第03课 三角形的内角和及多边形内外角和
课程标准 课标解读
1．会用不同的方法证明三角形的内角和定理． 2．能应用三角形内角和定理解决一些简单的问题． 1.掌握三角形内角和定理的应用． 2.掌握三角形内角和定理的证明．
知识点01 三角形的内角
（1）定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的内角.
（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°
定理证明：三角形内角和是180°；
证明：如图，延长BC到D，过点C作CE∥AB，
∵CE∥AB,
∴（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等）
∵,
∴,
∴（等量代换）；
（3）三角形内角和定理的作用：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数；
③求一个三角形中各角之间的关系.
知识点02 三角形的外角
（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 三角形的外角和为360°.
（2）特点：
①外角的顶点在三角形的一个顶点上；
②外角的一条边是三角形的一边；
③外角的另一条边是三角形某条边的反向延长线.
（3）性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
②三角形的一个外角大于（大于，等于或小于）与它不相邻的任何一个内角.
知识点03 多边形
（一）多边形的定义：
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形；
注意：
各个角都相等、各条边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可.
如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.
（二）多边形的对角线：
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
从边形的一个顶点出发，可以画(n-3)条对角线，边形一共有条对角线.
（三）多边形的内角和公式：
边形的内角和为；
内角和公式的应用：
（1）已知多边形的边数，求其内角和；
（2）已知多边形内角和，求其边数.
（四）多边形的外角和定理：
多边形的外角和等于360°.
外角和定理的应用：
（1）已知外角度数，求正多边形边数；
（2）已知正多边形边数，求外角度数.知识点
知识点04 镶嵌
（一）平面镶嵌的定义：
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.
（二）镶嵌的条件：
当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形.
考法01 三角形的内角与外角
【典例1】若三角形的一个角是另一个角的6倍，而这两个角的和比第三个角大44°，则此三角形的最大角是______.
【答案】96°.
设这个三角形其中一个内角的度数为x，则另一个角的度数为6x，第三个内角的度数为180°-x-6x=180°-7x，根据题意可得x+6x-(180°-7x)=44°，
解得x=16°，
则6x=6×16°=96°，180°-7x=180°-7×16°=68°，
所以此三角形的最大角是96°.
故填：96°.
【典例2】如图，∠1，∠2，∠3的大小关系是_____．
【答案】∠1＜∠2＜∠3
【分析】
根据三角形外角的性质判断出∠1与∠2的大小，再判断出∠2与∠3的大小即可．
【详解】
解：如图，∵∠2是△ABD的外角，∴∠2＞∠1，
同理，∵∠3是△BCD的外角，∴∠3＞∠2，
∴∠1＜∠2＜∠3．
故答案为∠1＜∠2＜∠3．
【点睛】
本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角大于任何一个与之不相邻的内角．
【典例3】如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平行线的性质解答即可．
【详解】
解：，
，
，
，
故选B．
【点睛】
本题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．
考法02 多边形内外交和及镶嵌
【典例4】已知一个多边形的内角和等于900 ，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】C
【详解】
试题分析：多边形的内角和公式为（n－2）×180°，根据题意可得：（n－2）×180°=900°，解得：n=7．
考点：多边形的内角和定理．
【典例5】已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ).
