登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
高中数学人教A版（2019）必修二 6.3.1 平面向量基本定理
一、单选题
1．（2022高二上·河南开学考）（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高一下·潮州期末）在中，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022高一下·赣州期末）在中，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022高一下·越秀期末）已知中，点M是线段的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·郑州模拟）在中，是上一点，，是线段上一点，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高一下·宿州期中）在中，设，，为边上靠近的一个三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022高一下·郑州期中）中，，点是的中点，设，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高一下·如皋月考）在中，D为BC中点，F为AD中点，点E满足，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·上海模拟）在中，，，设，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022高一下·镇巴县期中）在△ABC中，边AB的中点为D，若O为△ABC的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2021高三上·烟台期中）设 为 所在平面内一点， ， 为 的中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
12．（2021高三上·陕西月考）在 中，已知 是 边上一点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
13．（2022高一下·电白期末）如图，在中，是的中点，若，则实数的值是（ ）
A． B．1 C． D．
14．（2022高一下·泗阳期中）如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
15．（2022高一下·广州期中）设是平面内一组基向量，且，则向量可以表示为以为基向量的线性组合，即＝ .
16．（） 中， 点 在直线 上，且 ，则 等于 ．
三、解答题
17．（2022高二上·江西开学考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上靠近C的三等分点，点F是CD的中点，设，．
（1）试用，分别表示与；
（2）利用向量法证明：B，E，F三点共线．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】由向量的运算法则，可得
。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合三角形法则和平面向量基本定理，进而得出。
2．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】∵是的中点，
∴。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合三角形法则和平面向量基本定理，进而得出。
3．【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】因为，，
又因为，所以，
则，
所以。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合向量共线定理和平面向量基本定理，进而得出。
4．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：已知中，点是线段的中点，，
作图，如图所示：
则
，
故答案为：A．
【分析】根据平面向量的基本定理，画出图形，再进行分析即可.
5．【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】因为，则，所以，，
，
因为是线段上一点，设，其中，
所以，，解得。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合三角形法则和平面向量基本定理，再利用是线段上一点结合向量共线定理，进而结合的取值范围，从而求出实数和t的值。
6．【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】如图所示：
，
。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合三等分点的性质，再结合三角形法则和向量共线定理，再利用平面向量基本定理，进而得出。
7．【答案】D
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：因为，点是的中点，
则
.
故答案为：D.
【分析】根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理，结合图形即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】因为，所以，即，
所以。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合向量共线定理、三角形法则和平面向量基本定理，进而得出。
9．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】在三角形 中， ， ，
可得 ，
因为 ，所以 ，所以 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合平行四边形法则和平面向量基本定理，得出 ，再利用 得出 的值，进而得出 的值。
10．【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】由题意得。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合向量共线定理和三角形法则，再利用平面向量基本定理，进而得出。
11．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】因为 ， 为 的中点，
所以 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合三角形法则和向量共线定理以及中点的性质，再结合平面向量基本定理，从而推出。
12．【答案】B
【知识点】向量的共线定理；平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：根据向量关系， ，
所以
故答案为：B
【分析】 利用向量的共线定理和三角形法则、平面向量的基本定理即可得出答案.
13．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】∵分别是的中点，
∴.
又因为，∴。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合中点的性质，再结合三角形法则和恶平面向量基本定理，进而得出实数m的值。
14．【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】因为，得，
因为，
所以，
因为三点共线，
所以，解得，
故答案为：B
【分析】由，得，代入中，再由三点共线，列方程可求出实数的值.
15．【答案】
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】设，
，
，
不共线，
解得，。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理和向量共线定理，进而解方程组得出。
16．【答案】3
【知识点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】 ，
， ，
则 ．
故答案为：3．
【分析】 找到两个基底向量，然后用两个基底向量表示 ，再通过向量的运算即可得出结果.
17．【答案】（1）解：；
.
