、判断正误即可.
6.下列说法正确的是( )
A.向量与向量的长度不等
B.两个有共同起点长度相等的向量,则终点相同
C.零向量没有方向
D.任一向量与零向量平行
【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】①中,向量与向量的长度相等,∴A不正确;
②中,两个有共同起点长度相等的向量,则终点不一定相同,还有方向来决定,∴B不正确;
③中,由于零向量的方向是任意的,∴C不正确;
④中,由于零向量的方向是任意的,故任一向量与零向量平行,D正确.
故选:D.
【分析】根据平面向量的定义,判定每个命题是否正确,从而得出答案。
7.(2016高一下·宜春期中)下列说法正确的是( )
A.∥ 就是 所在的直线平行于 所在的直线
B.长度相等的向量叫相等向量
C.零向量的长度等于0
D.共线向量是在同一条直线上的向量
【答案】C
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】解:对于A,若 ∥ ,则 , 的方向相同或相反, 所在的直线与 所在的直线平行或在同一直线上,故A错误;
对于B,长度相等且方向相同的向量为相等向量,故B错误;
对于C,长度为0的向量为零向量,故C正确;
对于D,方向相同或相反的向量叫共线向量,故共线向量不一定在同一条直线上,故D错误.
故选;C.
【分析】根据特殊向量的定义进行判断分析.
8.(2019高一上·山东月考)下列说法中,正确的是( )
A.任意两个单位向量都是相等的向量
B.若A,B是平面内的两个不同的点,则
C.若向量 , ,则
D.零向量与任意向量平行
【答案】D
【知识点】零向量;单位向量;共线(平行)向量
【解析】【解答】对于A,如果这两个向量的方向不同,则它们不相等,A不符合题意;
对于B这两个向量的方向相反,则它们不相等,B不符合题意;
对于C,若 是零向量,则 , 可以不平行,C不符合题意;
规定零向量与任意向量平行.
故答案为:D.
【分析】A选项单位向量可能方向不同,B选项两个互为相反向量,C选项若 是零向量不合题意,D选项正确.
9.(2020高一下·山西期末)下列关于向量的概念叙述正确的是( )
A.方向相同或相反的向量是共线向量
B.若 , ,则
C.若 和 都是单位向量,则
D.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合
【答案】A
【知识点】单位向量;共线(平行)向量;相等向量与相反向量
【解析】【解答】由向量共线的定义可知,A符合题意;
当 时,可知B不符合题意;
单位向量,方向不确定,C不符合题意;
向量是自由的,向量相等,只需大小和方向相同即可,不需起点终点重合,D不符合题意.
故答案为:A
【分析】利用相同向量、相反向量与共线向量的关系、共线向量的判断方法、单位向量的定义结合向量相等的判断方法,进而找出向量概念叙述正确的选项。
10.(2022高一下·长沙期末)如图,四边形中,,则相等的向量是( )
A.与 B.与 C.与 D.与
【答案】D
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】因为在四边形中,,则四边形为平行四边形,
故,,,。
故答案为:D.
【分析】利用已知条件结合平行四边形的结构特征,再结合向量相等的判断方法,进而找出相等的向量。
11.(2021高一下·江南期中)如图,设是正六边形的中心,则与不相等的向量为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】由题意,
,
.
故答案为:D.
【分析】 由向量相等的定义逐项进行判断即可得答案.
二、多选题
12.(2021高一下·广东期末)下列说法中,正确的是( )
A.任意单位向量的模都相等.
B.若 , 是平面内的两个不同的点,则
C.若向量 , ,则
D.零向量与任意向量平行
【答案】A,D
【知识点】向量的模;零向量;单位向量;共线(平行)向量;相等向量与相反向量
【解析】【解答】解:对于A:根据单位向量的定义可知任意单位向量的模都相等,A符合题意;
对于B: 与 互为相反向量,B不符合题意;
对于C:若 时, 与 不一定共线,C不符合题意;
对于D:零向量与任意向量平行,D符合题意。
故答案为:AD
【分析】利用已知条件结合单位向量的定义和向量的模的定义,从而得出任意单位向量的模都相等;再利用已知条件结合相等向量和相反向量的判断方法, 从而推出 与 互为相反向量;利用已知条件结合平行向量的判断方法和平行的传递性,从而推出若 时, 与 不一定共线;再利用零向量的定义结合平行向量的定义,从而推出零向量与任意向量平行,进而选出正确的选项。
三、填空题
13.若有以下命题:其中正确的命题序号是
①两个相等向量的模相等;
②若和都是单位向量,则=;
③相等的两个向量一定是共线向量;
④,,则则;
⑤零向量是唯一没有方向的向量;
⑥两个非零向量的和可以是零.
