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第一章 勾股定理综合测试题（解析版）
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．已知中，，，的对边分别是，，．下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
解：、，
，故是直角三角形；
、，，
，故是直角三角形；
、，
，故不是直角三角形；
、，
，故是直角三角形．
故选：．
2．如图1，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是（ ）
A． B． C． D．
解：四边形DEFA是正方形，面积是4；
△ABF，△ACD的面积相等，且都是1×2＝1．
△BCE的面积是：1×1．
则△ABC的面积是：4﹣1﹣1．
在直角△ADC中根据勾股定理得到：AC．
设AC边上的高线长是x．则AC xx，
解得：x．
故选：C．
3．如图，是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（ ）
A．8 B．2 C．2 D．4
解：①沿CC1展开，如图所示，
MN＝＝＝2（cm）．
②沿B1C1展开，MN＝＝＝4（cm），
4＜2，
∴最短路线长是4cm，
故选：D．
4．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（ ）（杯壁厚度不计）
A． B． C． D．
解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点，
连接，则即为最短距离，
在直角中，由勾股定理得
．
故选：C．
5．如图， 是等边三角形， 点 为 的中点， ， 垂足为E，EFAB，AE=2，下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． 的面积为 D． 的周长为 12
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，AB=BC=AC，
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，故A选项正确；
∵AE=2，
∴AD=2AE=4，故选项B正确，
∵
∴，故C选项正确，
∵EFAB，
∴∠CEF=∠A=60°，∠EFC=∠B=60°，
∴△EFC是等边三角形，
∵D为BA的中点，
∴AC=AB=2AD=8，
∴，
∴△EFC的周长=3×6=18，故选项D不正确，
故选：D．
6．如图：已知△ABC为直角三角形，分别以直角边AC、BC为直径作半圆AmC和BnC，以AB为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为，△ABC的面积为，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
解：在Rt△ABC中，
∵，
∴
，
∵．
∴．
故选：C．
7．如图，已知，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC与点F，，．则AE的长为（ ）
A． B．6 C．5 D．
解∵点E是CD的中点
∴DE=CE
∵AB⊥BC，AB⊥AD
∴ADBC
∴∠ADE=∠BCE
在△AED与△FEC中
∴
∴
∴
∴在Rt△ABF中，
∴
故选：A．
8．若的两边a，b满足，则它的第三边c为（ ）
A．5 B．5或 C． D．或
解：∵Rt△ABC的两边a,b满足，
∴a-3=0且b-4=0．
∴a=3，b=4．
当b为直角边时，由勾股定理知：，即c=5；
当b为斜边时，由勾股定理知：，即c=；
综上所述，c为5或．
故选：B．
9．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则的值为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
解：由折叠得，，∠BAF=∠EAF，
在△BAF和△EAF中，
，
∴△BAF≌△EAF(SAS)，
∴BF=EF，
∴AF⊥BE，
又∵AF＝4，AB＝5，
∴，
在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，
∴，
即，
∵，，
∴，∴，
∴，
∴，
在Rt△BDF中，，，
∴，
故选：A．
10．在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，点P，Q分别是边AB和BC上的动点，始终保持AP＝BQ，连接AQ，CP，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
解：如图，作BM⊥AB，使得BM=AC，连接AM，QM，
∴∠QBM+∠ABC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠PAC+∠ABC=90°，
∴∠QBM=∠PAC，
∵BM=AC，AP＝BQ，
∴△QBM≌△PAC（SAS），
∴MQ=CP，
∴AQ+CP=AQ+MQ，
在△AQM中，AQ+MQ>AM，
当点A、Q、M三点共线时，AQ+MQ=AM，∴AQ+CPAM，
∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，∴，
∵，，∴，
∴，
即的最小值为.
故选：B.
