第三章 函数的概念与性质 检测题（含解析）

函数的概念与性质检测题
（时间120分钟 满分150分）
班级 学号 姓名 得分
第Ⅰ卷　(选择题　共60分)
选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、若函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
2、小刚将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚得最大利润，售价应定为(　　)
A．每个110元 B．每个105元
C．每个100元 D．每个95元
3、如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是(　　)
A．①③ B．②④
C．①② D．③④
4、若方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[－，1] D．(－∞，－]
5、鱼台孔府宴酒厂2021年12月份的产值是这年1月份产值的P倍，则该企业2010年度产值的月平均增长率为(　　)
A. B.－1
C. D.
6、佳客多商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
(1)如果不超过200元，则不给予优惠；
(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．
李华两次去购物，分别付款168元和423元，假设他去一次购买上述同样的商品，则应付款是(　　)
A．413.7元 B．513.7元
C．548.7元 D．546.6元
7、如图1，直角梯形OABC中，AB∥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线l∶x＝t截此梯形所得位于l左方图形面积为S，则函数S＝f(t)的图象大致为图中的(　　)
图1
8、已知在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变为c%，将y表示成x的函数关系式为(　　)
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
9、设f(x)是区间[a，b]上的单调函数，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b](　　)
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一实根
10、设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)＝f()的所有x之和为(　　)
A．－ B．－
C．－8 D．8
11、在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：
x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x、y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a、b为待定系数)(　　)
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝ax2＋b D．y＝a＋
12、对于某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由电脑记录后再显示的图象如图所示．现给出下面说法：
①前5分钟温度增加的速度越来越快；
②前5分钟温度增加的速度越来越慢；
③5分钟以后温度保持匀速增加；
④5分钟以后温度保持不变．
其中正确的说法是(　　)
A．①④ B．②④
C．②③ D．①③
第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13、某厂要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m，长与宽的和为20m，则仓库容积的最大值为________．
14、已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围为________．
15、若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围为________．
16、函数g(x)＝x2－2x＋b的零点均是正数，则实数b的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、(10分)某停车场预计“十·一”国庆节这天停放大小汽车1200辆次，该停车场的收费标准为：大车每辆次10元，小车每辆次5元．
(1)写出国庆这天停车场的收费金额y(元)与小车停放辆次x(辆)之间的函数关系式，并指出x的取值范围．
(2)如果国庆这天停放的小车占停车总辆数的65%～85%，请你估计国庆这天该停车场收费金额的范围．
18、(12分)一家出版公司为一本畅销书定价如下：
C(n)＝这里n表示定购书的数量，C(n)是定购n本书所付的钱数(单位：元)．
若一本书的成本价是5元，现有甲、乙两人来买书，每人至少买1本，两人共买60本，问出版公司最少能赚多少钱？最多能赚多少钱？
19、(12分)某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服用药后每毫升中的含药量y(微克)与服药的时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线AB是函数y＝kat(t≥1，a>0，且k，a是常数)的图象．
(1)写出服药后y关于t的函数关系式；
(2)据测定，每毫升血液中的含药量不少于2微克时治疗疾病有效．假设某人第一次服药为早上6∶00，为保持疗效，第二次服药最迟应当在当天几点钟？
(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后3小时，该病人每毫升血液中的含药量为多少微克(精确到0.1微克)
20、(12分) 首届世界低碳经济大会在南昌召开，大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本 (元)与月处理量 (吨)之间的函数关系可近似地表示为 ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
21、(12分)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出范围；若不存在，请说明理由．
22、(12分)红星五金加工厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；
(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)
答案与解析
1、B　由题意x0为方程x3＝()x－2的根，
令f(x)＝x3－22－x，
∵f(0)＝－4<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，
∴x0∈(1,2)．
2、D　设售价为x元，则利润
y＝[400－20(x－90)](x－80)＝20(110－x)(x－80)
＝－20(x2－190x＋8800)
＝－20(x－95)2＋4500.
∴当x＝95时，y最大为4500元．
3、A　对于①③在函数零点两侧函数值的符号相同，故不能用二分法求．
4、C　令f(x)＝x2＋ax－2，则f(0)＝－2<0，
∴要使f(x)在[1,5]上与x轴有交点，则需要
，即，解得－≤a≤1.]
5、B　设1月份产值为a，增长率为x，则pa＝a(1＋x)11，
∴x＝－1.
6、D　购物超过200元，至少付款200×0.9＝180(元)，超过500元，至少付款500×0.9＝450(元)，可知此人第一次购物不超过200元，第二次购物不超过500元，则此人两次购物总金额是168＋＝168＋470＝638(元)．若一次购物，应付500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)．
7、C　解析式为S＝f(t)
＝
＝
∴在[0,1]上为抛物线的一段，在(1,2]上为线段．
8、B　根据配制前后溶质不变，有等式a%x＋b%y＝c%(x＋y)，即ax＋by＝cx＋cy，故y＝x.
