数学2019人教版必修一5.2.2同角三角函数的基本关系（共25张ppt）

(共25张PPT)
XX中学
XXXX MIDDLE SCHOOL
5.2三角函数的概念
5.2.2 同角三角函数的基本关系(2个课时)
01
理解同角三角函数的基本关系
会用同角三角函数的基本关系
式进行三角函数式的求值、化
简和证明
02
学习目标
知识回顾
1.任意角的三角函数的定义：
2.诱导公式一：
终边相同的角的同一三角函数值相等
定义在单位圆上：
知识探究:
问题1：同一个角的三角函数值之间是否也有某种关系呢？
y
x
O
M
P(x,y)
1
α
A(1,0)
在 Rt△OMP 中，OP =1 ，由勾股定理得：
根据三角函数的定义，当
时，有
同角三角函数基本关系式的变形①
1－cos2α
1－sin2α
tanα cosα
{
sin2α =
cos2α =
sinα＝
cosα＝
(1)sin2α＋cos2α＝1
(2)
{
sinα＝
cosα＝
问题2：基本关系式可以通过哪些方式变形？
追问：同角三角函数的平方关系、商数关系可以有哪些变形？
三角函数值的正负由角所在的象限决定
同角三角函数基本关系式及变形的应用（一）
【例1】　 已知 ，且 是第一象限角，求 的值.
，
【变式1】　（课本183页例6）
【例2】　 已知 ，求 的值.
【变式2】　已知 ，且 是第三象限角，求 的值.
已知 ，且 是第三象限角，求 的值.
同角三角函数基本关系式及变形的应用（一）
(1) 已知sin α (或cos α)求其他，常用按以下步骤求解
(2)若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类讨论其他三角函数的正负.
，
sin2α =1- cos2α
cos2α = 1- sin2α
sin2α＋cos2α＝1
sinα＝
cosα＝
同角三角函数基本关系式的应用（二）
(1)已知tanα求sinα (或cosα)常用以下方式求解
(2)若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.
sinα＝tanαcosα
或 cosα＝
【例3】　已知 ，且 是第三象限角，求 的值.
【例4】　已知 ，求 的值.
sinα＝
cosα＝
联立求解
同角三角函数基本关系式及变形的应用（三）
证法一：
由原题知：
则
原式左边=
=右边
因此
恒等变形的条件
（课本183页例7）
【例5】　
同角三角函数基本关系式及变形的应用（三）
证法二：
因为
因此
由原题知：
恒等变形的条件
（课本183页例7）
【例5】　
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
同角三角函数基本关系式及变形的应用（三）
达标检测一：
小结：
1.同角三角函数的基本关系
平方关系:
商数关系:
3.已知tanα，求sinα，cosα
2.已知sinα（或cosα）求其它
4.注意分象限讨论
联立 sin2α＋cos2α＝1求解
sinα，cosα ， tanα
知一求二
作业布置：
1.课本184页练习1、2、3、4
3.预习创新设计--题型剖析
2.复习同角三角函数的基本关系及其变形
同角三角函数基本关系式的应用①
【例6】　
同角三角函数基本关系式的应用①
sinα，cosα ，tanα知一求二
2.已知tanα，求sinα，cosα
1.已知sinα（或cosα）求其它
联立 sin2α＋cos2α＝1求解
注意：当角α的范围不确定且涉及开方时，根据三角函数值的符号对角α分区间（象限）讨论.
同角三角函数基本关系式的应用②
【例7】　
【1】 已知tanα=2，求 的值；
【2】 已知tanα=2，求 的值；
【3】 已知tanα=2，求 的值.
同角三角函数基本关系式的应用②
已知tanα ，求关于sinα ，cosα的齐次式
2.若无分母时，把分母看作1 ，并将1用 来代换，将分子、分母同时除以 ，可化为关于tanα的式子再求解.
1.关于sinα ，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα ， cosα的式子且它们的次数之和相等.
法① 由 可得sinα= tanα cosα ，代入齐次式计算即可.
法② 设齐次式的次数为n次，将分子分母同时除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值.
同角三角函数基本关系式的应用③
【例8】　
【1】 已知sinα-cosα= ，则sinαcosα= ；
【2】 已知sinα+cosα= ，则sinα-cosα= ；
【3】 已知sinαcosα = ，则sinα+cosα= .
同角三角函数基本关系式的应用③
sinα cosα ， sinα +cosα ， sinα –cosα
知一求二
已知sinα ± cosα，sinαcosα求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.
注意：求sinα ＋cosα， sinα –cosα的值时，要根据角的范围，判断出它们的符号.
1+2sin αcos α
(sinα＋cosα)2＝
(sinα - cosα)2＝
1-2sin αcos α
同角三角函数基本关系式的应用③
sin2α＋cos2α＝1
(sinα＋cosα)2+(sinα - cosα)2＝
(sinα - cosα)2＝
(sinα＋cosα)2-4sin αcos α
2
常用三角恒等式：
达标检测一：
【1】 已知sinα= ，且α为第二象限角，求cosα ， tanα；
【2】 已知sinα- cosα= ，求sinα cosα；
【3】 已知tanα=3，求下列各式的值.
① ；
② ；
③ .
小结：
1.同角三角函数的基本关系
平方关系:
商数关系:
4. sinα cosα ， sinα +cosα ， sinα –cosα知一求二
2. sinα，cosα ，tanα知一求二
5.注意分象限讨论符号
3. 已知tanα，求关于sinα，cosα的齐次式
联立 和 求解.
n次齐次式的分子分母同时除以cosα的n次幂.
利用三角恒等式进行整体代换.
作业布置：
1.课本185页练习11、12, 186页练习15
3.预习诱导公式
2.复习同角三角函数的基本关系的应用；
总结相关内容和方法
感谢您的聆听