高中数学人教A版（2019）必修二 6.2.3 向量的数乘运算
一、单选题
1．（2022高一下·盐田月考）已知，，，则（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】，又∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线．
故答案为：B.
【分析】 利用三角形法则可求得，由向量共线条件可得与共线，从而可得答案.
2．（2022高一下·深圳月考）在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若，则λ等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】因为D是AB边上的一点，
所以A，B，D三点共线，所以
，则
，
因为
，所以
，
因为A，B，C不共线，
所以
，解得
，
故答案为：B
【分析】首先由向量共线的性质，把点的坐标代入整理化简计算出
的取值即可。
3．（2022高二上·宣城开学考）如图，在中，M为BC的中点，则=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】，，故.
故答案为：C
【分析】，，求解计算可得结果.
4．（2022高一上·西城期末）设，为平面向量，则“存在实数，使得”是“向量，共线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量的共线定理
【解析】【解答】充分性：由共线定理即可判断充分性成立；
必要性：若为零向量，不为零向量，则不存在，使得，故必要性不成立，则答案为充分不必要条件
故答案为：A.
【分析】利用向量的共线定理及充分条件、必要条件的定义可得答案.
5．（2022高一下·广东月考）已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（ ）
A．2 B．4 C．-4 D．-2
【答案】C
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】因为与共线，所以，所以，所以解得
故答案为：C.
【分析】根据题意由共线向量的性质，结合已知条件即可得出方程组，求解出答案即可。
6．（2021高三上·洮南月考）设 为基底向量，已知向量 ， ， ，若 三点共线，则实数 的值等于（ ）
A．2 B．－2 C．10 D．－10
【答案】A
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；向量加减混合运算；平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴
∵ABD三点共线，所以存在实数入，使得
，即
则1=λ且-k=-2λ，
解得k=2.
故答案为：A
【分析】根据向量的运算，结合共线向量的充要条件求解即可.
7．（2022高一下·邢台月考）在△ABC中，点D在边BC上，且，E是AD的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】因为，
所以．
因为是的中点，
所以，
则．
故答案为：D．
【分析】利用向量的线性运算计算可得答案。
8．（2022高一下·徐州期末）在中，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】因为，所以为上靠近点的三等份点，
所以
，
因为，
所以，
所以，
故答案为：A
【分析】利用平面向量基本定理结合已知条件，将用表示出来，从而可求出 的值.
9．（2022·济南模拟）在等腰梯形ABCD中，.M为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】取AD中点，连接，∵，∴，，
又是BC中点，∴，且，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平面向量的线性运算与几何意义，表示出且，即可求出 .
10．（2021高三上·陕西月考）在 中，已知 是 边上一点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：根据向量关系， ，
所以
故答案为：B
【分析】 利用向量的共线定理和三角形法则、平面向量的基本定理即可得出答案.
11．（2022高一下·农安月考） 为平面上的一定点， 是平面上不共线的三个动点，动点 满足 ，则 的轨迹一定过 的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则+的方向为∠BAC的平分线的方向.
又λ∈(0，＋∞)，所以λ(+)的方向与+的方向相同.
而 ，
所以点P在上移动，所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
故选：D
【分析】根据向量的线性运算，结合已知条件，即可判断点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
12．（2022·宁德模拟）已知点E是△ABC的中线BD上的一点（不包括端点）.若，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】基本不等式；平面向量数乘的运算
【解析】【解答】因是的中线，则，依题意，，
则有，又，且不共线，
因此，，即，，
所以，当且仅当，即取“=”，
所以的最小值为8.
故答案为：C
【分析】因为点E在线段BD上，则由向量共线定理可设： ， 然后根据平面向量基本定理表示出向量，由此求出x， y，然后根据基本不等式即可求解出答案.
二、填空题
13．（2022高一下·河南月考）化简： .
【答案】
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】，
，
。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合向量的运算法则，进而化简得出向量。
14．（2022·陕西模拟）在平行四边形中，为的中点，点为线段上的一点，且，则实数 ．
【答案】
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】设，
，
依题意，
所以.
故答案为：
【分析】根据平面向量的线性运算来列方程，由此求得的值.
15．（2022·贵州模拟）在平行四边形中，．若，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】
由，得，
所以，
即，，
所以，
故答案为：.
【分析】根据向量的线性运算直接可得，，即可得解.
16．（2022高一下·广东期中）如下图，在 中， ， ，则 .
【答案】
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：因为 ， 所以，
所以，
所以.
故答案为：
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
17．（2021高三上·黑龙江期中）在 中， ， 是 上的点，若 ，则实数 的值为 ．
【答案】
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵B，D，E三点共线，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【分析】 由，得到，进而得到，再由B， D，E三点共线即可求解.
三、解答题
18．（2022高一下·吉林期中）已知非零向量 和 不共线．
（1）如果 ， ， ，求证：A，B，D三点共线；
（2）欲使向量 与 平行，试确定实数k的值．
【答案】（1）解：∵ ， ．
∴ 共线，且有公共点B．
∴A，B，D三点共线．
（2）解：∵向量 与 平行，∴存在 ，使 ，
∵ 与 不共线．
∴有 ∴
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【分析】（1）利用向量线性运算可得 ，由此可得三点共线；
（2）由向量平行可得，由此可构造方程求得k的值.
