高中数学北师大版（2019）必修第一册第一章集合 单元复习（含解析）

第一章 集合
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列关系式中，正确的是(　　)
A．∈Q B．{(a，b)}＝{(b，a)}
C．2∈{1，2} D．＝{0}
2．已知集合A＝{x|x(x＋1)＝0}，那么下列结论正确的是(　　)
A．0∈A B．1∈A
C．－1 A D．0 A
3．已知M＝{y∈R|y＝|x|}，N＝{x∈R|x＝m2}，则下列关系中正确的是(　　)
A．M?N B．M＝N
C．M≠N D．N?M
【变式训练】
已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是(　　)
记全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)
A．{4，6，7，8}　　　　　 B．{2}
C．{7，8} D．{1，2，3，4，5，6}
4．若集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有(　　)
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【变式训练】
已知集合A满足条件{1，2} A?{1，2，3，4，5}，则集合A的个数为(　　)
A．8　　　B．7　　　C．4　　　D．3
5．设全集U＝R，已知集合A＝{x|x<3或x≥9}，集合B＝{x|x≥a}，若(UA)∩B≠ ，则a的取值范围为(　　)
A．a>3 B．a≤3
C．a<9 D．a≤9
6．已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是(　　)
A．(U)∩C B．(U)∩A
C．A∩(U) D．(U)∩C
7．已知全集U＝{x∈N*|－2A．M∩(UP) B．U(M∩P)
C．(UM)∪ D．(UM)∩
8．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知集合M＝，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，x0∈M，则x0与N的关系是(　　)
A．x0∈N B．x0 N
C．x0∈M且x0 N D．不能确定
【变式训练】
设全集U＝R，集合E＝{x|x≤－3或x≥2}，F＝{x|0＜x＋1＜6}，则集合{x|－1＜x＜2}是(　　)
A．E∩F B．(UE)∩F
C．(UE)∪(UF) D．U(E∪F)
10．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(UA)∪(UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为(　　)
A．mn B．m＋n
C．n－m D．m－n
11．若集合A＝，B＝{x|a≤x≤a＋2}，当A∪B＝A时，实数a的取值范围是(　　)
A．－2C．－212．设A∩B＝ ，M＝{m|m A}，N＝{n|n B}, 那么下列关系中正确的选项是(　　)
A．M∩N＝ B．M∩N＝A∩B
C．M∩N＝{ } D．M∩N＝ A∪B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知集合A＝{k＋1，k－1，k2－3}，若1∈A，则实数k的值为________．
14．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|m－1≤x≤2m－1}，若B A，则实数m的取值范围为________．
15．设A＝{(x，y)|ax＋y－3＝0}，B＝{(x，y)|x－y－b＝0}．若A∩B＝{(2，1)}，则a＝________，b＝________．
16．设全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1，4}，B＝{2，4}，则U(A∩B)＝________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知全集U＝R，集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝，
求：(1)A∪B.
(2)U(A∩B).
18．(12分)已知集合A＝{x|0(1)当m＝2时，求A∩(RB)；
(2)若A∪B＝A，求m的取值范围．
19．(12分)已知集合
P＝，
集合Q＝.
(1)若a＝3，求集合∩Q.
(2)若P Q，求实数a的取值范围．
【变式训练】
已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}．若A＝B，求c的值．
20．(12分)设集合A＝{x|x＋1≤0或x－4≥0}，B＝{x|2a≤x≤a＋2}．
(1)若A∩B≠ ，求实数a的取值范围．
(2)若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
21．(12分)某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A，B，C三道知识题作答情况如下：答错A者17人，答错B者15人，答错C者11人，答错A，B者5人，答错A，C者3人，答错B，C者4人，A，B，C都答错的有1人，问A，B，C都答对的有多少人？
22．(12分)若集合M＝{x|－3≤x≤4}，
集合P＝{x|2m－1≤x≤m＋1}．
(1)证明M与P不可能相等．
(2)若集合M与P中有一个集合是另一个集合的真子集，求实数m的取值范围．
参考答案：
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列关系式中，正确的是(　　)
A．∈Q B．{(a，b)}＝{(b，a)}
C．2∈{1，2} D．＝{0}
【解析】选C.A中是无理数，因此不正确；
B中两集合为点集，元素不同，所以集合不相等；
C中元素集合的关系式正确；
D中空集不含有任何元素，因此两集合不相等．
2．已知集合A＝{x|x(x＋1)＝0}，那么下列结论正确的是(　　)
A．0∈A B．1∈A
C．－1 A D．0 A
【解析】选A.由于A＝{0，－1}，故A正确．
3．已知M＝{y∈R|y＝|x|}，N＝{x∈R|x＝m2}，则下列关系中正确的是(　　)
A．M?N B．M＝N
C．M≠N D．N?M
【解析】选B.因为M＝{y∈R|y＝|x|}
＝{y∈R|y≥0}，N＝{x∈R|x＝m2}
＝{x∈R|x≥0}，所以M＝N.