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．如图，在Rt△ABC中，，分别以AB，BC，AC为边向上作正方形，其中阴影部分面积之和为8，则四边形EDAF的面积为______．
解：如图，
∵在Rt△ABC中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴∠ABC＋∠ACB＝90°，
∵∠EBC＝∠EBF＋∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝∠EBF，即∠DCB＝∠FBE，
又∵BC＝EB，∠DBC＝∠E，
∴△DBC≌△FEB（ASA），
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
12．如图Rt△ABC，，AB=5，BC=3，若动点P在边AB上移动，则线段CP的最小值是_______．
解：过作于，
由垂线段最短可知，当点P运动到点的位置时，CP最小，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴则线段CP的最小值是:，
故答案为：．
13．直角三角形的两边长分别是9和12，则斜边上的高为________．
解：当9和12都是直角边时，设斜边长为c，斜边上的高为h，
由勾股定理可得：，则c=15，
由，可得：h=．
当12是斜边时，设另一直角边长为a，斜边上的高为，
由勾股定理可得：，则a=，
由，可得：=．
综上，斜边上的高为或．
故答案为：或．
14．如图，七个正方形如此排列，相邻两个正方形都有公共顶点，数字字母代表各自正方形面积．则_______．
解：如图，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=ED，
∵，
∴，
即，
同理．
则．
故答案为：4．
15．已知任意直角三角形的两直角边a，b和斜边c之间存在关系式：a2+b2=c2．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，BD=3，CD=4，以AD为一边作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．若点M是DE上一个动点，则线段CM长的最小值为_________．
解：连接CE，过点C作于点H，如下图，
∵，即，
∴，
∵AB=AC，AD=AE，
∴，
∴，，
∵∠BAC=90°，
∴，
∴，即，
∴在中，，
∵，
∴，即，
解得，
∵点M是DE上一个动点，则当，即M、H重合时，线段CM的长取最小值，
此时．
故答案为：．
三.解答题：（共55分）
16．（6分）如图，在中，，现将它折叠，使点与重合，求折痕的长．
解：由折叠的性质可得：，BD=CD，
，
∵，
∴，
∴AD=AB－BD=4－CD；
在Rt△DAC中，由勾股定理得：，
解得：，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：．
答：折痕的长为．
17．（6分）如图，把长方形纸片沿折叠后，点与点重合，点落在点的位置．
(1)若，求，的度数；
(2)若，，求四边形的面积．
解：（1）四边形是长方形，
ADBC
，
由折叠的性质可知，，
；
（2）长方形纸片沿折叠，
，，
设，则，
，
，
解得，
，，
∵ADBC
又∵∴，
，
．
18．（8分）在Rt中，是边上的高，．
(1)求的长；
(2)求的长．
（1）解：∵在Rt中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴，
∵CD是AB边上的高，
∴即，
∴；
（2）解：在Rt△ADC中，由勾股定理得
．
19．（8分）如图，中，EF垂直平分对角线AC，分别与边AD，BC交于点F，E．
(1)求证：四边形AECF为菱形；
(2)若，且 ，求菱形AECF的周长．
（1）证明：∵垂直平分对角线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）在中，，且，
∴．
∵四边形为菱形，
∴．
在中，，
∴设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的周长为8．
20．（8分）如图，正方形网格中的每个小正方形变成都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图：
(1)画一个三角形△ABC，使它的三边长分别为，，3.
