专题24.1 圆的相关概念
【教学目标】
圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解。
【教学重难点】
圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系。
【知识亮解】
知识点一、圆
（1）圆的定义
1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
点拨：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。
（2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。
（3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆
的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。
（2）点和圆的位置关系
点和圆的位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示
文字语言 符号语言
点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内
点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上
点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外
点拨：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。
符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。
亮题一、点与圆的位置关系
【例1】★如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=8，以点C为圆心，以CA为半径作⊙C，则△ABC斜边的中点D与⊙C的位置关系是（ ）
A．点D在⊙C上 B．点D在⊙C内
C．点D在⊙C外 D．不能确定
【例2】★如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=4，以C点为圆心，2为半径作⊙C，则AB的中点O与⊙C的位置关系是（ ）
A．点O在⊙C外 B．点O在⊙C上 C．点O在⊙C内 D．不能确定
【例3】★如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________．
【例4】★★平面上点P到圆周上的点的最长距离为8，最短距离为4，此圆的半径为___．
【例5】★在中，，，，以点为圆心，以长为半径作圆，试判断点和点与的位置关系．
知识点二：弦、弧、圆心角
1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．
2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重
合的弧叫做等弧．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧．
4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．
5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
6．顶点在圆心的角叫做圆心角．
名称 概念 注意 图示
弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径
直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径
弧、半圆、劣孤、优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定是半圆
等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关
等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤
亮题二、圆的旋转不变性
【例1】★如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
【例2】★以下命题：①直径相等的圆是等圆； ②长度相等弧是等弧； ③相等的弦所对的弧也相等； ④圆的对称轴是直径；其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【例3】★如图，圆心角∠AOB=25°，将弧AB旋转n°得到弧CD，则∠COD等于（ ）
A．25° B．25°+n° C．50° D．50°+n°
【例4】★将一个圆分割成三个扇形，使它们圆心角度数比为2：3：4，则这3个圆心角中度数最大的为________
【例5】★如图，A为⊙O上的一点，C为⊙O外的一点，AC交⊙O于点B，且OA=BC，∠C=24°.求∠A的度数.
亮题三、圆的弦、弧、圆心角
【例1】★下列命题中正确的有( )
①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2】★如图,圆中以A为一个端点的优弧有_____条,劣弧有_____条.
【例3】★判断：
（1）直径是弦，弦是直径（_____）
（2）半圆是圆弧（_____）
（3）长度相等的弧是等弧（_____）
（4）能够重合的弧是等弧（_____）
（5）圆弧分为优弧和劣弧（_____）
（6）优弧一定大于劣弧 （_____）
（7）半径相等的圆是等圆 （_____）
【例4】★如图，点A、B、C在⊙O上，∠ABO＝22°，∠ACO＝42°，则∠BOC等于（ ）
A．128° B．108° C．86° D．64°
【例5】★★圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半径是多少？
【例6】★★如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP的长的取值范围是 .
【例7】★★如图，在⊙O中，直径为MN，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，若AB＝1．
（1）求OD的长； （2）求⊙O的半径．
【亮点训练】
题型一、点与圆的位置关系
【变式1】★已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上
C．点P在圆外 D．不能确定
【变式2】★一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（ ）
A．2.5 cm或6.5 cm B．2.5 cm
C．6.5 cm D．5 cm或13cm
【变式3】★若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式4】★（2020·沧州市期末）已知点P在半径为5cm的圆内，则点P到圆心的距离可以是
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【变式5】★★平面内一点离上的点最近距离为，离上的点最远距离为，则的半径为（ ）
A． B．或 C． D．或
【变式6】★（2020·通辽市期末）已知在直角坐标平面内，以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，⊙P与坐标轴恰好有三个交点，那么r的取值是_____．
【变式7】★（2019合肥市期中）如图，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，BC＝4cm，以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A怎样的位置关系．
题型二、圆的旋转不变性
【变式1】★如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
【变式2】★（2020·福州市期中）如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝AD B．BE＝CD C．AC＝BD D．BE＝AD
【变式3】★如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若的度数为50°，则∠ADC的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
【变式4】★把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
【变式5】★如图所示，在⊙O中，若点C是的中点，∠A=45°，则∠BOC=________.