【变式训练】
已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是(　　)
【解析】选B.由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1，0}．因为M＝{－1，0，1}，所以N?M.
记全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)
A．{4，6，7，8}　　　　　 B．{2}
C．{7，8} D．{1，2，3，4，5，6}
【解析】选C.由Venn图可知，题图中阴影部分可表示为U(A∪B)且A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，所以U(A∪B)＝{7，8}．
4．若集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有(　　)
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【解析】选B.因为P＝M∩N＝{1，3}，所以P的子集有22＝4个．
【变式训练】
已知集合A满足条件{1，2} A?{1，2，3，4，5}，则集合A的个数为(　　)
A．8　　　B．7　　　C．4　　　D．3
【解析】选B.由集合A满足条件{1，2} A?{1，2，3，4，5}可知，集合A中必含有元素1和2，可含有3，4，5中的0个、1个、2个，则集合A可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，共7个．
5．设全集U＝R，已知集合A＝{x|x<3或x≥9}，集合B＝{x|x≥a}，若(UA)∩B≠ ，则a的取值范围为(　　)
A．a>3 B．a≤3
C．a<9 D．a≤9
【解析】选C.因为全集U＝R，集合A＝{x|x<3或x≥9}，
所以UA＝{x|3≤x<9}，
又因为(UA)∩B≠ ，B＝{x|x≥a}，所以a<9.
6．已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是(　　)
A．(U)∩C B．(U)∩A
C．A∩(U) D．(U)∩C
【解析】选C.因为x∈A，x B，x C，所以图中阴影部分表示的集合是 A∩(U(B∪C))，选C.
7．已知全集U＝{x∈N*|－2A．M∩(UP) B．U(M∩P)
C．(UM)∪ D．(UM)∩
【解析】选D.A选项，集合M中不含2、7、8，排除A.B选项，M∩P＝， U(M∩P)＝，B错误，C选项， UM＝，UP＝，(UM)∪＝，C错误，D选项，(UM)∩＝{2，7，8}，D正确．
8．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选B.因为A＝{x|1≤x＜a}，UA＝{x|2≤x≤5}，所以A∪UA＝U＝{x|1≤x≤5}且A∩UA＝ ，因此a＝2.
9．已知集合M＝，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，x0∈M，则x0与N的关系是(　　)
A．x0∈N B．x0 N
C．x0∈M且x0 N D．不能确定
【解析】选A.M＝，
N＝，
对k取值列举得：
M＝，
N＝，
所以M?N，所以x0∈M，则x0∈N.
【变式训练】
设全集U＝R，集合E＝{x|x≤－3或x≥2}，F＝{x|0＜x＋1＜6}，则集合{x|－1＜x＜2}是(　　)
A．E∩F B．(UE)∩F
C．(UE)∪(UF) D．U(E∪F)
【解析】选B.因为U＝R，E＝{x|x≤－3或x≥2}，F＝{x|－1＜x＜5}，所以UE＝{x|－3＜x＜2}，UF＝{x|x≤－1或x≥5}．E∩F＝{x|2≤x＜5}，(UE)∩F＝{x|－1＜x＜2}．而(UE)∪(UF)＝U(E∩F)＝{x|x<2或x≥5}，U(E∪F)＝{x|－310．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(UA)∪(UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为(　　)
A．mn B．m＋n
C．n－m D．m－n
【解析】选D.因为(UA)∪(UB)中有n个元素，如图所示阴影部分，又因为U＝A∪B中有m个元素，故A∩B中有(m－n)个元素．
11．若集合A＝，B＝{x|a≤x≤a＋2}，当A∪B＝A时，实数a的取值范围是(　　)
A．－2C．－2【解析】选D.由于A∪B＝A，故B是A的子集，所以解得－2≤a≤0.
12．设A∩B＝ ，M＝{m|m A}，N＝{n|n B}, 那么下列关系中正确的选项是(　　)
A．M∩N＝ B．M∩N＝A∩B
C．M∩N＝{ } D．M∩N＝ A∪B
【解析】选C.因为M＝{A的子集}，N＝{B的子集}, 所以 ∈M， ∈N，所以 ∈(M∩N).又A∩B＝ ，所以在A的子集与B的子集中没有非空的公共部分，所以M∩N中不存在其他非空集合．综上所述，M∩N＝{ }．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知集合A＝{k＋1，k－1，k2－3}，若1∈A，则实数k的值为________．
【解析】依题意1∈A.当k＋1＝1时，k＝0，A＝{1，－1，－3}，符合题意；
当k－1＝1时，k＝2，k－1＝k2－3＝1，不满足互异性，错误；
当k2－3＝1，k＝2(舍去)或k＝－2，当k＝－2时，A＝{－1，－3，1}，符合题意．
综上所述，实数k的值为0或－2.
