高中数学人教A版（2019）必修二 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
一、单选题
1．（2022高二上·浙江开学考）向量，，且，则实数的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．3 D．7
2．（2022高一下·永州期末）已知，，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
3．（2022高二下·商洛期末）若向量，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高一下·张家界期末）已知与均为单位向量，且与的夹角为，则（ ）
A．2 B． C． D．1
5．（2022高一下·越秀期末）已知向量满足，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2022高二下·揭阳期末）如图，在方格中，向量，，的始点和终点均为小正方形的顶点，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
7．（2022高三上·青岛开学考）已知为中点，则 .
8．（2022高三上·安徽开学考）已知向量满足，且，则与的夹角的余弦值为 ．
9．（2022高一下·中山期末）已知向量，，，且．则实数m的值为 .
10．（2022高一下·梅州期末）平面向量与的夹角为，，则 ．
11．（2022高二下·甘孜期末）已知向量 ， 若， 则与夹角的余弦值为 .
四、解答题
12．（2022高一下·张家界期末）已知向量，向量．
（1）当时，求实数x的值；
（2）当时，求向量与向量的夹角．
13．（2022高一下·咸宁期末）已知向量，．
（1）若，求的值
（2）若与的夹角为钝角，求的取值范围．
14．（2022高一下·祁东期末）已知点A（2，-1），B（3，1），C（1，-2）．
（1）求向量与夹角的余弦值：
（2）若向量，求实数t的值．
15．（2022高一下·鄂州期末）已知向量，.
（1）若，求的值.
（2）若，求与的夹角的余弦值.
16．（2022高一下·九江期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），B（2，－3）．
（1）若，求实数的值；
（2）设C（－6，k），若，的夹角为钝角，求实数k的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】由已知可得，解得.
故答案为：B.
【分析】利用向量垂直的坐标表示可得出关于实数的等式，即可解得.
2．【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】因为，，
所以，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算和数量积的坐标表示，进而得出的值。
3．【答案】D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，，
所以，，，
设与的夹角为，则.
故答案为：D
【分析】根据题意由数量积的坐标公式，代入数值计算出夹角的余弦值，由此得出夹角的大小。
4．【答案】D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为与均为单位向量，且与的夹角为120°，
所以。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合单位向量的定义和数量积求向量的模公式，再利用数量积的运算法则和数量积的定义，进而得出的值。
5．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】根据题意可得：
∴
∵，则
∴
故答案为：B．
【分析】根据向量模的坐标运算可得，结合数量积的运算律可得，，代入夹角公式，运算求解即可．
6．【答案】B,C,D
【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】如图建立平面直角坐标系，
则，，
易知，，A不符合题意；
因为，所以，B符合题意；
因为，所以C符合题意；
因为，所以，，所以，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】由已知条件结合图象由向量的加减运算性质以及数量积和向量模的运算性质，结合题意对选项逐一判断即可得出答案。
7．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；平面内中点坐标公式
【解析】【解答】是中点，则点坐标为，
，，．
故答案为：．
【分析】利用中点坐标公式结合向量数量积的运算，即可求出 的值.
8．【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】∵，∴两边平方可得，又，
∴，∴．
故答案为：.
【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义，求得 与的夹角的余弦值.
9．【答案】1
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：根据题意，∵， ，则，
又，且，
∴，解得；
故答案为：1.
【分析】由已知条件结合共数量积的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
10．【答案】
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】，
所以。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则以及数量积的定义，进而求出的值。
11．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意得，
因为，
所以，解得，
则，
所以与夹角的余弦值。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算和数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标运算，进而得出m的值，再利用数量积求向量夹角公式，进而得出与夹角的余弦值。
12．【答案】（1）解：当时，，解得：.
（2）解：当时，，即夹角为，则，
，∴当时，向量与向量的夹角为．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而得出实数x的值。
（2）利用已知条件结合数量积求向量夹角公式和向量夹角的取值范围，进而得出向量与向量的夹角。
13．【答案】（1）解：依题意，，，因，即，
于是得，解得，
所以的值是-3.
（2）解：因为与的夹角为钝角，则，且与不共线，
由得：，解得，当与共线时，，解得，于是得且，
所以的取值范围是.
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意由向量的加减运算性质，结合向量垂直的坐标公式代入数值计算出m的取值。
(2)由已知条件结合数量积的公式，结合向量共线的性质分情况讨论计算出m的取值范围。
14．【答案】（1）解：因为点A（2，-1），B（3，1），C（1，-2），
所以，
所以
（2）解：因为点A（2，-1），B（3，1），C（1，-2），
所以，
所以，
又因为，
所以
解得.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用向量的夹角公式进行求解可得向量与夹角的余弦值；
（2）利用向量垂直的充要条件进行求解可得实数t的值．
15．【答案】（1）解：平面向量，，若，则，解.
（2）解：若，则，
即，解，∴，
∴与的夹角的余弦值为：
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据向量平行坐标运算公式，求解的值.
（2）由题意，先计算的值，得到的坐标，再由向量的夹角公式，求其余弦值.
16．【答案】（1）解：因为，
所以
因为，
所以，
即，解得
（2）解：因为，所以，
即，解得．
若，则
解得k＝29．
故实数k的取值范围是．
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】 (1)根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解出实数的值；
(2)根据已知条件，结合向量的数量积公式，求出 ，再结合向量平行的性质，去除平行的特殊情况，即可求解出实数k的取值范围．
1 / 1高中数学人教A版（2019）必修二 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
一、单选题
1．（2022高二上·浙江开学考）向量，，且，则实数的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．3 D．7
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】由已知可得，解得.