【变式6】★在半径为R的⊙O中，有一条弦等于半径，则弦所对的圆心角为________.
【变式7】★★（2019·芜湖市期末）如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.
求证：⑴； ⑵.
题型三、圆的弦、弧、圆心角
【变式1】★（2019·北海市期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．弦是直径 B．半圆是弧
C．过圆心的线段是直径 D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆
【变式2】★（2020·天津市期末）已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为( )cm．
A．2 B．4 C．8 D．16
【变式3】★（2019·扬州市期中）下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆 D．半径相等的两个半圆是等弧
【变式4】★（2019·十堰市期末）有下列四种说法：
①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．错误的说法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【变式5】★（2020·黄石市期末）如图，在中，，则劣弧的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式6】★（2018·长治市期末）如图，是内两条互相垂直的直径，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式7】★（2019·和平区期中）如图，是圆的弦，若，则的大小为_____度．
【变式8】★已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上的一个动点，则OP的取值范围是_______．
【变式9】★（2018·江北区期末）如图，在⊙O中，AB为弦，C、D在AB上，且AC=BD，请问图中有几个等腰三角形？把它们分别写出来，并说明理由．
【变式10】★（2019秋 金湖县期末）长度等于6的弦所对的圆心角是90°，则该圆半径为 ．
【变式11】★（2019秋 大丰区期中）如图，在⊙O中，，∠1＝30°，的度数为 ．
【变式12】★（2018秋 宁津县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求弧AD所对的圆心角的度数 ．
【变式13】★★（2019秋 宿豫区期中）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．
（1）如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数；
（2）如图2，若AB＝CD，求证：AE＝DE．
【亮点检测】
1．⊙O的直径为8cm，点A到圆心O的距离OA＝6cm，则点A与⊙O的位置关系为（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定
2．如图，小明顺着大半圆从地到地，小红顺着两个小半圆从地到地，设小明，小红走过的路程分别为，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．已知⊙O的半径为4cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P（ ）
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定
4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则（ ）
A．点A在⊙O上
B．点A在⊙O内
C．点A在⊙O外
D．点A与⊙O的位置关系无法确定
5．如图，在中，半径有________，直径有________，弦有________，劣弧有________，优弧有________．
6．在中，半径为5，、为上的点，为，则弦长________．
7． ，是半径为3的上两个不同的点，则弦的取值范围是________．
8．点P(4，-3)与圆心在原点O，半径为5的⊙O的位置关系是___
9．⊙O内一点P到⊙O上的最近点的距离为2，最远点的距离为4，则⊙O的半径为 ___．
10．如图，中，，以点为圆心，为半径的圆交于，交于点，，则______．
11．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，
则有：
d＜r ＜＝＞点P在___________
d＝r＜＝＞点P在___________
d＞r ＜＝＞点P在_____________
符号“＜＝＞”读作“ _______”，“A＜＝＞B”表示由A条件可推出结论B，B结论可推出条件A．
12．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于_____．
13．画出由所有到已知点O的距离大于或等于．并且小于或等于的点组成的图形．
14．已知点P、Q，且PQ＝4cm，
（1）画出下列图形：到点P的距离等于2cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合．
（2）在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来．
15．如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)、B(4，4)、C(6，2)．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）直接判断点D(5，﹣2)与⊙M的位置关系，点D(5，﹣2)在⊙M （填内、外、上）．
16．如图，、为的弦，连接、并延长分别交弦、于点E、F，．
求证：．专题24.1 圆的相关概念
【教学目标】
圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解。
【教学重难点】
圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系。
【知识亮解】
知识点一、圆
（1）圆的定义
1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
点拨：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。
（2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。
（3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆
的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。
（2）点和圆的位置关系
点和圆的位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示
文字语言 符号语言
点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内
点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上
点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外
点拨：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。
符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。
亮题一、点与圆的位置关系
【例1】★如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=8，以点C为圆心，以CA为半径作⊙C，则△ABC斜边的中点D与⊙C的位置关系是（ ）
A．点D在⊙C上 B．点D在⊙C内
C．点D在⊙C外 D．不能确定
【答案】B
【解析】根据勾股定理，由△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=8，求得AB=10，然后根据直角三角形的的性质，斜边上的中线等于斜边长的一半，即CD=5＜AC=6，所以点D在在⊙C内.故选B.