(2)求方格图中所画的△ABC的面积
（1）解：如图，
∵，，BC=3，∴△ABC即为所求；
（2）△ABC的面积=0.5×3×2＝3．
21．（10分）认识新知：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知OB＝OD，AB＝AD，判断：四边形ABCD____垂美四边形（填“是”或“否”）；
(2)性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．
①若OA＝1，OB＝5，OC＝7，OD＝2，则AB2+CD2＝____；AD2+BC2＝____．
②猜想AB、BC、CD、AD这四条边的数量关系，并给出证明．
(3)解决问题：如图3，△ACB中，∠ACB＝90°，AC⊥AG且AC＝AG＝4，AB⊥AE且AE＝AB＝5，连结CE、BG、GE，则GE＝____．
（1）解：结论：四边形ABCD是垂美四边形．
理由：如图，连接AC和BD，
∵AD＝AB，
∴A在BD的垂直平分线上，
∵CD＝CB，
∴C在BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BD，
∴四边形ABCD为垂美四边形；
故答案为：是；
（2）①解：∵AC⊥BD，
∴＝1+25+49+4＝79，
＝1+25+49+4＝79，
故答案为：79，79；
②结论：．
理由：∵，
∴，
，
∴；
（3）如图，设AC与BG的交点为N，AB与CE的交点为M，
∵，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
∵，
∴，
由（2）得，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
22．（9分）【证明体验】
(1)如图1，在中，为边上的中线，延长至，使，连接．求证：．
【迁移应用】
(2)如图2，在中，，，为的中点，．求面积．
【拓展延伸】
(3)如图3，在中，，是延长线上一点，，是上一点，连接交于点，若，，求的长．
（1）证明：如图1中，
在和中，
，；
（2）解：如图2中，延长到，使得，连接．
由（1）可知，
，，
，
，
；
（3）解：如图3中，延长到，使得，连接．
由（1）可知，，
，，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
，
．
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第一章 勾股定理综合测试题（原题版）
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．已知中，，，的对边分别是，，．下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图1，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（ ）
A．8 B．2 C．2 D．4
4．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（ ）（杯壁厚度不计）
A． B． C． D．
5．如图， 是等边三角形， 点 为 的中点， ， 垂足为E，EFAB，AE=2，下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． 的面积为 D． 的周长为 12
6．如图：已知△ABC为直角三角形，分别以直角边AC、BC为直径作半圆AmC和BnC，以AB为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为，△ABC的面积为，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
7．如图，已知，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC与点F，，．则AE的长为（ ）
A． B．6 C．5 D．
8．若的两边a，b满足，则它的第三边c为（ ）
A．5 B．5或 C． D．或
9．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则的值为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
10．在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，点P，Q分别是边AB和BC上的动点，始终保持AP＝BQ，连接AQ，CP，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．如图，在Rt△ABC中，，分别以AB，BC，AC为边向上作正方形，其中阴影部分面积之和为8，则四边形EDAF的面积为______．
12．如图Rt△ABC，，AB=5，BC=3，若动点P在边AB上移动，则线段CP的最小值是_______．
13．直角三角形的两边长分别是9和12，则斜边上的高为________．
14．如图，七个正方形如此排列，相邻两个正方形都有公共顶点，数字字母代表各自正方形面积．则_______．
15．已知任意直角三角形的两直角边a，b和斜边c之间存在关系式：a2+b2=c2．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，BD=3，CD=4，以AD为一边作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．若点M是DE上一个动点，则线段CM长的最小值为_________．
三.解答题：（共55分）
16．（6分）如图，在中，，现将它折叠，使点与重合，求折痕的长．
17．（6分）如图，把长方形纸片沿折叠后，点与点重合，点落在点的位置．
(1)若，求，的度数；
(2)若，，求四边形的面积．
18．（8分）在Rt中，是边上的高，．
(1)求的长；
(2)求的长．
19．（8分）如图，中，EF垂直平分对角线AC，分别与边AD，BC交于点F，E．
(1)求证：四边形AECF为菱形；
(2)若，且 ，求菱形AECF的周长．
20．（8分）如图，正方形网格中的每个小正方形变成都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图：
(1)画一个三角形△ABC，使它的三边长分别为，，3.
(2)求方格图中所画的△ABC的面积
21．（10分）认识新知：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知OB＝OD，AB＝AD，判断：四边形ABCD____垂美四边形（填“是”或“否”）；
(2)性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．
①若OA＝1，OB＝5，OC＝7，OD＝2，则AB2+CD2＝____；AD2+BC2＝____．
②猜想AB、BC、CD、AD这四条边的数量关系，并给出证明．
(3)解决问题：如图3，△ACB中，∠ACB＝90°，AC⊥AG且AC＝AG＝4，AB⊥AE且AE＝AB＝5，连结CE、BG、GE，则GE＝____．
22．（9分）【证明体验】
(1)如图1，在中，为边上的中线，延长至，使，连接．求证：．
【迁移应用】
(2)如图2，在中，，，为的中点，．求面积．
【拓展延伸】
(3)如图3，在中，，是延长线上一点，，是上一点，连接交于点，若，，求的长．
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