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【分析】
利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．
【详解】
解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．
题组A 基础过关练
1．在△ABC中，6∠A=3∠B=2∠C，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】B
【分析】
设∠C=x，则∠B=x，∠A=x，再根据三角形内角和定理列方程求出x的值即可．
【详解】
解：∵在△ABC中，6∠A=3∠B=2∠C，
∴设∠C=x，则∠B=x，∠A=x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
即x+x+x=180°，
解得x=90°，
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°．
∴△ABC是直角三角形，
故选B．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（ ）
A．15° B．55° C．65° D．75°
【答案】D
【分析】
根据邻补角定义可得∠ADE=15°，由平行线的性质可得∠A=∠ADE=15°，再根据三角形内角和定理即可求得∠B=75°．
【详解】
解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°，
∵DE∥AB，∴∠A=∠ADE=15°，
∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°，
故选D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．
3．正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，则_________．
【答案】12
【分析】
先根据外角和定理求出正六边形的外角为60°，进而得到其内角为120°，再求出正n边形的外角为30°，再根据外角和定理即可求解．
【详解】
解：由多边形的外角和定理可知，正六边形的外角为：360°÷6=60°，
故正六边形的内角为180°-60°=120°，
又正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，
∴正n边形的外角为30°，
∴正n边形的边数为：360°÷30°=12．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了正多边形的外角与内角的知识，熟练掌握正多边形的内角和和外角和定理是解决此类题目的关键．
4．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（ ）．
A．∠A=2∠B-3∠C B．∠A+∠B=2∠C C．∠A-∠B=30° D．∠A=∠B=∠C
【答案】D
【分析】
根据三角形内角和定理和各选项中的条件计算出△ABC的内角，然后根据直角三角形的判定方法进行判断．
【详解】
解：A、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=2∠B=3∠C，则∠A= °，所以A选项错误；
B、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A+∠B=2∠C，则∠C=60°，不能确定△ABC为直角三角形，所以B选项错误；
C、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=∠B=30°，则∠C=150°，所以B选项错误；
D、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=∠B=∠C，则∠C=90°，所以D选项正确．
故选：D．
【点睛】
此题考查三角形内角和定理，直角三角形的定义，解题关键在于掌握三角形内角和是180°．
5．如图，点D在△ABC内，且∠BDC=120°，∠1+∠2=55°，则∠A的度数为（ ）
A．50° B．60° C．65° D．75°
【答案】C
【分析】
根据三角形的内角和即可求出.
【详解】
在△BCD中，∠BDC=120°，∴∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=60°，
∵∠1+∠2=55°，∴∠ABC+∠ACB=∠1+∠2+∠DBC+∠DCB=115°，
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=65°.
故选C.
【点睛】
此题主要考查三角形的内角和，解题的关键是熟知三角形的内角和的性质.
6．正十边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
【答案】B
【分析】
根据多边的外角和定理进行选择．
【详解】
解：因为任意多边形的外角和都等于360°，
所以正十边形的外角和等于360°，．
故选B．
【点睛】
本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．
7．如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转后又沿直线前进10米到达点C，再向左转后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ ）
A．100米 B．80米 C．60米 D．40米
【答案】B
【分析】
根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可．
【详解】
解：∵小明每次都是沿直线前进10米后再向左转，
∴他走过的图形是正多边形，边数n=360°÷45°=8，
∴小明第一次回到出发点A时所走的路程=8×10=80米．
故选：B．
【点睛】
本题考查了正多边形外角问题的实际应用，根据题意判断小明走过的图形是正多边形是解题的关键．
8．若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据正多边形的外角度数求出多边形的边数，根据多边形的内角和公式即可求出多边形的内角和.
【详解】
由题意，正多边形的边数为，
其内角和为．
故选C.
【点睛】
考查多边形的内角和与外角和公式，熟练掌握公式是解题的关键.
题组B 能力提升练
1．在中，若一个内角等于另外两个角的差，则（ ）
A．必有一个角等于 B．必有一个角等于
C．必有一个角等于 D．必有一个角等于
【答案】D
【分析】
先设三角形的两个内角分别为x，y，则可得(180°－x－y)，再分三种情况讨论，即可得到答案.
【详解】
设三角形的一个内角为x，另一个角为y，则三个角为(180°－x－y)，则有三种情况：
①
②
③
综上所述，必有一个角等于90°
故选D.
【点睛】
本题考查三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质，分情况讨论.
2．在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点P，设∠A=x°，用x的代数式表示∠BPC的度数，正确的是( )
A．90+x B．90-x C．90+2x D．90+x
【答案】A
【解析】
分析：根据三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义可求得∠PBC+∠PCB的度数，最后根据三角形内角和定理即可求解．
详解：如图：
∵∠A=x°，
∴∠ABC+∠ACB=180° x°，
∵∠B，∠C的平分线相交于点P，
∴∠PBC+∠PCB=(180° x°)，
∴∠BPC=180° (180° x°)=90°+x°，
故选A.