【例2】★如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=4，以C点为圆心，2为半径作⊙C，则AB的中点O与⊙C的位置关系是（ ）
A．点O在⊙C外 B．点O在⊙C上 C．点O在⊙C内 D．不能确定
【答案】B
【分析】连接OC，根据OC的长与半径的长进行比较可得答案.
【解析】连接OC，由直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，可得：OC==2=r，故点O在⊙C上,故选B.
【例3】★如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________．
【答案】.
【解析】根据勾股定理可求得BD=5，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,点A与点D的距离最近，点A应该在圆内，所以r>3，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆外，点B与点D的距离最远，点B应该在圆外，所以r<5，所以r的取值范围是。
【例4】★★平面上点P到圆周上的点的最长距离为8，最短距离为4，此圆的半径为___．
【答案】2或6
【分析】根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径，此题点的位置不确定所以要分类讨论．
【详解】①当点在圆外时，∵圆外一点和圆周的最短距离为4，最长距离为8，∴圆的直径为8﹣4＝4，∴该圆的半径是2；
②当点在圆内时，∵点到圆周的最短距离为4，最长距离为8，∴圆的直径＝8+4＝12，∴圆的半径为6，
故答案为2或6．
【例5】★在中，，，，以点为圆心，以长为半径作圆，试判断点和点与的位置关系．
【答案】点在圆外．
【分析】答题时主要判断C,B两点到圆心A的距离,然后判断C,B两点和A的位置关系.
【详解】∵ ，，，∴ ；
∵ ，∴点在圆内，∵ ，∴ 点在圆外．
知识点二：弦、弧、圆心角
1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．
2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重
合的弧叫做等弧．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧．
4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．
5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
6．顶点在圆心的角叫做圆心角．
名称 概念 注意 图示
弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径
直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径
弧、半圆、劣孤、优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定是半圆
等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关
等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤
亮题二、圆的旋转不变性
【例1】★如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
【答案】A
【解析】如图，在⊙ O中，
∵，∴∠BOC=∠COE=∠DOE=34°，
∵AB是⊙ O的直径，∴∠BOC+∠COE+∠DOE+∠AOE=180°，
∴∠AOE=180°-34°-34°-34°=78°，
∵OA=OE，∴∠AEO=∠A=。 故选A.
【例2】★以下命题：①直径相等的圆是等圆； ②长度相等弧是等弧； ③相等的弦所对的弧也相等； ④圆的对称轴是直径；其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】①直径相等的圆是等圆，符合等圆的性质，故本小题正确；
②长度相等弧不一定是等弧，故本小题错误；
③在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，故本小题错误；
④圆的对称轴是直径所在的直线，故本小题错误． 故选D．
【例3】★如图，圆心角∠AOB=25°，将弧AB旋转n°得到弧CD，则∠COD等于（ ）
A．25° B．25°+n° C．50° D．50°+n°
【答案】A
【解析】试题解析：∵将旋转n°得到，∴=，∴∠DOC=∠AOB=25°故选A．
【例4】★将一个圆分割成三个扇形，使它们圆心角度数比为2：3：4，则这3个圆心角中度数最大的为________
【答案】160°
【解析】将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的和为360°，再由三个圆心角的度数比为2：3：4，可求出最大的圆心角度数：360°×=160°．故答案是：160°．
【例5】★如图，A为⊙O上的一点，C为⊙O外的一点，AC交⊙O于点B，且OA=BC，∠C=24°.求∠A的度数.
