高中数学人教A版（2019）必修二 6.2.4 向量的数量积
一、单选题
1．（2022高一下·徐汇期末）已知 为非零向量，则“”是“为锐角”的（ ）条件
A．充要 B．必要不充分
C．充分不必要 D．既不充分也不必要
2．（2022高三上·安徽开学考）已知向量均为单位向量，且，则（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
3．（2022高三上·开封开学考）已知向量，满足，，且与反向，则（ ）
A．36 B．48 C．57 D．64
4．（2022高二上·怀化开学考）已知单位向量，满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高三上·开封开学考）已知，，，且与垂直，则λ等于（ ）
A． B． C． D．1
6．（2022高二上·营口开学考）已知向量，满足，，且，的夹角为30°，则（ ）
A． B．7 C． D．3
7．（2022高一下·东莞期末）已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二下·红河期末）在中，已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022高一下·永州期末）在中，，，，则（ ）
A． B． C．5 D．
10．（2022高二下·湛江期末）边长为1的等边三角形中，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022高二下·丽江期末）设向量、的夹角为，且，，则 ．
12．（2022高二下·南宁期末）已知向量满足，，，则 ．
13．（2022高三上·安徽开学考）已知等边三角形的边长为，则 .
14．（2022高二下·韶关期末）若单位向量、的夹角为60°，，则实数 ．
三、解答题
15．（2022高一下·武汉期末）已知向量与的夹角为，，.
（1）若；
（2）若，求实数t的值.
16．（2022高一下·慈溪期末）已知向量满足，，且.
（1）求；
（2）设向量，记，求的值.
17．（2022高二下·舟山期末）如图，在中，是线段上一点，且为线段的中点.
（1）若，求的值；
（2）求的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：依题意，若，，可得，不一定是锐角，
若为锐角，即，可得，
所以 为非零向量，则“”是“为锐角”的必要不充分条件，
故答案为：B.
【分析】根据向量数量积的定义及充分条件和必要条件的定义即可求解.
2．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为向量均为单位向量，且，
所以，，
所以，
故答案为：B.
【分析】 利用向量的数量积运算法则，化简求解即可得答案.
3．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为与反向，
所以，
又，，
所以，
.
故答案为：A
【分析】根据与反向 ，得到，然后利用平面向量的数量积运算求解.
4．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合数量积的运算法则和数量积求向量的模的公式，进而得出的值。
5．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意知：，，
∴，即.
故答案为：A.
【分析】由向量数量积的运算律可得，根据向量的垂直关系列方程，求λ即可.
6．【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意得：，
所以.
故答案为：C
【分析】根据向量的数量积求得，结合向量的模即可求解.
7．【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】，
.
故答案为：D.
【分析】 由向量数量积定义可得 与，根据向量数量积的运算律可由，求得答案.
8．【答案】B
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为
所以
因为
所以
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合数量积的定义和诱导公式，进而得出的值，再利用两向量夹角的取值范围，进而得出的值。
9．【答案】B
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；余弦定理
【解析】【解答】在中，，，
，
所以，
所以。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合相反向量的定义以及数量积的定义，再结合余弦定理求出AB的长。
10．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意，则，故
故答案为：A
【分析】 根据平面向量的线性运算与数量积公式求解可得答案.
11．【答案】3
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解：因为向量、的夹角为，且，，
所以，
所以.
故答案为：3
【分析】根据数量积的定义求出，再根据数量积的运算律计算可得.
12．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为，所以．因为，，所以．
故答案为：
【分析】由已知条件结合数量积的公式，整理化简计算出结果即可。
13．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，所以点为的中点，
即，
则，
则.
故答案为：.
【分析】利用平面向量线性关系可得，从而可解出答案.
14．【答案】-2
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：因为单位向量、的夹角为60°，所以且，
因为，所以，即，
即，即；
故答案为：-2
【分析】 根据数量积的定义求出，再由题意得，根据数量积的运算求出实数的值 .
15．【答案】（1）解：向量与的夹角为，，，
，
，
（2）解：，
，
即，
，解得
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】 (1)根据已知条件可求出 ， 进而求出 ， 然后根据向量数量积的运算即可求出 的值；
(2)根据 可得出 ， 然后进行数量积的运算即可求出t的值.
16．【答案】（1）解：由题知，
所以
（2）解：因为；
，同理可求得；
所以
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积的定义和数量积求向量的模的公式，进而得出 的值。
（2）利用已知条件结合数量积的运算法则和数量积的定义，再结合数量积求向量的模的公式以及数量积求向量夹角公式，进而得出 的值。
17．【答案】（1）解：因为，所以，得，
因为，所以，所以
（2）解：在中，，所以，.