（2）证明：因为，
所以，所以，
又B是公共点，所以B，E，F三点共线．
【知识点】平面向量的基本定理及其意义；三点共线
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平面向量基本定理，从而用，分别表示与。
（2）利用已知条件结合三角形法则和向量共线定理，再结合平面向量基本定理得出，再利用向量共线定理，所以，再利用B是公共点，从而证出B，E，F三点共线。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
高中数学人教A版（2019）必修二 6.3.1 平面向量基本定理
一、单选题
1．（2022高二上·河南开学考）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】由向量的运算法则，可得
。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合三角形法则和平面向量基本定理，进而得出。
2．（2022高一下·潮州期末）在中，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】∵是的中点，
∴。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合三角形法则和平面向量基本定理，进而得出。
3．（2022高一下·赣州期末）在中，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】因为，，
又因为，所以，
则，
所以。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合向量共线定理和平面向量基本定理，进而得出。
4．（2022高一下·越秀期末）已知中，点M是线段的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：已知中，点是线段的中点，，
作图，如图所示：
则
，
故答案为：A．
【分析】根据平面向量的基本定理，画出图形，再进行分析即可.
5．（2022·郑州模拟）在中，是上一点，，是线段上一点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】因为，则，所以，，
，
因为是线段上一点，设，其中，
所以，，解得。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合三角形法则和平面向量基本定理，再利用是线段上一点结合向量共线定理，进而结合的取值范围，从而求出实数和t的值。
6．（2022高一下·宿州期中）在中，设，，为边上靠近的一个三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】如图所示：
，
。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合三等分点的性质，再结合三角形法则和向量共线定理，再利用平面向量基本定理，进而得出。
7．（2022高一下·郑州期中）中，，点是的中点，设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：因为，点是的中点，
则
.
故答案为：D.
【分析】根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理，结合图形即可得出答案。
8．（2022高一下·如皋月考）在中，D为BC中点，F为AD中点，点E满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】因为，所以，即，
所以。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合向量共线定理、三角形法则和平面向量基本定理，进而得出。
9．（2022·上海模拟）在中，，，设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】在三角形 中， ， ，
可得 ，
因为 ，所以 ，所以 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合平行四边形法则和平面向量基本定理，得出 ，再利用 得出 的值，进而得出 的值。
10．（2022高一下·镇巴县期中）在△ABC中，边AB的中点为D，若O为△ABC的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】由题意得。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合向量共线定理和三角形法则，再利用平面向量基本定理，进而得出。
11．（2021高三上·烟台期中）设 为 所在平面内一点， ， 为 的中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】因为 ， 为 的中点，
所以 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合三角形法则和向量共线定理以及中点的性质，再结合平面向量基本定理，从而推出。
12．（2021高三上·陕西月考）在 中，已知 是 边上一点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量的共线定理；平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：根据向量关系， ，
所以
故答案为：B
【分析】 利用向量的共线定理和三角形法则、平面向量的基本定理即可得出答案.
13．（2022高一下·电白期末）如图，在中，是的中点，若，则实数的值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】∵分别是的中点，
∴.
又因为，∴。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合中点的性质，再结合三角形法则和恶平面向量基本定理，进而得出实数m的值。
14．（2022高一下·泗阳期中）如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】因为，得，
因为，
所以，
因为三点共线，
所以，解得，
故答案为：B
【分析】由，得，代入中，再由三点共线，列方程可求出实数的值.
二、填空题
15．（2022高一下·广州期中）设是平面内一组基向量，且，则向量可以表示为以为基向量的线性组合，即＝ .
【答案】
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】设，
，
，
不共线，
解得，。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理和向量共线定理，进而解方程组得出。
16．（） 中， 点 在直线 上，且 ，则 等于 ．
【答案】3
【知识点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】 ，
， ，
则 ．
故答案为：3．
【分析】 找到两个基底向量，然后用两个基底向量表示 ，再通过向量的运算即可得出结果.
三、解答题
17．（2022高二上·江西开学考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上靠近C的三等分点，点F是CD的中点，设，．
（1）试用，分别表示与；
（2）利用向量法证明：B，E，F三点共线．
【答案】（1）解：；
.
（2）证明：因为，
所以，所以，
又B是公共点，所以B，E，F三点共线．
【知识点】平面向量的基本定理及其意义；三点共线
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平面向量基本定理，从而用，分别表示与。
（2）利用已知条件结合三角形法则和向量共线定理，再结合平面向量基本定理得出，再利用向量共线定理，所以，再利用B是公共点，从而证出B，E，F三点共线。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1