【答案】48°
【解析】连接OB，则OA=OB
∵OA=BC，∴OB=BC， ∴∠C=∠BOC=24°，
∴∠A=∠OBA=∠C+∠BOC=24°+24°=48°。
亮题三、圆的弦、弧、圆心角
【例1】★下列命题中正确的有( )
①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】①弦是圆上任意两点之间的连线段，所以①错误；②半径不是弦，所以②错误；
③直径是最长的弦，正确；④弧是半圆，只有180°的弧才是半圆，所以④错误，故选A．
【例2】★如图,圆中以A为一个端点的优弧有_____条,劣弧有_____条.
【答案】3 3
【解析】根据优弧、劣弧的概念，优弧有：，共3条；劣弧有：，共3条.
故答案为：3；3.
【例3】★判断：
（1）直径是弦，弦是直径（_____）
（2）半圆是圆弧（_____）
（3）长度相等的弧是等弧（_____）
（4）能够重合的弧是等弧（_____）
（5）圆弧分为优弧和劣弧（_____）
（6）优弧一定大于劣弧 （_____）
（7）半径相等的圆是等圆 （_____）
【答案】 × √ × × × × √
【详解】（1）直径是弦，弦不一定是是直径，故错误；
（2）半圆是圆弧，正确；
（3）能完全重合的弧是等弧，故错误；
（4）能够完全重合的弧是等弧，故错误；
（5）圆弧分为优弧和劣弧和半圆，故错误；
（6）同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故错误；
（7）半径相等的圆是等圆，正确.
【例4】★如图，点A、B、C在⊙O上，∠ABO＝22°，∠ACO＝42°，则∠BOC等于（ ）
A．128° B．108° C．86° D．64°
【答案】A
【分析】先过A作⊙O的直径，交⊙O于D，将∠BOC分为两个角，利用圆的半径相等及外角定理求出每个角的度数，相加即可得到∠BOC的度数.
【解析】过A作⊙O的直径，交⊙O于D；
在△OAB中，OA＝OB，则∠BOD＝∠ABO+∠OAB＝2×22°＝44°，
同理可得：∠COD＝∠ACO+∠OAC＝2×42°＝84°，
故∠BOC＝∠BOD+∠COD＝128°。故选：A．
【例5】★★圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半径是多少？
【解析】如图所示,分两种情况:
（1）当点P为圆O内一点（如图1），过点P作圆O的直径，分别交圆O于A、B两点，由题意可得P到圆O最大距离为10，最小距离为2，则AP=2，BP=10，所以圆O的半径为.
图1 图2
（2）当点P在圆外时（如图2），作直线OP，分别交圆O于A、B，由题可得P到圆O最大距离为10，最小距离为2，则BP=10，AP=2，所以圆O的半径。综上所述，所求圆的半径为6或4.
【例6】★★如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP的长的取值范围是 .
【答案】3≤OP≤5.
【解析】OP最长边应是半径长，为5；根据垂线段最短，可得到当OP⊥AB时，OP最短．
∵直径为10，弦AB=8，∴∠OPA=90°，OA=5，由圆的对称性得AP=4，由勾股定理的OP=，
∴OP最短为3，∴OP的长的取值范围是3≤OP≤5.
