14.2.1 平方差公式 课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
14.2.1 平方差公式
人教版八年级上册
知识回顾
1.单项式乘以多项式法则：
p(a+b+c)=pa+pb+pc (p，a，b，c都是单项式).
2.多项式乘以多项式法则：
(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq (a，b，p，q分别是单项式).
教学目标
1.了解并掌握平方差公式.
2.理解平方差公式的推导过程，并会应用平方差公式进行计算.
新知导入
计算下列多项式的积：
(1) (x+1)(x-1)=_____________=_______；
(2) (m+2)(m-2)=__________________=_________；
(3) (2x+1)(2x-1)=__________________=________.
x·x-x+x-1
x2 -1
m·m-2m+2m-4
m2 -4
= m2 -22
2x·2x-2x+2x-1
4x2 -1
=(2x)2 -12
观察计算结果，你能发现什么规律？
=x2 -12
猜想：(a+b)(a-b)= .
a2 -b2
如何证明这个等式呢？
知识点 1
平方差公式
新知探究
(1) 用多项式乘法证明
(a+b)(a-b)=
a2
-ab
+ab
-b2
=a2-b2.
新知探究
(2) 借助几何图形证明
图中有两个边长分别为a，b的正方形，两个正方形的面积之差可以表示为a2- b2.
b
a
新知探究
(2) 借助几何图形证明
b
a
将图中右下方的长方形移动位置后，拼得一个长为(a+b)，宽为(a-b)的长方形，其面积为(a+b)(a-b).
a-b
b
(a+b)(a-b)=a2-b2.
特点：(1) 等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同（如a），另一项互为相反数（如b）；
(2) 等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.
新知探究
平方差公式：
(a+b)(a-b)=a2-b2.
两个数的和
两个数的差
积
平方差
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
新知探究
(a+b)(a b)=
a2 b2
根据平方差公式，计算下面两个算式
公式变形:
1.(a – b ) ( a + b) =
2.(b + a )( –b + a ) =
平方差公式：
a2 – b2
a2 – b2
新知探究
a
b
a2–b2
1
x
–3
a
12–x2
(–3)2–a2
a
1
a2–12
0.3x
1
( 0.3x)2–12
(a–b)(a+b)
(0.3x–1)(1+0.3x)
(1+a)(–1+a)
(–3+a)(–3–a)
(1+x)(1–x)
填空：
新知探究
(1)(–a+b)(a+b)=_________.
(2)(a–b)(b+a)= __________.
(3)(–a–b)(–a+b)= ________.
(4)(a–b)(–a–b)= _________.
a2–b2
a2–b2
b2–a2
b2–a2
公式变形记
你是火眼金睛？还是眼冒金星？
新知典例
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x+2)(3x-2)； (2) (-x+2y)(-x-2y) .
解：(1) (3x+2)(3x-2)
=(3x)2-22
=9x2-4.
(2) (-x+2y)(-x-2y)
=(-x)2-(2y)2
=x2-4y2 .
分析：(1) 3x相当于 ，2相当于 .
(2) -x相当于 ，2y相当于 .
a
b
a
b
新知练习
1. 利用平方差公式计算：
(1)(3x–5)(3x＋5)； (2)(–2a–b)(b–2a)；
(3)(–7m＋8n)(–8n–7m)．
解：(1)原式=(3x)2–52＝9x2–25；
(2)原式=(–2a)2–b2＝4a2–b2；
(3)原式=(–7m)2–(8n)2＝49m2–64n2；
新知典例
例2 计算:
(1) 102×98; (2) (y+2) (y–2) – (y–1) (y+5) .
= 1002–22
解: (1) 102×98
=10000 – 4
=(100＋2)(100–2)
=9996；
= y2–4–y2–4y+5
(2)(y+2)(y–2)– (y–1)(y+5)
= y2–22–(y2+4y–5)
= – 4y + 1.
通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.
