【精品解析】高中数学人教A版（2019）必修二 6.1 平面向量的概念

高中数学人教A版（2019）必修二 6.1 平面向量的概念
一、单选题
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有（　　）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
2．下列说法正确的是（　　）
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
3．（2018高一上·荆州月考）下列说法中错误的是（　　）
A．零向量是没有方向的 B．零向量的长度为0
C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的
4．下列四个命题正确的是 （　　）
A．两个单位向量一定相等
B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等
D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同
5．（2021高一下·滨海新月考）下列说法中正确的是（　　）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．模相等的两个平行向量是相等向量
C．若 和 都是单位向量，则
D．零向量与其它向量都共线
6．下列说法正确的是（　　）
A．向量与向量的长度不等
B．两个有共同起点长度相等的向量，则终点相同
C．零向量没有方向
D．任一向量与零向量平行
7．（2016高一下·宜春期中）下列说法正确的是（　　）
A．∥ 就是 所在的直线平行于 所在的直线
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度等于0
D．共线向量是在同一条直线上的向量
8．（2019高一上·山东月考）下列说法中，正确的是（　　）
A．任意两个单位向量都是相等的向量
B．若A，B是平面内的两个不同的点，则
C．若向量 ， ，则
D．零向量与任意向量平行
9．（2020高一下·山西期末）下列关于向量的概念叙述正确的是（　　）
A．方向相同或相反的向量是共线向量
B．若 ， ，则
C．若 和 都是单位向量，则
D．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
10．（2022高一下·长沙期末）如图，四边形中，，则相等的向量是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
11．（2021高一下·江南期中）如图，设是正六边形的中心，则与不相等的向量为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
12．（2021高一下·广东期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．任意单位向量的模都相等.
B．若 ， 是平面内的两个不同的点，则
C．若向量 ， ，则
D．零向量与任意向量平行
三、填空题
13．若有以下命题：其中正确的命题序号是　 　
①两个相等向量的模相等；
②若和都是单位向量，则=；
③相等的两个向量一定是共线向量；
④，，则则；
⑤零向量是唯一没有方向的向量；
⑥两个非零向量的和可以是零．
14．下列命题：其中真命题的序号是　 　
①向量的长度与的长度相等；
②向量与向量平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；
④向量与向量是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上．
四、解答题
15．O是正六边形ABCDE的中心，且 ， ， ，在以A，B，C，D，E，O为端点的向量中：
（1）与 相等的向量有　 　；
（2）与 相等的向量有　 　；
（3）与 相等的向量有　 　．
16．如图，△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，CA的中点，在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段中所表示的向量中，
（1）与向量 共线的有　 　
（2）与向量 的模相等的有　 　．
（3）与向量 相等的有　 　．
17．如图所示，在长、宽、高分别为AB=3，AD=2， 的长方体 的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：
（1）单位向量共有多少个？
（2）试写出模为 的所有向量；
（3）试写出与 相等的所有向量；
（4）试写出 的相反向量．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量，①⑥⑦⑧没有方向，不符合向量的定义. 故答案为：D
【分析】结合向量的定义既有大小又有方向逐一判断即可。
2．【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】向量不能比较大小，向量的模能比较大小， 故答案为：D
【分析】结合向量的定义可得向量不能比较大小，向量的模能比较大小。
3．【答案】A
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】零向量的方向是任意的、其长度为0，与任意向量共线，BCD说法正确，A说法错误，符合题意.
故答案为：A
【分析】根据平面向量的相关概念逐一判断即可.
4．【答案】B
【知识点】向量的物理背景与基本概念；共线（平行）向量
【解析】【分析】因为零向量与任何向量共线，所以“B．若与不共线，则与都是非零向量”不正确，故选B。
5．【答案】D
【知识点】零向量；单位向量；相等向量与相反向量
【解析】【解答】对于A选项，因为向量是可以移动的，两个向量相等时，它们的起点和终点不一定重合，A选项错误；
对于B选项，模相等的两个平行向量，可以是相等向量，也可以是相反向量，B选项错误；
对于C选项， 和 都是单位向量，但它们的方向不一定相同，故 和 不一定相等，C选项错误；
对于D选项，零向量的方向是任意的，零向量与其它向量都共线，D选项正确.