点睛：本题考查了三角形内角和定理.
3．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=( )
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】C
【分析】
根据三角形的内角和与四边形的内角和公式得∵∠1+∠2+γ=180°①，∠3+∠4+β+θ=360°②，∠5+∠6+∠7+α=360°③，三式相加，再由邻补角的性质即可得出答案．
【详解】
解：如图，
∵∠1+∠2+γ=180°①，
∠3+∠4+β+θ=360°②，
∠5+∠6+∠7+α=360°③，
∴①+②+③得，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+α+β+γ+θ=900°，
∵α+β=180°，γ+θ=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7，
=900°-180°-180°，
=540°．
故答案为：C
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外角和以及三角形外角的性质，是基础知识要熟练掌握．
4．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2
C．3∠A=2∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）
【答案】B
【分析】
根据四边形的内角和为360°、平角的定义及翻折的性质，就可求出2∠A=∠1+∠2这一始终保持不变的性质．
【详解】
∵在四边形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360°，
则2∠A+(180°-∠2)+(180°-∠1)=360°，
∴可得2∠A=∠1+∠2．
故选B
【点睛】
本题主要考查四边形的内角和及翻折的性质特点，解决本题的关键是熟记翻折的性质．
5．如图，在△ABC中，∠C＝70 ，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（）
A．360 B．250 C．180 D．140
【答案】B
【分析】
【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=110°，进而利用四边形内角和定理得出答案．
【详解】∵△ABC中，∠C=70°，
∴∠A+∠B=180°-∠C =110°，
∴∠1+∠2=360°-110°=250°，
故选B．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，根据题意得出∠A+∠B的度数是解题关键.
【详解】
请在此输入详解！
6．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=______°．
【答案】30
【分析】
根据角平分线的定义可得∠PBC=20°，∠PCM=50°，根据三角形外角性质即可求出∠P的度数.
【详解】
∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACM的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠PBC=20°，∠PCM=50°，
∵∠PBC+∠P=∠PCM，
∴∠P=∠PCM-∠PBC=50°-20°=30°，
故答案为30
【点睛】
本题考查及角平分线的定义及三角形外角性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，熟练掌握三角形外角性质是解题关键.
7．一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为，则内角和是______．
【答案】
【分析】
设这个多边形是n边形，剩余的内角度数为x，根据题意得
变形 为，由n是正整数，求出x的值即可得到答案．
【详解】
设这个多边形是n边形，剩余的内角度数为x，由题意得
∴，
∵n是正整数，，
∴x=，
∴这个多边形的内角和为，
故答案为：．
【点睛】
此题考查多边形的内角和公式，多边形内角大于0度小于180度的性质，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
8．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是__
【答案】12°．
【解析】
设∠A=x，
∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，
∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x．
∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x，
∠P2P3P4=∠P13P12P10=3x，
……，
∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x．
∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x．
在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，即x+7x+7x=180°．
解得x=12°，即∠A=12°．
9．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小．
【答案】360°
【分析】
首先连接AD，构造出我们熟悉的四边形ABGD去计算多角的和，本题为6个角相加，可以把其中的∠E和∠F通过等量代换转化成与四边形四边形的内角有关联的角，再通过四边形内角和可得到.
【详解】
解：连结AD，如图，
在△EFG中，∠E+∠F+∠EGF=180°，
在△ADG中，∠1+∠2+∠AGD=180°，
∵∠EGF=∠AGD，
∴∠E+∠F=∠1+∠2，
∴∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E+∠F，
=∠BAF+∠B+ ∠C +∠CDE+ ∠ 1+ ∠ 2，
=∠BAD+ ∠B+ ∠C +∠CDA，
=360°.
【点睛】
本题解题关键，当出现多个角求和时，可以通过等量代换找到我们熟悉的三角形，四边形的内角和进行计算.