【例7】★★如图，在⊙O中，直径为MN，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，若AB＝1．
（1）求OD的长； （2）求⊙O的半径．
【分析】（1）由四边形ABCD 为正方形，得DC＝BC＝AB＝1，则∠DCO＝∠ABC＝90°，又∠DCO＝45°，CO＝DC＝1，求出OD；
（2）连接OA，构造直角三角形，求出AB和BO的长，然后利用勾股定理即可求出圆的半径．
【解答】（1）如图，∵四边形ABCD 为正方形，∴DC＝BC＝AB＝1，∠DCO＝∠ABC＝90°，
∵∠DCO＝45°，∴CO＝DC＝1，∴ODCO；
BO＝BC+CO＝BC+CD1+1＝2，连接AO，则△ABO 为直角三角形，
于是 AO，即⊙O的半径为．
【亮点训练】
题型一、点与圆的位置关系
【变式1】★已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上
C．点P在圆外 D．不能确定
【答案】A
【解析】根据点与圆的位置关系OP【变式2】★一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（ ）
A．2.5 cm或6.5 cm B．2.5 cm
C．6.5 cm D．5 cm或13cm
【答案】A
【分析】点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解．
【解析】当点P在圆内时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是13cm，因而半径是6.5cm；
当点P在圆外时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是5cm，因而半径是2.5cm．
【变式3】★若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】点在圆内，点到圆心的距离小于半径．故选A．
【变式4】★（2020·沧州市期末）已知点P在半径为5cm的圆内，则点P到圆心的距离可以是
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【答案】A
【解析】点P在半径为5cm的圆内，点P到圆心的距离小于5cm，所以只有选项A符合，选项B、C、D都不符合；故选：A．
【变式5】★★平面内一点离上的点最近距离为，离上的点最远距离为，则的半径为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【分析】本题应分为两种情况来讨论，关键是得出：当点P在⊙O内时，直径=最近点的距离+最远点的距离；当点P在⊙O外时，直径=最远点的距离-最近点的距离．
【解析】点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：
①如图，当点在圆内时，最近点的距离为，最远点的距离为，
则直径是，∴半径是；
②如图，当点在圆外时，最近点的距离为，最远点的距离为，
则直径是，∴半径是．故选．
【变式6】★（2020·通辽市期末）已知在直角坐标平面内，以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，⊙P与坐标轴恰好有三个交点，那么r的取值是_____．
【答案】2或
【解析】∵以点P(1,2)为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，
∴⊙P与x轴相切(如图1)或⊙P过原点(如图2)，
当⊙P与x轴相切时，r=2；
当⊙P过原点时，，∴r=2或，故答案为2或.
【变式7】★（2019合肥市期中）如图，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，BC＝4cm，以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A怎样的位置关系．
【答案】点B在⊙A内，点D在⊙A上，点C在⊙A外．
连接AC，
∵AB＝3cm，BC＝AD＝4cm，∴AC＝5cm，∴点B在⊙A内，点D在⊙A上，点C在⊙A外．
题型二、圆的旋转不变性
【变式1】★如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
【答案】C
【解析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．
∵在⊙O中， = ，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=40°，∴∠AOC=40°，∴∠ADC=∠AOC=20°，
【变式2】★（2020·福州市期中）如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝AD B．BE＝CD C．AC＝BD D．BE＝AD
【答案】C
【详解】连接BC，
∵，∴，∴，∴AC=BD，故选C．
【变式3】★如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若的度数为50°，则∠ADC的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
【答案】B
【解析】∵的度数为50°，∴∠BOC=50°，∵半径OC⊥AB，∴，∴∠ADC=∠BOC=25°．故选B．
【变式4】★把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
【答案】C
【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．
【解析】如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO=BO，AB∥DC，可得∠EBO=30°，
故∠BOD=30°，则∠BOC=150°，故的度数是150°．
【变式5】★如图所示，在⊙O中，若点C是的中点，∠A=45°，则∠BOC=________.
【答案】45°.
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据垂径定理求出AD=BD，根据等腰三角形性质得出∠BOC=∠AOB，代入求出即可
【解析】∵∠A=45°，OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=45°，∴∠AOB=180°-45°-45°=90°，
∵点C是弧AB的中点，∴∠BOC=∠AOB=45°。故答案为：45°.
【变式6】★在半径为R的⊙O中，有一条弦等于半径，则弦所对的圆心角为________.
【答案】60°
【解析】如图，AB=OA=OB，所以△ABC为等边三角形，所以∠AOB=60°．故答案为60°．
【变式7】★★（2019·芜湖市期末）如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.
求证：⑴； ⑵.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）由AB=CD知，即，据此可得答案；
（2）由知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
【解析】（1）∵AB=CD，∴，即，∴；
（2）∵，∴AD=BC，又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE=CE．
题型三、圆的弦、弧、圆心角
【变式1】★（2019·北海市期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．弦是直径 B．半圆是弧
C．过圆心的线段是直径 D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆
【答案】B
【解析】过圆心的弦是直径，不是所有的弦都是直径，故A选项错误；圆上任意两点间的部分是弧，故半圆是弧，故B正确；过圆心的弦是直径，故C选项错误；圆心相同，半径不等的两个圆是同心圆，故D错误，故选B.