故答案为：D.
【分析】 根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
6．【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】①中，向量与向量的长度相等，∴A不正确；
②中，两个有共同起点长度相等的向量，则终点不一定相同，还有方向来决定，∴B不正确；
③中，由于零向量的方向是任意的，∴C不正确；
④中，由于零向量的方向是任意的，故任一向量与零向量平行，D正确．
故选：D．
【分析】根据平面向量的定义，判定每个命题是否正确，从而得出答案。
7．【答案】C
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】解：对于A，若 ∥ ，则 ， 的方向相同或相反， 所在的直线与 所在的直线平行或在同一直线上，故A错误；
对于B，长度相等且方向相同的向量为相等向量，故B错误；
对于C，长度为0的向量为零向量，故C正确；
对于D，方向相同或相反的向量叫共线向量，故共线向量不一定在同一条直线上，故D错误．
故选；C．
【分析】根据特殊向量的定义进行判断分析．
8．【答案】D
【知识点】零向量；单位向量；共线（平行）向量
【解析】【解答】对于A，如果这两个向量的方向不同，则它们不相等，A不符合题意；
对于B这两个向量的方向相反，则它们不相等，B不符合题意；
对于C，若 是零向量，则 ， 可以不平行，C不符合题意；
规定零向量与任意向量平行.
故答案为：D.
【分析】A选项单位向量可能方向不同，B选项两个互为相反向量，C选项若 是零向量不合题意，D选项正确.
9．【答案】A
【知识点】单位向量；共线（平行）向量；相等向量与相反向量
【解析】【解答】由向量共线的定义可知，A符合题意；
当 时，可知B不符合题意；
单位向量，方向不确定，C不符合题意；
向量是自由的，向量相等，只需大小和方向相同即可，不需起点终点重合，D不符合题意.
故答案为：A
【分析】利用相同向量、相反向量与共线向量的关系、共线向量的判断方法、单位向量的定义结合向量相等的判断方法，进而找出向量概念叙述正确的选项。
10．【答案】D
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】因为在四边形中，，则四边形为平行四边形，
故，，，。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合平行四边形的结构特征，再结合向量相等的判断方法，进而找出相等的向量。
11．【答案】D
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】由题意，
，
.
故答案为：D.
【分析】 由向量相等的定义逐项进行判断即可得答案.
12．【答案】A,D
【知识点】向量的模；零向量；单位向量；共线（平行）向量；相等向量与相反向量
【解析】【解答】解：对于A：根据单位向量的定义可知任意单位向量的模都相等，A符合题意；
对于B： 与 互为相反向量，B不符合题意；
对于C：若 时， 与 不一定共线，C不符合题意；
对于D：零向量与任意向量平行，D符合题意。
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合单位向量的定义和向量的模的定义，从而得出任意单位向量的模都相等；再利用已知条件结合相等向量和相反向量的判断方法， 从而推出 与 互为相反向量；利用已知条件结合平行向量的判断方法和平行的传递性，从而推出若 时， 与 不一定共线；再利用零向量的定义结合平行向量的定义，从而推出零向量与任意向量平行，进而选出正确的选项。
13．【答案】①③
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】①长度相等，方向相同的向量为相等向量，∴该命题正确；
②单位向量只是长度为1，方向不确定，∴该命题错误；
③相等向量的方向相同，所以一定共线，∴该命题正确；
④若=，则与不一定平行，∴该命题错误；
⑤零向量的长度为0，方向不确定，即零向量有方向，∴该命题错误；
⑥向量的和仍是一个向量，不会是一个数，∴该命题错误；
∴正确的命题的序号为：①③．
故答案为：①③．
【分析】根据相等向量、单位向量、共线向量，以及零向量的定义，及向量加法的几何意义即可判断每个命题的正误，从而找出正确命题的序号。
14．【答案】①
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】对于①，向量的长度与的长度相等，正确；
对于②，向量与向量平行，则与的方向相同或相反，
因为零向量与任何向量平行，但零向量的方向是任意的，不能说方向相同或相反，∴②错误；
对于③，两个有共同起点的单位向量，其终点不一定相同，因为方向不一定相同，∴③错误；
对于④，向量与向量是共线向量，则A、B、C、D不一定在同一直线上，
如平行四边形的两条对边表示的向量，∴④错误．
综上，真命题是①．
故答案为：①．
【分析】根据平面向量的基本概念，结合模长，共线定理以及单位向量、零向量的概念，对题目中的命题判断真假即可。