题组C 培优拔尖练
1．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ）
A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7
【答案】D
【详解】
试题分析：根据内角和为720°可得：多边形的边数为六边形，则原多边形的边数为5或6或7.
考点：多边形的内角和
2．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2016°，则n等于（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【详解】
解：根据多边形的内角和公式（n-2）×180°，可以求得n=13.2，由于多加的是内角，
所以多加的角为小于180°的角，所以去掉小数部分就是n边形的边数．故选C
3．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题可先根据等边三角形顶角的度数求出两底角的度数和，然后在四边形中根据四边形的内角和为360°，求出∠α+∠β的度数．
【详解】
∵等边三角形的顶角为60°，
∴两底角和=180°-60°=120°；
∴∠α+∠β=360°-120°=240°；
故选C．
【点睛】
本题综合考查等边三角形的性质及三角形内角和为180°，四边形的内角和是360°等知识，难度不大，属于基础题.
4．一个多边形除一个内角外其余内角和为1510°，则这个多边形共有对角线_________条．
【答案】44
【分析】
设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法即可．
【详解】
设这个内角度数为x°，边数为n，
∴（n-2）×180-x=1510，
180n=1870+x=1800+（70+x），
n=10+
∵n为正整数，
∴n=11，
∴=44，
故答案为：44．
【点睛】
此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．
5．阅读下列材料：
情形展示：
情形一：如图，在中，沿等腰三角形ABC的顶角的平分线折叠，若点B与点C重合，则称是的“好角”，如图，在中，先沿的平分线折叠，剪掉重复部分，再将余下部分沿的平分线折叠，若点与点C重合，则称是的“好角”．
情形二：如图，在中，先沿的平分线折叠，剪掉重复部分，再将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分重复折叠n次，最终若点与点C重合，则称是的“好角”，探究发现：不妨设
如图，若是的“好角”，则与的数量关系是：______．
如图，若是的“好角”，则与的数量关系是：______．
如图，若是的“好角”，则与的数量关系是：______．
应用提升：
如果一个三角形的三个角分别为，，，我们发现和的两个角都是此三角形的“好角”；如果有一个三角形，它的三个角均是此三角形的“好角”，且已知最小的角是，求另外两个角的度数．
【答案】（1）； （2）； （3）；
（4）该三角形的另外两个角的度数分别为：，或，或84°，84°.
【分析】
（1）由根据题意可知，与重合，即；
（2）根据题意得，，因为，所以；
（3）根据上面结论可知：当是“好角”，折叠的次数就是∠B为∠C的倍数，即；
（4）由题意可知，三角形的另外两个角都是12°倍数，则可设另两角分别为，，根据三角形的内角和定理分情况求出m，n的值即可.
【详解】
如图1中，是的“好角”，
与重合，
，
故答案为；
如图2中，沿的平分线折叠，
，
又将余下部分沿的平分线A1B2折叠，此时点与点C重合，
；
外角定理，
；
故答案为；
根据上面结论可知：
当1次折叠时，是“好角”，则有，
当2次折叠时，是“好角”，则有，
当3次折叠时，是“好角”，则有，
当n次折叠时，是“好角”，则有，
故答案为．
因为最小角是是的好角，
根据好角定义，则可设另两角分别为，（其中m、n都是正整数），
由题意，得，
∴，
∵m、n都是正整数，所以m与是14的整数因子，
∴，，或，，
即，，或，，或m=7，n=1，
∴，，或，或，，
则该三角形的另外两个角的度数分别为：，或，或84°，84°.