新知练习
(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x–4)–(2x+3)(3x–2) .
解: (1) 原式=(50＋1)(50–1)
= 502–12
=2500 – 1
=2499；
(2) 原式=(3x)2–42–(6x2+5x–6)
= 9x2–16–6x2–5x+6
= 3x2–5x–10.
2. 计算:
新知小结
平方差公式的变化及应用
变化形式 应用举例
位置变化
符号变化
系数变化
指数变化
增项变化
连用公式变化
(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2
(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2
(3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2
(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4
(a-b+c)(a-b-c)=(a-b)2-c2
(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4
新知小结
注意：(1) 平方差公式的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式，只要符合这个公式的结构特征就可以运用这个公式；
(2) 在运用公式时，要分清楚哪个相当于公式中的a，哪个相当于公式中的b，抓住符号相同和相反这个特点，不要混淆.
(a+b)(a b)=
a2 b2
新知典例
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)，其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2)
原式＝5×12–5×22＝–15.
＝4x2–y2–4y2＋x2
＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时，
新知练习
3. 先化简,再求值: (3–x)(3+x)+(x+1)(x–1),其中x=2.
解：(3–x)(3+x)+2(x+1)(x–1)
=9–x2+2(x2–1)
=9–x2+2x2–2
=7+x2
当x=2时，
原式=7+22 =7+4=11
新知典例
例4 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
即(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值是10的倍数．
解：原式＝9n2–1–(9–n2)
＝10n2–10.
∵(10n2–10)÷10=n2–1.
n为正整数，
∴n2–1为整数
小结：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
新知练习
4. 如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正整数)，证明两个连续整数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2
=[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)]
=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)
=4n×2
=8n
因为8n是8的倍数，所以结论成立.
新知典例
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
∵a2＞a2–16，
解：李大妈吃亏了．
理由：原正方形的面积为a2，
改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16，
∴李大妈吃亏了．
小结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．
新知练习
5. 如图1,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的正方形(a>b ),把余下的部分剪成一个矩形(如图2).通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,这个等式是( )
A. a2–b2 = (a+b) (a–b)
B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. (a–b)2=a2–2ab+b2
D. (a+2b)(a–b)=a2+ab–2b2
b
a
图1
b
a
图2
A
课堂练习
1. 下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　)
A．(x＋y)(x＋y) B．(–x＋y)(x–y)
C．(–x–y)(y–x) D．(x＋y)(–x–y)
C
2. 计算(2x+1)(2x–1)等于(　　)
A．4x2–1 B．2x2–1 C．4x–1 D．4x2+1
A
3. 两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．
10
课堂练习
(1)(a+3b)(a– 3b)；
=4a2–9；
=4x4–y2.
原式=(2a+3)(2a–3)
=a2–9b2 ；
=(2a)2–32
原式=(–2x2 )2–y2
原式=(a)2–(3b)2
(2)(3+2a)(–3+2a)；
(3)(–2x2–y)(–2x2+y).
4. 利用平方差公式计算：
解:
解:
解:
课堂练习
5. 计算： 20152 – 2014×2016.
解：
20152 – 2014×2016
= 20152 – (2015–1)(2015+1)
= 20152
– (20152–12 )
= 20152
– 20152+12
=1
课堂练习
6.先化简，再求值：(x＋1)(x–1)＋x2(1–x)＋x3，其中x＝2.
解：原式=x2–1＋x2–x3＋x3
=2x2–1.
将x＝2代入上式，
原式=2×22–1=7.
课堂练习
7.计算：(-3a+1) (-3a-1) (9a2+1).
解： (-3a+1) (-3a-1) (9a2+1)
= [(-3a)2-1][(3a)2+1]
=[(3a)2-1] [(3a)2+1]
=(3a)4-1
=81a4-1.
课堂总结
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
1.符号表示：(a+b)(a–b)=a2–b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用.
谢谢
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