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高中数学人教A版（2019）必修二 6.3.2-4 平面向量的坐标表示及运算
一、单选题
1．（2022高二上·张掖开学考）已知平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为，D为边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高一下·河南期末）已知向量．若，则（ ）
A．6 B．-6 C． D．
3．（2022高一下·商丘期末）已知向量，共线且方向相同，则的值等于（ ）
A．3 B．-3 C．±3 D．
4．（2022高一下·陕西期末）已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
5．（2022高二上·河南开学考）已知向量，，且，那么等于（ ）
A．(4，0) B．(0，4) C．(3，－6) D．(－3，6)
6．（2022高一下·平顶山期末）已知向量，，，则可用与表示为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二下·贵港期末）若向量，满足，则（ ）
A．-2 B．2 C．3 D．-3
8．（2022高一下·肇庆期末）已知向量，，，若，则（ ）
A．1 B．-1 C．-2 D．3
9．（2022高一下·梅州期末）已知，且三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022高一下·许昌期末）已知，是两个不共线向量，向量，共线，则实数（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022高三上·成都开学考）已知向量，，其中m，．若，则的值为 ．
12．（2022高一下·汕尾期末）已知向量，，若，则 .
13．（2022高一下·肇庆期末）已知向量，，若，则 ．
14．（2022高一下·和平期末）若向量，则与平行的单位向量是 ．
三、解答题
15．（2021高一下·长春期末）平面内给定三个向量 ， ， .
（1）求满足 的实数 ， ；
（2）若 ，求实数 的值.
16．（2022高一下·湖北期中）已知向量，．
（1）当k为何值时，与共线；
（2）若，且A、B、C三点共线，求实数m的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】∵D为边的中点，，
∴.
故答案为：B.
【分析】利用中点坐标公式及向量的坐标表示即得.
2．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】，解得．
故答案为：B
【分析】根据向量共线的坐标运算即可求解.
3．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为，共线，则，解之得.
若，则，，则，方向相同，符合题意；
若，则，，则，方向相反，不符合题意，舍去.
故答案为：A
【分析】根据题意由共线向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
4．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以两个向量的坐标满足8×2x=1×4 ，解得x=-1
故选：C
【分析】由向量的共线定理，列式8×2x=1×4 ，进而求解即可.
5．【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】∵，∴
则得
∴，
∴＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6).
故答案为：C
【分析】根据共线向量的性质，结合平面向量减法的坐标表示公式进行求解即可.
6．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】设，x，，则，
即，解得，∴.
故答案为：A.
【分析】 由题意，设，x，，利用向量的坐标运算法则求出x、y的值，可得答案.
7．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为，所以，解得．
故答案为：C
【分析】根据题意由共线向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
8．【答案】A
【知识点】向量数乘的运算及其几何意义；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：由，所以，，解得，，所以，
故答案为：A．
【分析】由共线向量以及数乘向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
9．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；三点共线
【解析】【解答】由，得，
因为三点共线，所以，即，解得，
所以。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合三点共线与向量共线的等价关系，再结合向量共线的坐标表示，进而得出实数m的值。
10．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】，向量，共线，则，解得：
故答案为：B
【分析】由已知条件结合共线向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
11．【答案】4
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为向量，，且，
所以，所以.
故答案为：4
【分析】利用向量相等，列出方程组，求解m，n，可求得 的值 .
12．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】由题意，，解得。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，进而得出实数的值。
13．【答案】3
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为，所以，故．
故答案为：3
【分析】由共线向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
14．【答案】或
【知识点】单位向量；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为，所以，
则与平行的单位向量的坐标是：
或，
故答案为：或.
【分析】 由题意，根据与平行的单位向量的坐标，代入坐标可得答案.
15．【答案】（1）因为 ， ， ，且
， ， ， ， .
，解得 ， .
（2） ， ， ， .
， ， ， .
，解得 .
【知识点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据平面向量的基本定理，结合向量线性运算的坐标表示求解即可；
（2）根据向量平行的充要条件，结合向量线性运算的坐标表示求解即可.
16．【答案】（1）解：，，由于与共线，所以，则
（2）解：由于A，B，C三点共线，所以存在，使，即，所以
【知识点】向量的共线定理；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据已知条件求得，，再根据向量共线的坐标表示可求得k的值；
（2） 由A，B，C三点共线，所以存在，使，列方程即可求得m的值.