所以，
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】 (1)根据 ，向量的线性运算即可求解出x，y 的值，进而得出 的值；
(2)先由已知得△ACF是边长为1的等边三角形，再根据向量数量积的定义即可求得 的值.
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一、单选题
1．（2022高一下·徐汇期末）已知 为非零向量，则“”是“为锐角”的（ ）条件
A．充要 B．必要不充分
C．充分不必要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：依题意，若，，可得，不一定是锐角，
若为锐角，即，可得，
所以 为非零向量，则“”是“为锐角”的必要不充分条件，
故答案为：B.
【分析】根据向量数量积的定义及充分条件和必要条件的定义即可求解.
2．（2022高三上·安徽开学考）已知向量均为单位向量，且，则（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为向量均为单位向量，且，
所以，，
所以，
故答案为：B.
【分析】 利用向量的数量积运算法则，化简求解即可得答案.
3．（2022高三上·开封开学考）已知向量，满足，，且与反向，则（ ）
A．36 B．48 C．57 D．64
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为与反向，
所以，
又，，
所以，
.
故答案为：A
【分析】根据与反向 ，得到，然后利用平面向量的数量积运算求解.
4．（2022高二上·怀化开学考）已知单位向量，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合数量积的运算法则和数量积求向量的模的公式，进而得出的值。
5．（2022高三上·开封开学考）已知，，，且与垂直，则λ等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意知：，，
∴，即.
故答案为：A.
【分析】由向量数量积的运算律可得，根据向量的垂直关系列方程，求λ即可.
6．（2022高二上·营口开学考）已知向量，满足，，且，的夹角为30°，则（ ）
A． B．7 C． D．3
【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意得：，
所以.
故答案为：C
【分析】根据向量的数量积求得，结合向量的模即可求解.
7．（2022高一下·东莞期末）已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】，
.
故答案为：D.
【分析】 由向量数量积定义可得 与，根据向量数量积的运算律可由，求得答案.
8．（2022高二下·红河期末）在中，已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为
所以
因为
所以
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合数量积的定义和诱导公式，进而得出的值，再利用两向量夹角的取值范围，进而得出的值。
9．（2022高一下·永州期末）在中，，，，则（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；余弦定理
【解析】【解答】在中，，，
，
所以，
所以。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合相反向量的定义以及数量积的定义，再结合余弦定理求出AB的长。
10．（2022高二下·湛江期末）边长为1的等边三角形中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意，则，故
故答案为：A
【分析】 根据平面向量的线性运算与数量积公式求解可得答案.
二、填空题
11．（2022高二下·丽江期末）设向量、的夹角为，且，，则 ．
【答案】3
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解：因为向量、的夹角为，且，，
所以，
所以.
故答案为：3
【分析】根据数量积的定义求出，再根据数量积的运算律计算可得.
12．（2022高二下·南宁期末）已知向量满足，，，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为，所以．因为，，所以．
故答案为：
【分析】由已知条件结合数量积的公式，整理化简计算出结果即可。
13．（2022高三上·安徽开学考）已知等边三角形的边长为，则 .
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，所以点为的中点，
即，
则，
则.
故答案为：.
【分析】利用平面向量线性关系可得，从而可解出答案.
14．（2022高二下·韶关期末）若单位向量、的夹角为60°，，则实数 ．
【答案】-2
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：因为单位向量、的夹角为60°，所以且，
因为，所以，即，
即，即；
故答案为：-2
【分析】 根据数量积的定义求出，再由题意得，根据数量积的运算求出实数的值 .
三、解答题
15．（2022高一下·武汉期末）已知向量与的夹角为，，.
（1）若；
（2）若，求实数t的值.
【答案】（1）解：向量与的夹角为，，，
，
，
（2）解：，
，
即，
，解得
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】 (1)根据已知条件可求出 ， 进而求出 ， 然后根据向量数量积的运算即可求出 的值；
(2)根据 可得出 ， 然后进行数量积的运算即可求出t的值.
16．（2022高一下·慈溪期末）已知向量满足，，且.
（1）求；
（2）设向量，记，求的值.
【答案】（1）解：由题知，
所以
（2）解：因为；
，同理可求得；
所以
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积的定义和数量积求向量的模的公式，进而得出 的值。
（2）利用已知条件结合数量积的运算法则和数量积的定义，再结合数量积求向量的模的公式以及数量积求向量夹角公式，进而得出 的值。
17．（2022高二下·舟山期末）如图，在中，是线段上一点，且为线段的中点.
（1）若，求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：因为，所以，得，
因为，所以，所以
（2）解：在中，，所以，.
所以，
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】 (1)根据 ，向量的线性运算即可求解出x，y 的值，进而得出 的值；
(2)先由已知得△ACF是边长为1的等边三角形，再根据向量数量积的定义即可求得 的值.
1 / 1