15．【答案】（1） ， ，
（2） ， ，
（3） ， ，
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】解：如图，在O是正六边形ABCDE的中心，以A，B，C，D，E，O为端点的向量中（1）与 相等的向量有 ， ， ；（2）与 相等的向量有 ， ， ；（3）与 相等的向量有 ， ， ．
故三个空依次应填 ， ， ； ， ， ； ， ， ．
【分析】O是正六边形ABCDE的中心，由向量相等的条件，方向相同，大小相等从图形中找符合条件的向量一一写出．
16．【答案】（1） 、 、 、 、 、
（2）
（3）
【知识点】共线（平行）向量；相等向量与相反向量
【解析】【解答】解：（1）∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC且EF= BC，
则与向量 共线的向量是 、 、 、 、 、 ；（2）∵DF是△ABC的中位线，∴DF∥AC且DF= AC，
则与向量 的模相等的有 ；（3）∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB且DE= AB，
则与向量 相等的有 ．
【分析】（1）由题意先证明EF∥BC且EF= BC，再由共线向量的定义找出所有所求的向量；（2）由题意先证明DF∥AC且DF= AC，再利用中点找出所有与向量 的模相等的向量；（3）由题意先证明DE∥AB且DE= AB，再利用中点找出所有与向量 相等的向量．
17．【答案】（1）解：由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的 ， ， ， ， ， ， ， 这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个
（2）解：由于这个长方体的左右两个面的对角线长均为 ，故模为 的向量有 ， ， ， ， ， ， ，
（3）解：与向量 相等的向量（除它自身之外）有 ， ，
（4）解：向量 的相反向量为 ， ， ，
【知识点】向量的模；单位向量；相等向量与相反向量
【解析】【分析】（1）根据单位向量的定义：“模长等于1的向量是单位向量”即可判断；（2）在长方体中找到以顶点为端点的长度是的线段；（3）大小相等方向相同的向量为相等向量；（4）大小相等方向相反的向量是相反向量.
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一、单选题
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有（　　）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量，①⑥⑦⑧没有方向，不符合向量的定义. 故答案为：D
【分析】结合向量的定义既有大小又有方向逐一判断即可。
2．下列说法正确的是（　　）
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】向量不能比较大小，向量的模能比较大小， 故答案为：D
【分析】结合向量的定义可得向量不能比较大小，向量的模能比较大小。
3．（2018高一上·荆州月考）下列说法中错误的是（　　）
A．零向量是没有方向的 B．零向量的长度为0
C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的
【答案】A
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】零向量的方向是任意的、其长度为0，与任意向量共线，BCD说法正确，A说法错误，符合题意.
故答案为：A
【分析】根据平面向量的相关概念逐一判断即可.
4．下列四个命题正确的是 （　　）
A．两个单位向量一定相等
B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等
D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同
【答案】B
【知识点】向量的物理背景与基本概念；共线（平行）向量
【解析】【分析】因为零向量与任何向量共线，所以“B．若与不共线，则与都是非零向量”不正确，故选B。
5．（2021高一下·滨海新月考）下列说法中正确的是（　　）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．模相等的两个平行向量是相等向量
C．若 和 都是单位向量，则
D．零向量与其它向量都共线
【答案】D
【知识点】零向量；单位向量；相等向量与相反向量
【解析】【解答】对于A选项，因为向量是可以移动的，两个向量相等时，它们的起点和终点不一定重合，A选项错误；
对于B选项，模相等的两个平行向量，可以是相等向量，也可以是相反向量，B选项错误；
对于C选项， 和 都是单位向量，但它们的方向不一定相同，故 和 不一定相等，C选项错误；
对于D选项，零向量的方向是任意的，零向量与其它向量都共线，D选项正确.
故答案为：D.