6．阅读材料：
如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．
结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．
结论应用举例：
如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．
解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°
即五角星的五个内角之和为180°．
解决问题：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ；
（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ ；
（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ ；
请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．
【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析
【分析】
（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论；
（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论；
（3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论；
（4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论．
【详解】
解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；
（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；
（3）连接BH、DE，
∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋180°＝720°；
（4）连接ND、NE，
∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．
故答案为：360°；540°；720°；1080°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD和△BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键．
7．如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在四边形ABDE内点C’的位置，
（1）①若，则 ；
②若，则 ；
③探索 、与之间的数量关系，并说明理由；
（2）直接按照所得结论，填空：
①如图中，将△ABC纸片再沿FG、MN折叠，使点A、B分别落在△ABC内点A’、B’的位置，则 ；
②如图中，将四边形ABCD按照上面方式折叠，则 ；
③若将n边形也按照上面方式折叠，则 ；
（3）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点落在△ABC边上方点的位置， 探索、与之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）①；②；③；（2）①；②；③；（3）
【分析】
（1）①由邻补角的定义可知∠CEC′=160°，∠CDC′=130°，根据折叠的性质可求出∠CED=80°，∠CDE=65°,然后根据三角形内角和定理求解即可；
②由三角形内角和可求出∠CED+∠CDE=138°,再由折叠的性质可知∠CEC′+∠CDC′=276°，然后根据邻补角的定义可求出84°；
③由邻补角定义可知，从而，所以，∠1+ ∠CEC′+ ∠2+ ∠CDC′=360 °，结合，可求出；
（2）① 由（1）得2∠C，2∠B，2∠A，从而2(∠A+∠B +∠C)，结合三角形内角和求解即可；
②由①可知， 2(∠A+∠B +∠C+∠D)，结合四边形内角和求解即可;
③由①可知， ；
（3）由外角的性质可知∠2=∠3+∠C，∠3=∠1+∠C，整理可得.
【详解】
解：（1）①∵，
∴∠CEC′=160°，∠CDC′=130°，
∵ ∠CED=80°，∠CDE=65°,
∴∠C= 180°-80°-65°=35°；
②∵，
∴ ∠CED+∠CDE=180°-42°=138°,
∴∠CEC′+∠CDC′=276°，
∴360°-276°=84°；
③，
因为，，
所以，
因为在四边形中，，
所以，
因为，
所以.
（2）① 由①得
2∠C，2∠B，2∠A，
∴2(∠A+∠B +∠C)=360°;
②∵2∠C，2∠B，2∠A，2∠D，
∴ 2(∠A+∠B +∠C+∠D)=2×360°=720°;
③∵n边形内角和是，
∴ ；
（3）.
∵∠2=∠3+∠C，
∠3=∠1+∠=∠1+∠C，
∴∠2=∠1+∠C +∠C=∠1+2∠C，
∴.
【点睛】
本题考查了折叠性质，三角形内角和定理，多边形的内角和定理，三角形外角的性质及图形类的规律与探究.熟练掌握折叠的性质和三角形内角和定理是解（1）的关键，利用（1）中规律是解（2）的关键，熟练掌握三角形外角的性质是解（3）的关键.第03课 三角形的内角和及多边形内外角和
课程标准 课标解读
1．会用不同的方法证明三角形的内角和定理． 2．能应用三角形内角和定理解决一些简单的问题． 1.掌握三角形内角和定理的应用． 2.掌握三角形内角和定理的证明．
知识点01 三角形的内角
（1）定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的 角.
（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于
定理证明：三角形内角和是180°；
证明：如图，延长BC到D，过点C作CE∥AB，
（3）三角形内角和定理的作用：
① ；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数；
③求一个三角形中各角之间的关系.
知识点02 三角形的外角
（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的 . 三角形的外角和为 .
（2）特点：
①外角的顶点在三角形的一个顶点上；
②外角的一条边是三角形的一边；
③外角的另一条边是三角形某条边的 .
（3）性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 的和.
②三角形的一个外角 （大于，等于或小于）与它不相邻的任何一个内角.
知识点03 多边形
（一）多边形的定义：
在平面内，由一些线段 组成的图形叫做多边形.
的多边形叫做正多边形；
注意：
是正多边形的必备条件，二者缺一不可.
如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.
（二）多边形的对角线：
连接多边形 的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
从边形的一个顶点出发，可以画 条对角线，边形一共有 条对角线.