答案：0或－2
14．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|m－1≤x≤2m－1}，若B A，则实数m的取值范围为________．
【解析】已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|m－1≤x≤2m－1}，且B A，
当B＝ 时，m－1>2m－1，解得m<0，符合题意；
当B≠ 时，则
解得0≤m≤1.
综上，实数m的取值范围为(－∞，1].
答案：(－∞，1]
15．设A＝{(x，y)|ax＋y－3＝0}，B＝{(x，y)|x－y－b＝0}．若A∩B＝{(2，1)}，则a＝________，b＝________．
【解析】由A∩B＝{(2，1)}，可知为方程组的解，解得
答案：1　1
16．设全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1，4}，B＝{2，4}，则U(A∩B)＝________．
【解析】因为U＝{1，2，3，4}，A∩B＝{4}，
所以U(A∩B)＝{1，2，3}．
答案：{1，2，3}
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知全集U＝R，集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝，
求：(1)A∪B.
(2)U(A∩B).
【解析】(1)因为B＝＝，A＝，
所以A∪B＝.
(2)由(1)可得A∩B＝，因为U＝R，所以U(A∩B)＝或.
18．(12分)已知集合A＝{x|0(1)当m＝2时，求A∩(RB)；
(2)若A∪B＝A，求m的取值范围．
【解析】(1)当m＝2时，B＝{x|－m则RB＝{x|x≤－2或x≥3}，
又A＝{x|0所以A∩(RB)＝{x|3≤x<4}．
(2)因为A∪B＝A所以B A.
当B＝ 时，－m≥m＋1，解得m≤－；
当B≠ 时，则
解得－综上所述，实数m的取值范围为(－∞，0].
19．(12分)已知集合
P＝，
集合Q＝.
(1)若a＝3，求集合∩Q.
(2)若P Q，求实数a的取值范围．
【解析】(1)当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}，
所以RP＝{x|x<4或x>7}，
所以∩Q＝{x|x<4或x>7}∩{x|－2≤x≤5}＝{x|－2≤x<4}．
(2)①当P＝ 时，满足P Q，
有2a＋1②当P≠ 时，满足P Q，
则有
所以0≤a≤2，综上，a的取值范围为.
【变式训练】
已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}．若A＝B，求c的值．
【解析】A＝B，分情况讨论．
①若a＋b＝ac，则a＋2b＝ac2，解得a＋ac2－2ac＝0.
a＝0时，集合B中的三个元素均为零，和元素互异性矛盾，故a≠0.所以c2－
2c＋1＝0，即c＝1.
但c＝1时，B中的三个元素又相同，故无解．
②若a＋b＝ac2，且a＋2b＝ac，
消去b得2ac2－ac－a＝0.
因为a≠0，所以2c2－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0，即c＝1或c＝－.
经验证c＝－符合题意，
由①②可知，c＝－.
20．(12分)设集合A＝{x|x＋1≤0或x－4≥0}，B＝{x|2a≤x≤a＋2}．
(1)若A∩B≠ ，求实数a的取值范围．
(2)若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
【解析】(1)因为A∩B≠ ，所以或，所以或，
综上所述：a＝2或a≤－.
(2)因为A∩B＝B，所以B A，有三种情况：
①所以a≤－3；②
所以a＝2；③B＝ ，所以2a>a＋2，所以a>2，
综上，a的取值范围为a≤－3或a≥2.
21．(12分)某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A，B，C三道知识题作答情况如下：答错A者17人，答错B者15人，答错C者11人，答错A，B者5人，答错A，C者3人，答错B，C者4人，A，B，C都答错的有1人，问A，B，C都答对的有多少人？
【解析】由题意，
设全班同学为全集U，画出Venn图，A表示答错A的集合，B表示答错B的集合，C表示答错C的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1，2，3，4，10，7，5，因此A∪B∪C中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此A，B，C全对的有50－32＝18(人).
22．(12分)若集合M＝{x|－3≤x≤4}，
集合P＝{x|2m－1≤x≤m＋1}．
(1)证明M与P不可能相等．
(2)若集合M与P中有一个集合是另一个集合的真子集，求实数m的取值范围．
【解析】(1)若M＝P，则－3＝2m－1且4＝m＋1，即m＝－1且m＝3，不成立．故M与P不可能相等．
(2)若P?M，当P≠ 时，
有或
解得－1≤m≤2；
当P＝ 时，有2m－1>m＋1，
解得m>2，即m≥－1；
若M?P，则或无解．
综上可知，当有一个集合是另一个集合的真子集时，只能是P?M，此时必有m≥－1，
即实数m的取值范围为{m|m≥－1}．
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