【分析】 根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
6．下列说法正确的是（　　）
A．向量与向量的长度不等
B．两个有共同起点长度相等的向量，则终点相同
C．零向量没有方向
D．任一向量与零向量平行
【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】①中，向量与向量的长度相等，∴A不正确；
②中，两个有共同起点长度相等的向量，则终点不一定相同，还有方向来决定，∴B不正确；
③中，由于零向量的方向是任意的，∴C不正确；
④中，由于零向量的方向是任意的，故任一向量与零向量平行，D正确．
故选：D．
【分析】根据平面向量的定义，判定每个命题是否正确，从而得出答案。
7．（2016高一下·宜春期中）下列说法正确的是（　　）
A．∥ 就是 所在的直线平行于 所在的直线
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度等于0
D．共线向量是在同一条直线上的向量
【答案】C
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】解：对于A，若 ∥ ，则 ， 的方向相同或相反， 所在的直线与 所在的直线平行或在同一直线上，故A错误；
对于B，长度相等且方向相同的向量为相等向量，故B错误；
对于C，长度为0的向量为零向量，故C正确；
对于D，方向相同或相反的向量叫共线向量，故共线向量不一定在同一条直线上，故D错误．
故选；C．
【分析】根据特殊向量的定义进行判断分析．
8．（2019高一上·山东月考）下列说法中，正确的是（　　）
A．任意两个单位向量都是相等的向量
B．若A，B是平面内的两个不同的点，则
C．若向量 ， ，则
D．零向量与任意向量平行
【答案】D
【知识点】零向量；单位向量；共线（平行）向量
【解析】【解答】对于A，如果这两个向量的方向不同，则它们不相等，A不符合题意；
对于B这两个向量的方向相反，则它们不相等，B不符合题意；
对于C，若 是零向量，则 ， 可以不平行，C不符合题意；
规定零向量与任意向量平行.
故答案为：D.
【分析】A选项单位向量可能方向不同，B选项两个互为相反向量，C选项若 是零向量不合题意，D选项正确.
9．（2020高一下·山西期末）下列关于向量的概念叙述正确的是（　　）
A．方向相同或相反的向量是共线向量
B．若 ， ，则
C．若 和 都是单位向量，则
D．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
【答案】A
【知识点】单位向量；共线（平行）向量；相等向量与相反向量
【解析】【解答】由向量共线的定义可知，A符合题意；
当 时，可知B不符合题意；
单位向量，方向不确定，C不符合题意；
向量是自由的，向量相等，只需大小和方向相同即可，不需起点终点重合，D不符合题意.
故答案为：A
【分析】利用相同向量、相反向量与共线向量的关系、共线向量的判断方法、单位向量的定义结合向量相等的判断方法，进而找出向量概念叙述正确的选项。
10．（2022高一下·长沙期末）如图，四边形中，，则相等的向量是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】因为在四边形中，，则四边形为平行四边形，
故，，，。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合平行四边形的结构特征，再结合向量相等的判断方法，进而找出相等的向量。
11．（2021高一下·江南期中）如图，设是正六边形的中心，则与不相等的向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】由题意，
，
.
故答案为：D.
【分析】 由向量相等的定义逐项进行判断即可得答案.
二、多选题
12．（2021高一下·广东期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．任意单位向量的模都相等.