故答案为：B.
【分析】利用向量垂直的坐标表示可得出关于实数的等式，即可解得.
2．（2022高一下·永州期末）已知，，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】因为，，
所以，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算和数量积的坐标表示，进而得出的值。
3．（2022高二下·商洛期末）若向量，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，，
所以，，，
设与的夹角为，则.
故答案为：D
【分析】根据题意由数量积的坐标公式，代入数值计算出夹角的余弦值，由此得出夹角的大小。
4．（2022高一下·张家界期末）已知与均为单位向量，且与的夹角为，则（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为与均为单位向量，且与的夹角为120°，
所以。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合单位向量的定义和数量积求向量的模公式，再利用数量积的运算法则和数量积的定义，进而得出的值。
5．（2022高一下·越秀期末）已知向量满足，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】根据题意可得：
∴
∵，则
∴
故答案为：B．
【分析】根据向量模的坐标运算可得，结合数量积的运算律可得，，代入夹角公式，运算求解即可．
二、多选题
6．（2022高二下·揭阳期末）如图，在方格中，向量，，的始点和终点均为小正方形的顶点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】如图建立平面直角坐标系，
则，，
易知，，A不符合题意；
因为，所以，B符合题意；
因为，所以C符合题意；
因为，所以，，所以，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】由已知条件结合图象由向量的加减运算性质以及数量积和向量模的运算性质，结合题意对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题
7．（2022高三上·青岛开学考）已知为中点，则 .
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；平面内中点坐标公式
【解析】【解答】是中点，则点坐标为，
，，．
故答案为：．
【分析】利用中点坐标公式结合向量数量积的运算，即可求出 的值.
8．（2022高三上·安徽开学考）已知向量满足，且，则与的夹角的余弦值为 ．
【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】∵，∴两边平方可得，又，
∴，∴．
故答案为：.
【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义，求得 与的夹角的余弦值.
9．（2022高一下·中山期末）已知向量，，，且．则实数m的值为 .
【答案】1
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：根据题意，∵， ，则，
又，且，
∴，解得；
故答案为：1.
【分析】由已知条件结合共数量积的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
10．（2022高一下·梅州期末）平面向量与的夹角为，，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】，
所以。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则以及数量积的定义，进而求出的值。
11．（2022高二下·甘孜期末）已知向量 ， 若， 则与夹角的余弦值为 .
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意得，
因为，
所以，解得，
则，
所以与夹角的余弦值。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算和数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标运算，进而得出m的值，再利用数量积求向量夹角公式，进而得出与夹角的余弦值。
四、解答题
12．（2022高一下·张家界期末）已知向量，向量．
（1）当时，求实数x的值；
（2）当时，求向量与向量的夹角．
【答案】（1）解：当时，，解得：.
（2）解：当时，，即夹角为，则，
，∴当时，向量与向量的夹角为．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而得出实数x的值。
（2）利用已知条件结合数量积求向量夹角公式和向量夹角的取值范围，进而得出向量与向量的夹角。
13．（2022高一下·咸宁期末）已知向量，．
（1）若，求的值
（2）若与的夹角为钝角，求的取值范围．
【答案】（1）解：依题意，，，因，即，
于是得，解得，
所以的值是-3.
（2）解：因为与的夹角为钝角，则，且与不共线，
由得：，解得，当与共线时，，解得，于是得且，
所以的取值范围是.
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意由向量的加减运算性质，结合向量垂直的坐标公式代入数值计算出m的取值。
(2)由已知条件结合数量积的公式，结合向量共线的性质分情况讨论计算出m的取值范围。
14．（2022高一下·祁东期末）已知点A（2，-1），B（3，1），C（1，-2）．
（1）求向量与夹角的余弦值：
（2）若向量，求实数t的值．
【答案】（1）解：因为点A（2，-1），B（3，1），C（1，-2），
所以，
所以
（2）解：因为点A（2，-1），B（3，1），C（1，-2），
所以，
所以，
又因为，
所以
解得.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用向量的夹角公式进行求解可得向量与夹角的余弦值；
（2）利用向量垂直的充要条件进行求解可得实数t的值．
15．（2022高一下·鄂州期末）已知向量，.
（1）若，求的值.
（2）若，求与的夹角的余弦值.
【答案】（1）解：平面向量，，若，则，解.
（2）解：若，则，
即，解，∴，
∴与的夹角的余弦值为：
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据向量平行坐标运算公式，求解的值.
（2）由题意，先计算的值，得到的坐标，再由向量的夹角公式，求其余弦值.
16．（2022高一下·九江期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），B（2，－3）．
（1）若，求实数的值；
（2）设C（－6，k），若，的夹角为钝角，求实数k的取值范围．
【答案】（1）解：因为，
所以
因为，
所以，
即，解得
（2）解：因为，所以，
即，解得．
若，则
解得k＝29．
故实数k的取值范围是．
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】 (1)根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解出实数的值；
(2)根据已知条件，结合向量的数量积公式，求出 ，再结合向量平行的性质，去除平行的特殊情况，即可求解出实数k的取值范围．
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