【变式2】★（2020·天津市期末）已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为( )cm．
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．
【解析】∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，∴⊙O的半径为4cm．故选B.
【变式3】★（2019·扬州市期中）下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆 D．半径相等的两个半圆是等弧
【答案】B
【解析】A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；
B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；
C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；
D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确．故选B．
【变式4】★（2019·十堰市期末）有下列四种说法：
①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．错误的说法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】B
【分析】根据弦的定义、弧的定义、以及确定圆的条件即可解决．
【解析】圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；
直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；
弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；
④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．
其中错误说法的是①③两个．故选B．
【变式5】★（2020·黄石市期末）如图，在中，，则劣弧的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接OA，∵OA=OB，∠B=37°，∴∠A=∠B=37°，∠O=180°-2∠B=106°．故选：A
【变式6】★（2018·长治市期末）如图，是内两条互相垂直的直径，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直径的定义与等腰三角形的性质即可求解．
【解析】∵是内两条互相垂直的直径，∴AC⊥BD，
又OB=OC，∴==，故选C．
【变式7】★（2019·和平区期中）如图，是圆的弦，若，则的大小为_____度．
【答案】110
【分析】由半径相等可求得∠A=∠B，在△OAB中利用三角形内角和定理可求得答案．
【解析】∵AB是O的弦，∴OA=OB，∴ ∴ 故答案为110.
【变式8】★已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上的一个动点，则OP的取值范围是_______．
【答案】 OP最大为半径，最小为O到AB的距离．所以5≤OP≤13.
【变式9】★（2018·江北区期末）如图，在⊙O中，AB为弦，C、D在AB上，且AC=BD，请问图中有几个等腰三角形？把它们分别写出来，并说明理由．
【答案】等腰三角形有：△OAB、△OCD．
【分析】图中等腰三角形有两个，圆中半径处处相等，所以△OAB是等腰三角形，根据所给的已知条件，易证△OAC≌△OBD，根据全等三角形的性质，OC=OD，所以△OCD也是等腰三角形．
【解析】等腰三角形有：△OAB、△OCD．
证明：∵OA=OB（同圆半径相等），∴△OAB是等腰三角形，∴∠A=∠B，又∵AC=BD，OA=OB，∴△OAC≌△OBD，
∴OC=OD，∴△OCD是等腰三角形．
【变式10】★（2019秋 金湖县期末）长度等于6的弦所对的圆心角是90°，则该圆半径为 ．
【分析】由45度角直角三角形边角关系解答即可．
【解答】如图AB＝6，∠AOB＝90°，
∵OA＝OB，∴OA＝OB6，故答案为6．
【点评】本题考查了特殊直角三角形边角关系，熟练掌握45度角直角三角形边角关系是解题的关键．
【变式11】★（2019秋 大丰区期中）如图，在⊙O中，，∠1＝30°，的度数为 ．
【分析】根据圆心角的性质和等式的性质解答即可．
【解析】∵在⊙O中，，∴∠AOC＝∠BOD，∴∠1+∠BOC＝∠2+∠BOC，
∴∠1＝∠2＝30°，∴的度数为30°，故答案为：30°
【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据圆心角的性质和等式的性质解答．
【变式12】★（2018秋 宁津县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求弧AD所对的圆心角的度数 ．
【分析】连接OD，由直角三角形的性质得出∠A＝54°，由等腰三角形的性质得出∠ODA＝∠A＝54°，由三角形内角和定理求出∠ACD即可．
【解析】连接CD，如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠B＝36°，∴∠A＝90°﹣∠A＝54°，
∵CA＝CD，∴∠CDA＝∠A＝54°，∴∠ACD＝180°﹣54°﹣54°＝72°； 故答案为：72°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、直角三角形的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握直角三角形的性质，由等腰三角形的性质求出∠1ACD是解决问题的关键．