B．若 ， 是平面内的两个不同的点，则
C．若向量 ， ，则
D．零向量与任意向量平行
【答案】A,D
【知识点】向量的模；零向量；单位向量；共线（平行）向量；相等向量与相反向量
【解析】【解答】解：对于A：根据单位向量的定义可知任意单位向量的模都相等，A符合题意；
对于B： 与 互为相反向量，B不符合题意；
对于C：若 时， 与 不一定共线，C不符合题意；
对于D：零向量与任意向量平行，D符合题意。
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合单位向量的定义和向量的模的定义，从而得出任意单位向量的模都相等；再利用已知条件结合相等向量和相反向量的判断方法， 从而推出 与 互为相反向量；利用已知条件结合平行向量的判断方法和平行的传递性，从而推出若 时， 与 不一定共线；再利用零向量的定义结合平行向量的定义，从而推出零向量与任意向量平行，进而选出正确的选项。
三、填空题
13．若有以下命题：其中正确的命题序号是　 　
①两个相等向量的模相等；
②若和都是单位向量，则=；
③相等的两个向量一定是共线向量；
④，，则则；
⑤零向量是唯一没有方向的向量；
⑥两个非零向量的和可以是零．
【答案】①③
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】①长度相等，方向相同的向量为相等向量，∴该命题正确；
②单位向量只是长度为1，方向不确定，∴该命题错误；
③相等向量的方向相同，所以一定共线，∴该命题正确；
④若=，则与不一定平行，∴该命题错误；
⑤零向量的长度为0，方向不确定，即零向量有方向，∴该命题错误；
⑥向量的和仍是一个向量，不会是一个数，∴该命题错误；
∴正确的命题的序号为：①③．
故答案为：①③．
【分析】根据相等向量、单位向量、共线向量，以及零向量的定义，及向量加法的几何意义即可判断每个命题的正误，从而找出正确命题的序号。
14．下列命题：其中真命题的序号是　 　
①向量的长度与的长度相等；
②向量与向量平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；
④向量与向量是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上．
【答案】①
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】对于①，向量的长度与的长度相等，正确；
对于②，向量与向量平行，则与的方向相同或相反，
因为零向量与任何向量平行，但零向量的方向是任意的，不能说方向相同或相反，∴②错误；
对于③，两个有共同起点的单位向量，其终点不一定相同，因为方向不一定相同，∴③错误；
对于④，向量与向量是共线向量，则A、B、C、D不一定在同一直线上，
如平行四边形的两条对边表示的向量，∴④错误．
综上，真命题是①．
故答案为：①．
【分析】根据平面向量的基本概念，结合模长，共线定理以及单位向量、零向量的概念，对题目中的命题判断真假即可。
四、解答题
15．O是正六边形ABCDE的中心，且 ， ， ，在以A，B，C，D，E，O为端点的向量中：
（1）与 相等的向量有　 　；
（2）与 相等的向量有　 　；
（3）与 相等的向量有　 　．
【答案】（1） ， ，
（2） ， ，
（3） ， ，
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】解：如图，在O是正六边形ABCDE的中心，以A，B，C，D，E，O为端点的向量中（1）与 相等的向量有 ， ， ；（2）与 相等的向量有 ， ， ；（3）与 相等的向量有 ， ， ．
故三个空依次应填 ， ， ； ， ， ； ， ， ．
【分析】O是正六边形ABCDE的中心，由向量相等的条件，方向相同，大小相等从图形中找符合条件的向量一一写出．
16．如图，△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，CA的中点，在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段中所表示的向量中，
（1）与向量 共线的有　 　
（2）与向量 的模相等的有　 　．
（3）与向量 相等的有　 　．
【答案】（1） 、 、 、 、 、
（2）
（3）
【知识点】共线（平行）向量；相等向量与相反向量
【解析】【解答】解：（1）∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC且EF= BC，
则与向量 共线的向量是 、 、 、 、 、 ；（2）∵DF是△ABC的中位线，∴DF∥AC且DF= AC，
则与向量 的模相等的有 ；（3）∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB且DE= AB，
则与向量 相等的有 ．
【分析】（1）由题意先证明EF∥BC且EF= BC，再由共线向量的定义找出所有所求的向量；（2）由题意先证明DF∥AC且DF= AC，再利用中点找出所有与向量 的模相等的向量；（3）由题意先证明DE∥AB且DE= AB，再利用中点找出所有与向量 相等的向量．
17．如图所示，在长、宽、高分别为AB=3，AD=2， 的长方体 的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：
（1）单位向量共有多少个？
（2）试写出模为 的所有向量；
（3）试写出与 相等的所有向量；
（4）试写出 的相反向量．
【答案】（1）解：由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的 ， ， ， ， ， ， ， 这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个
（2）解：由于这个长方体的左右两个面的对角线长均为 ，故模为 的向量有 ， ， ， ， ， ， ，
（3）解：与向量 相等的向量（除它自身之外）有 ， ，
（4）解：向量 的相反向量为 ， ， ，
【知识点】向量的模；单位向量；相等向量与相反向量
【解析】【分析】（1）根据单位向量的定义：“模长等于1的向量是单位向量”即可判断；（2）在长方体中找到以顶点为端点的长度是的线段；（3）大小相等方向相同的向量为相等向量；（4）大小相等方向相反的向量是相反向量.
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