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一、单选题
1．（2022高一下·盐田月考）已知，，，则（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
2．（2022高一下·深圳月考）在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若，则λ等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二上·宣城开学考）如图，在中，M为BC的中点，则=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2022高一上·西城期末）设，为平面向量，则“存在实数，使得”是“向量，共线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022高一下·广东月考）已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（ ）
A．2 B．4 C．-4 D．-2
6．（2021高三上·洮南月考）设 为基底向量，已知向量 ， ， ，若 三点共线，则实数 的值等于（ ）
A．2 B．－2 C．10 D．－10
7．（2022高一下·邢台月考）在△ABC中，点D在边BC上，且，E是AD的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022高一下·徐州期末）在中，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·济南模拟）在等腰梯形ABCD中，.M为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021高三上·陕西月考）在 中，已知 是 边上一点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．（2022高一下·农安月考） 为平面上的一定点， 是平面上不共线的三个动点，动点 满足 ，则 的轨迹一定过 的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
12．（2022·宁德模拟）已知点E是△ABC的中线BD上的一点（不包括端点）.若，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
二、填空题
13．（2022高一下·河南月考）化简： .
14．（2022·陕西模拟）在平行四边形中，为的中点，点为线段上的一点，且，则实数 ．
15．（2022·贵州模拟）在平行四边形中，．若，则 ．
16．（2022高一下·广东期中）如下图，在 中， ， ，则 .
17．（2021高三上·黑龙江期中）在 中， ， 是 上的点，若 ，则实数 的值为 ．
三、解答题
18．（2022高一下·吉林期中）已知非零向量 和 不共线．
（1）如果 ， ， ，求证：A，B，D三点共线；
（2）欲使向量 与 平行，试确定实数k的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】，又∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线．
故答案为：B.
【分析】 利用三角形法则可求得，由向量共线条件可得与共线，从而可得答案.
2．【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】因为D是AB边上的一点，
所以A，B，D三点共线，所以
，则
，
因为
，所以
，
因为A，B，C不共线，
所以
，解得
，
故答案为：B
【分析】首先由向量共线的性质，把点的坐标代入整理化简计算出
的取值即可。
3．【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】，，故.
故答案为：C
【分析】，，求解计算可得结果.
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量的共线定理
【解析】【解答】充分性：由共线定理即可判断充分性成立；
必要性：若为零向量，不为零向量，则不存在，使得，故必要性不成立，则答案为充分不必要条件
故答案为：A.
【分析】利用向量的共线定理及充分条件、必要条件的定义可得答案.
5．【答案】C
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】因为与共线，所以，所以，所以解得
故答案为：C.
【分析】根据题意由共线向量的性质，结合已知条件即可得出方程组，求解出答案即可。
6．【答案】A
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；向量加减混合运算；平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴
∵ABD三点共线，所以存在实数入，使得
，即
则1=λ且-k=-2λ，
解得k=2.
故答案为：A
【分析】根据向量的运算，结合共线向量的充要条件求解即可.
7．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】因为，
所以．
因为是的中点，
所以，
则．
故答案为：D．
【分析】利用向量的线性运算计算可得答案。
8．【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】因为，所以为上靠近点的三等份点，
所以
，
因为，
所以，
所以，
故答案为：A
【分析】利用平面向量基本定理结合已知条件，将用表示出来，从而可求出 的值.
9．【答案】B
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】取AD中点，连接，∵，∴，，
又是BC中点，∴，且，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平面向量的线性运算与几何意义，表示出且，即可求出 .
10．【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：根据向量关系， ，
所以
故答案为：B
【分析】 利用向量的共线定理和三角形法则、平面向量的基本定理即可得出答案.
11．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则+的方向为∠BAC的平分线的方向.
又λ∈(0，＋∞)，所以λ(+)的方向与+的方向相同.
而 ，
所以点P在上移动，所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
故选：D
【分析】根据向量的线性运算，结合已知条件，即可判断点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
12．【答案】C
【知识点】基本不等式；平面向量数乘的运算
【解析】【解答】因是的中线，则，依题意，，
则有，又，且不共线，
因此，，即，，
所以，当且仅当，即取“=”，
所以的最小值为8.
故答案为：C
【分析】因为点E在线段BD上，则由向量共线定理可设： ， 然后根据平面向量基本定理表示出向量，由此求出x， y，然后根据基本不等式即可求解出答案.
13．【答案】
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】，
，
。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合向量的运算法则，进而化简得出向量。
14．【答案】
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】设，
，
依题意，
所以.
故答案为：
【分析】根据平面向量的线性运算来列方程，由此求得的值.
15．【答案】
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】
由，得，
所以，
即，，
所以，
故答案为：.
【分析】根据向量的线性运算直接可得，，即可得解.
16．【答案】
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：因为 ， 所以，
所以，
所以.
故答案为：
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
17．【答案】
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵B，D，E三点共线，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【分析】 由，得到，进而得到，再由B， D，E三点共线即可求解.
18．【答案】（1）解：∵ ， ．
∴ 共线，且有公共点B．
∴A，B，D三点共线．
（2）解：∵向量 与 平行，∴存在 ，使 ，
∵ 与 不共线．
∴有 ∴
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【分析】（1）利用向量线性运算可得 ，由此可得三点共线；
（2）由向量平行可得，由此可构造方程求得k的值.
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