9、C　令f(x)＝x2＋ax－2，则f(0)＝－2<0，
∴要使f(x)在[1,5]上与x轴有交点，则需要
，即，解得－≤a≤1.
10、C　∵x>0时f(x)单调且为偶函数，
∴|2x|＝||，即2x(x＋4)＝±(x＋1)．
∴2x2＋9x＋1＝0或2x2＋7x－1＝0.
∴共有四根．
∵x1＋x2＝－，x3＋x4＝－，
∴所有x之和为－＋(－)＝－8.
11、B　∵x＝0时，无意义，∴D不成立．
由对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快，
∴A不成立．
∵C是偶函数，
∴x＝±1的值应该相等，故C不成立．
对于B，当x＝0时，y＝1，
∴a＋1＝1，a＝0；
当x＝1时，y＝b＝2.02，经验证它与各数据比较接近．
12、B　因为温度y关于时间t的图象是先凸后平行直线，即5分钟前每当t增加一个单位增量Δt，则y随相应的增量Δy越来越小，而5分钟后y关于t的增量保持为0.故选B.
13、300m3
解析　设长为xm，则宽为(20－x)m，仓库的容积为V，
则V＝x(20－x)·3＝－3x2＋60x,0由二次函数的图象知，顶点的纵坐标为V的最大值．
∴x＝10时，V最大＝300(m3)．
14、(0,1)
解析　函数f(x)＝的图象如图所示，
该函数的图象与直线y＝m有三个交点时m∈(0,1)，此时函数g(x)＝f(x)－m有3个零点．
15、(1，＋∞)
解析　函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，如下图，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，01.
16、(0,1]
解析　设x1，x2是函数f(x)的零点，则x1，x2为方程x2－2x＋b＝0的两正根，
则有，即.
解得017、解　(1)依题意得y＝5x＋10(1200－x)
＝－5x＋12000，0≤x≤1200.
(2)∵1200×65%≤x≤1200×85%，
解得780≤x≤1020，
而y＝－5x＋12000在[780,1 020]上为减函数，
∴－5×1020＋12000≤y≤－5×780＋12000.
即6900≤y≤8100，
∴国庆这天停车场收费的金额范围为[6 900,8 100]．
18、解　设甲买n本书，则乙买(60－n)本(不妨设甲买的书少于或等于乙买的书)，则n≤30，n∈N*.
①当1≤n≤11且n∈N*时，49≤60－n≤59，
出版公司赚的钱数f(n)＝12n＋10(60－n)－5×60＝2n＋300；
②当12≤n≤24且n∈N*时，36≤60－n≤48，
出版公司赚的钱数
f(n)＝12n＋11(60－n)－5×60＝n＋360；
③当25≤n≤30且n∈N*时，30≤60－n≤35，
出版公司赚的钱数f(n)＝11×60－5×60＝360.
∴f(n)＝
∴当1≤n≤11时，302≤f(n)≤322；
当12≤n≤24时，372≤f(n)≤384；
当25≤n≤30时，f(n)＝360.
故出版公司最少能赚302元，最多能赚384元．
19、解　(1)当0≤t<1时，y＝8t；
当t≥1时，∴
∴y＝
(2)令8·()t≥2，解得t≤5.
∴第一次服药5小时后，即第二次服药最迟应当在当天上午11时服药．
(3)第二次服药后3小时，每毫升血液中含第一次所服药的药量为y1＝8×()8＝(微克)；含第二次服药后药量为y2＝8×()3＝4(微克)，y1＋y2＝＋4≈4.7(微克)．
故第二次服药再过3小时，
该病人每毫升血液中含药量为4.7微克．
20、(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为令，可以证明t(x)在(0，400)为减函数，在[400，＋∞)上是增函数，故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元.
(2)设该单位每月获利为S，则
.
因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损.
21、解　若实数a满足条件，
则只需f(－1)f(3)≤0即可．
f(－1)f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，
所以a≤－或a≥1.
检验：(1)当f(－1)＝0时a＝1，
所以f(x)＝x2＋x.
令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.
(2)当f(3)＝0时a＝－，
此时f(x)＝x2－x－.
令f(x)＝0，即x2－x－＝0，
解得，x＝－或x＝3.
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－.
综上所述，a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)．
22、解　(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0＝100＋＝550.
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．
(2)当0当100当x≥550时，P＝51.
所以P＝f(x)＝(x∈N)．
(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，
则L＝(P－40)x＝(x∈N)．
当x＝500时，L＝6000；
当x＝1000时，L＝11000.
因此，当销售商一次订购500个零件时，
该厂获得的利润是6000元；
如果订购1000个，利润是11000元．