【变式13】★★（2019秋 宿豫区期中）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．
（1）如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数；
（2）如图2，若AB＝CD，求证：AE＝DE．
【分析】（1）连接AC．根据弧AD为120°，弧BC为50°，可得到∠ACD＝60°，∠BAC＝25°，根据∠ACD＝∠BAC+∠E，得出∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°；
（2）连接AD．由AB＝CD，得到弧AB＝弧CD，推出弧AC＝弧BD，所以∠ADC＝∠DAB，因此AE＝DE．
【解析】（1）连接AC．
∵弧AD为120°，弧BC为50°，∴∠ACD＝60°，∠BAC＝25°，
∵∠ACD＝∠BAC+∠E，∴∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°；
（2）证明：连接AD．
∵AB＝CD，∴弧AB＝弧CD，∴弧AC＝弧BD，∴∠ADC＝∠DAB，∴AE＝DE．
【点评】本题考查了圆的相关计算与证明，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的关键。
【亮点检测】
1．⊙O的直径为8cm，点A到圆心O的距离OA＝6cm，则点A与⊙O的位置关系为（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定
【答案】C
【分析】
根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】
解：∵⊙O的直径为8cm，
∴⊙O的半径为4cm，
∵点A到圆心O的距离OA＝6cm，且6＞4，
∴点A到圆心O的距离大于圆的半径，
∴点A在⊙O外．
故选：C．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外时，d＞r；点P在圆上时，d＝r；点P在圆内时，d＜r．反之也成立．
2．如图，小明顺着大半圆从地到地，小红顺着两个小半圆从地到地，设小明，小红走过的路程分别为，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】
根据图形，得两个小半圆的直径之和等于大半圆的直径之和，则根据圆周长公式，得二人所走的路程相等．
【详解】
解：设小明走的半圆的半径是．
则小明所走的路程是．
设小红所走的两个半圆的半径分别是与，
则，
小红所走的路程是，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆的认识，注意计算两个小半圆的直径之和是大于半圆的直径．
3．已知⊙O的半径为4cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P（ ）
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定
【答案】A
【分析】
根据点与圆的位置关系“当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外；当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内”，由此可求解．
【详解】
解：由题意得：3＜4，
∴点P在圆内；
故选A．
【点睛】
本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则（ ）
A．点A在⊙O上
B．点A在⊙O内
C．点A在⊙O外
D．点A与⊙O的位置关系无法确定
【答案】A
【分析】
先求出点A到圆心O的距离，再根据点与圆的位置依据判断可得．
【详解】
解：∵点A（4，3）到圆心O的距离，
∴OA＝r＝5，
∴点A在⊙O上，
故选：A．
【点睛】
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内，也考查了勾股定理的应用．
5．如图，在中，半径有________，直径有________，弦有________，劣弧有________，优弧有________．
【答案】，，， ， ，，，， ，，，，
【分析】
根据圆的基本概念，即可求解．
【详解】
解：在中，半径有，，，；直径有；弦有，；劣弧有，，，，；优弧有，，，，；
故答案为：，，，；；，；，，，，；，，，，．
【点睛】
本题主要考查了圆的基本概念，熟练掌握圆的半径、直径、弦、弧的概念是解题的关键．
6．在中，半径为5，、为上的点，为，则弦长________．
【答案】5
【分析】
由ОA=OB，△OAB为等边三角形，即可求解．
【详解】
解：如图，
∵OA=OB=5，∠AOB=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握同圆或等圆的半径相等是解题的关键．
7． ，是半径为3的上两个不同的点，则弦的取值范围是________．
【答案】
【分析】
根据直径是圆的最长的弦，即可求解．
【详解】
解：∵的半径为3，
∴的直径为6，
∴的最长弦为6，
∵ ，是上两个不同的点，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了圆的基本性质，理解直径是圆的最长的弦是解题的关键．
8．点P(4，-3)与圆心在原点O，半径为5的⊙O的位置关系是___
【答案】点P在圆上
【分析】
先根据两点间的距离公式求出OP的长，进而可得出结论．
【详解】
解：∵圆心在原点O，点P（4，-3），
∴OP==5，
∴OP=r=5，
∴点P在⊙O上．