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高中数学人教A版（2019）必修二 6.3.2-4 平面向量的坐标表示及运算
一、单选题
1．（2022高二上·张掖开学考）已知平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为，D为边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】∵D为边的中点，，
∴.
故答案为：B.
【分析】利用中点坐标公式及向量的坐标表示即得.
2．（2022高一下·河南期末）已知向量．若，则（ ）
A．6 B．-6 C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】，解得．
故答案为：B
【分析】根据向量共线的坐标运算即可求解.
3．（2022高一下·商丘期末）已知向量，共线且方向相同，则的值等于（ ）
A．3 B．-3 C．±3 D．
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为，共线，则，解之得.
若，则，，则，方向相同，符合题意；
若，则，，则，方向相反，不符合题意，舍去.
故答案为：A
【分析】根据题意由共线向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
4．（2022高一下·陕西期末）已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以两个向量的坐标满足8×2x=1×4 ，解得x=-1
故选：C
【分析】由向量的共线定理，列式8×2x=1×4 ，进而求解即可.
5．（2022高二上·河南开学考）已知向量，，且，那么等于（ ）
A．(4，0) B．(0，4) C．(3，－6) D．(－3，6)
【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】∵，∴
则得
∴，
∴＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6).
故答案为：C
【分析】根据共线向量的性质，结合平面向量减法的坐标表示公式进行求解即可.
6．（2022高一下·平顶山期末）已知向量，，，则可用与表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】设，x，，则，
即，解得，∴.
故答案为：A.
【分析】 由题意，设，x，，利用向量的坐标运算法则求出x、y的值，可得答案.
7．（2022高二下·贵港期末）若向量，满足，则（ ）
A．-2 B．2 C．3 D．-3
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为，所以，解得．
故答案为：C
【分析】根据题意由共线向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
8．（2022高一下·肇庆期末）已知向量，，，若，则（ ）
A．1 B．-1 C．-2 D．3
【答案】A
【知识点】向量数乘的运算及其几何意义；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：由，所以，，解得，，所以，
故答案为：A．
【分析】由共线向量以及数乘向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
9．（2022高一下·梅州期末）已知，且三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；三点共线
【解析】【解答】由，得，
因为三点共线，所以，即，解得，
所以。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合三点共线与向量共线的等价关系，再结合向量共线的坐标表示，进而得出实数m的值。
10．（2022高一下·许昌期末）已知，是两个不共线向量，向量，共线，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】，向量，共线，则，解得：
故答案为：B
【分析】由已知条件结合共线向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
二、填空题
11．（2022高三上·成都开学考）已知向量，，其中m，．若，则的值为 ．
【答案】4
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为向量，，且，
所以，所以.
故答案为：4
【分析】利用向量相等，列出方程组，求解m，n，可求得 的值 .
12．（2022高一下·汕尾期末）已知向量，，若，则 .
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】由题意，，解得。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，进而得出实数的值。
13．（2022高一下·肇庆期末）已知向量，，若，则 ．
【答案】3
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为，所以，故．
故答案为：3
【分析】由共线向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
14．（2022高一下·和平期末）若向量，则与平行的单位向量是 ．
【答案】或
【知识点】单位向量；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为，所以，
则与平行的单位向量的坐标是：
或，
故答案为：或.
【分析】 由题意，根据与平行的单位向量的坐标，代入坐标可得答案.
三、解答题
15．（2021高一下·长春期末）平面内给定三个向量 ， ， .
（1）求满足 的实数 ， ；
（2）若 ，求实数 的值.
【答案】（1）因为 ， ， ，且
， ， ， ， .
，解得 ， .
（2） ， ， ， .
， ， ， .
，解得 .
【知识点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据平面向量的基本定理，结合向量线性运算的坐标表示求解即可；
（2）根据向量平行的充要条件，结合向量线性运算的坐标表示求解即可.
16．（2022高一下·湖北期中）已知向量，．
（1）当k为何值时，与共线；
（2）若，且A、B、C三点共线，求实数m的值．
【答案】（1）解：，，由于与共线，所以，则
（2）解：由于A，B，C三点共线，所以存在，使，即，所以
【知识点】向量的共线定理；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据已知条件求得，，再根据向量共线的坐标表示可求得k的值；
（2） 由A，B，C三点共线，所以存在，使，列方程即可求得m的值.
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