（三）多边形的内角和公式：
边形的内角和为 ；
内角和公式的应用：
（1）已知多边形的边数，求其内角和；
（2）已知多边形内角和，求其边数.
（四）多边形的外角和定理：
多边形的外角和等于 .
外角和定理的应用：
（1）已知外角度数，求正多边形边数；
（2）已知正多边形边数，求外角度数.知识点
知识点04 镶嵌
（一）平面镶嵌的定义：
，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.
（二）镶嵌的条件：
当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个 时，就能拼成一个平面图形.
考法01 三角形的内角与外角
【典例1】若三角形的一个角是另一个角的6倍，而这两个角的和比第三个角大44°，则此三角形的最大角是______.
【典例2】如图，∠1，∠2，∠3的大小关系是_____．
【典例3】如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考法02 多边形内外交和及镶嵌
【典例4】已知一个多边形的内角和等于900 ，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【典例5】已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ).
A．12 B．10 C．8 D．6
题组A 基础过关练
1．在△ABC中，6∠A=3∠B=2∠C，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（ ）
A．15° B．55° C．65° D．75°
3．正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，则_________．
4．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（ ）．
A．∠A=2∠B-3∠C B．∠A+∠B=2∠C C．∠A-∠B=30° D．∠A=∠B=∠C
5．如图，点D在△ABC内，且∠BDC=120°，∠1+∠2=55°，则∠A的度数为（ ）
A．50° B．60° C．65° D．75°
6．正十边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
7．如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转后又沿直线前进10米到达点C，再向左转后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ ）
A．100米 B．80米 C．60米 D．40米
8．若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
题组B 能力提升练
1．在中，若一个内角等于另外两个角的差，则（ ）
A．必有一个角等于 B．必有一个角等于
C．必有一个角等于 D．必有一个角等于
2．在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点P，设∠A=x°，用x的代数式表示∠BPC的度数，正确的是( )
A．90+x B．90-x C．90+2x D．90+x
3．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=( )
A．180° B．360° C．540° D．720°
4．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2
C．3∠A=2∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）
5．如图，在△ABC中，∠C＝70 ，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（）
A．360 B．250 C．180 D．140
6．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=______°．
7．一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为，则内角和是______．
8．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是__
9．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小．
题组C 培优拔尖练
1．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ）
A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7
2．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2016°，则n等于（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
3．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．一个多边形除一个内角外其余内角和为1510°，则这个多边形共有对角线_________条．
5．阅读下列材料：
情形展示：
情形一：如图，在中，沿等腰三角形ABC的顶角的平分线折叠，若点B与点C重合，则称是的“好角”，如图，在中，先沿的平分线折叠，剪掉重复部分，再将余下部分沿的平分线折叠，若点与点C重合，则称是的“好角”．
情形二：如图，在中，先沿的平分线折叠，剪掉重复部分，再将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分重复折叠n次，最终若点与点C重合，则称是的“好角”，探究发现：不妨设
如图，若是的“好角”，则与的数量关系是：______．
如图，若是的“好角”，则与的数量关系是：______．
如图，若是的“好角”，则与的数量关系是：______．
应用提升：
如果一个三角形的三个角分别为，，，我们发现和的两个角都是此三角形的“好角”；如果有一个三角形，它的三个角均是此三角形的“好角”，且已知最小的角是，求另外两个角的度数．
6．阅读材料：
如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．
结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．
结论应用举例：
如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．
解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°
即五角星的五个内角之和为180°．
解决问题：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ；
（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ ；
（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ ；
请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．
7．如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在四边形ABDE内点C’的位置，
（1）①若，则 ；
②若，则 ；
③探索 、与之间的数量关系，并说明理由；
（2）直接按照所得结论，填空：
①如图中，将△ABC纸片再沿FG、MN折叠，使点A、B分别落在△ABC内点A’、B’的位置，则 ；
②如图中，将四边形ABCD按照上面方式折叠，则 ；
③若将n边形也按照上面方式折叠，则 ；
（3）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点落在△ABC边上方点的位置， 探索、与之间的数量关系，并说明理由.