故答案为：点P在圆上．
【点睛】
本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的种位置关系是解答此题的关键．
9．⊙O内一点P到⊙O上的最近点的距离为2，最远点的距离为4，则⊙O的半径为 ___．
【答案】3
【分析】
根据直径＝最近点的距离＋最远点的距离，即可求解．
【详解】
解：当点在定圆内时，最近点的距离为2，最远点的距离为4，则直径是6，
因而半径是3；
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，理解点与定圆上最近点的距离、最远点的距离与直径的关系是解决本题的关键．
10．如图，中，，以点为圆心，为半径的圆交于，交于点，，则______．
【答案】20°．
【分析】
由半径相等得CB=CD，则∠B=∠CDB，在根据三角形内角和计算出∠B=（180°-∠BCD）=70°，然后利用互余计算∠A的度数．
【详解】
解：∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB，
∵∠B+∠CDB+∠BCD=180°，
∴∠B=（180°-∠BCD）=（180°-40°）=70°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A=90°-∠B=20°．
故答案为20°．
【点睛】
本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了三角形内角和定理．
11．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，
则有：
d＜r ＜＝＞点P在___________
d＝r＜＝＞点P在___________
d＞r ＜＝＞点P在_____________
符号“＜＝＞”读作“ _______”，“A＜＝＞B”表示由A条件可推出结论B，B结论可推出条件A．
【答案】⊙O内 ⊙O上 ⊙O外 等价于
12．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于_____．
【答案】9π．
【分析】
根据勾股定理和圆的面积公式，可以得到S1+S2的值，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵S1＝π（）2×，S2＝π（）2×，S3＝π（）2×，
∴S1+S2＝π（）2×+π（）2×＝π（）2×＝S3，
∵S3＝9π，
∴S1+S2＝9π，
故答案为：9π．
【点睛】
本题考查勾股定理，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答．
13．画出由所有到已知点O的距离大于或等于．并且小于或等于的点组成的图形．
【答案】见解析
【分析】
作出以O为圆心、2cm和3cm为半径的圆环即可．
【详解】
解：如图所示的阴影部分．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系（点在圆内、点在圆上、点在圆外），解题时注意圆的集合定义的应用，难度不大．假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：d＜r点在圆内，d=r点在圆上，d＞r点在圆外．
14．已知点P、Q，且PQ＝4cm，
（1）画出下列图形：到点P的距离等于2cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合．
（2）在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来．
【答案】(1)见解析；(2)见解析.
【分析】
根据圆的定义即可解决问题；
【详解】
解：（1）到点P的距离等于2cm的点的集合图中⊙P；到点Q的距离等于3cm的点的集合图中⊙Q．
（2）到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有2个，图中C、D．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理及圆的集合定义，就是到定点的距离等于定长的点的集合．
15．如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)、B(4，4)、C(6，2)．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）直接判断点D(5，﹣2)与⊙M的位置关系，点D(5，﹣2)在⊙M （填内、外、上）．
【答案】（1）（2，0）；（2）；（3）内
【分析】
（1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，从而得到点的坐标；
（2）利用两点间的距离公式计算出即可；
（3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系．
【详解】
解：（1）如图，圆心的坐标为；
（2），，
，
即的半径为；
（3），，
，
，
点在内．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和点与圆的位置关系．
16．如图，、为的弦，连接、并延长分别交弦、于点E、F，．
求证：．
【答案】见解析
【分析】
根据圆的性质，半径相等和对顶角相等、题目条件，证明三角形，得对应边相等，然后同时加上半径即可证明．
【详解】
解：证明：∵，是的半径，
∴．
又∵，，
∴（）．
∴．
∵，，
∴．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理与性质，解题的关键是：掌握三角形全等的判定定理与性质，通过等量代换即可证明．