【答案】①③
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】①长度相等,方向相同的向量为相等向量,∴该命题正确;
②单位向量只是长度为1,方向不确定,∴该命题错误;
③相等向量的方向相同,所以一定共线,∴该命题正确;
④若=,则与不一定平行,∴该命题错误;
⑤零向量的长度为0,方向不确定,即零向量有方向,∴该命题错误;
⑥向量的和仍是一个向量,不会是一个数,∴该命题错误;
∴正确的命题的序号为:①③.
故答案为:①③.
【分析】根据相等向量、单位向量、共线向量,以及零向量的定义,及向量加法的几何意义即可判断每个命题的正误,从而找出正确命题的序号。
14.下列命题:其中真命题的序号是
①向量的长度与的长度相等;
②向量与向量平行,则与的方向相同或相反;
③两个有共同起点的单位向量,其终点必相同;
④向量与向量是共线向量,则A、B、C、D必在同一直线上.
【答案】①
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】对于①,向量的长度与的长度相等,正确;
对于②,向量与向量平行,则与的方向相同或相反,
因为零向量与任何向量平行,但零向量的方向是任意的,不能说方向相同或相反,∴②错误;
对于③,两个有共同起点的单位向量,其终点不一定相同,因为方向不一定相同,∴③错误;
对于④,向量与向量是共线向量,则A、B、C、D不一定在同一直线上,
如平行四边形的两条对边表示的向量,∴④错误.
综上,真命题是①.
故答案为:①.
【分析】根据平面向量的基本概念,结合模长,共线定理以及单位向量、零向量的概念,对题目中的命题判断真假即可。
四、解答题
15.O是正六边形ABCDE的中心,且 , , ,在以A,B,C,D,E,O为端点的向量中:
(1)与 相等的向量有 ;
(2)与 相等的向量有 ;
(3)与 相等的向量有 .
【答案】(1) , ,
(2) , ,
(3) , ,
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】解:如图,在O是正六边形ABCDE的中心,以A,B,C,D,E,O为端点的向量中(1)与 相等的向量有 , , ;(2)与 相等的向量有 , , ;(3)与 相等的向量有 , , .
故三个空依次应填 , , ; , , ; , , .
【分析】O是正六边形ABCDE的中心,由向量相等的条件,方向相同,大小相等从图形中找符合条件的向量一一写出.
16.如图,△ABC中,D,E,F分别是边BC,AB,CA的中点,在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段中所表示的向量中,
(1)与向量 共线的有
(2)与向量 的模相等的有 .
(3)与向量 相等的有 .
【答案】(1) 、 、 、 、 、
(2)
(3)
【知识点】共线(平行)向量;相等向量与相反向量
【解析】【解答】解:(1)∵EF是△ABC的中位线,∴EF∥BC且EF= BC,
则与向量 共线的向量是 、 、 、 、 、 ;(2)∵DF是△ABC的中位线,∴DF∥AC且DF= AC,
则与向量 的模相等的有 ;(3)∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥AB且DE= AB,
则与向量 相等的有 .
【分析】(1)由题意先证明EF∥BC且EF= BC,再由共线向量的定义找出所有所求的向量;(2)由题意先证明DF∥AC且DF= AC,再利用中点找出所有与向量 的模相等的向量;(3)由题意先证明DE∥AB且DE= AB,再利用中点找出所有与向量 相等的向量.
17.如图所示,在长、宽、高分别为AB=3,AD=2, 的长方体 的八个顶点的两点为始点和终点的向量中:
(1)单位向量共有多少个?
(2)试写出模为 的所有向量;
(3)试写出与 相等的所有向量;
(4)试写出 的相反向量.
【答案】(1)解:由于长方体的高为1,所以长方体4条高所对应的 , , , , , , , 这8个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共8个
(2)解:由于这个长方体的左右两个面的对角线长均为 ,故模为 的向量有 , , , , , , ,
(3)解:与向量 相等的向量(除它自身之外)有 , ,
(4)解:向量 的相反向量为 , , ,
【知识点】向量的模;单位向量;相等向量与相反向量
【解析】【分析】(1)根据单位向量的定义:“模长等于1的向量是单位向量”即可判断;(2)在长方体中找到以顶点为端点的长度是的线段;(3)大小相等方向相同的向量为相等向量;(4)大小相等方向相反的向量是相反向量.
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